矩陣分解理論在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用

燕巖軍

（山西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 長治 046011）

一、數(shù)字圖像處理簡介

開宗明義，數(shù)字圖像處理就是用現(xiàn)代手段對圖像進(jìn)行處理。人們對數(shù)字圖像都應(yīng)該很熟悉。我們在計(jì)算機(jī)上看到的圖像，數(shù)碼相機(jī)拍到的圖像，雷達(dá)圖像，人體MRI圖像等等都屬于數(shù)字圖像。數(shù)字圖像處理是指用計(jì)算機(jī)對圖像進(jìn)行分析處理，以達(dá)到所需結(jié)果的技術(shù)。

圖像處理的內(nèi)容十分廣泛，具體而言，可以分為：圖像獲取、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像壓縮、圖像分割等。這些內(nèi)容都是基于矩陣的處理得到的。下面舉例介紹幾個(gè)重要的應(yīng)用。

圖像獲取是圖像處理的第一步。圖像獲取有很多方法，最常用的方法就是用傳感器如數(shù)字?jǐn)z像機(jī)、掃描儀等設(shè)備得到。

數(shù)字圖像處理的定義：我們可以將一幅圖像定義為一個(gè)二維函數(shù)f（x，y） ，這里x和y是空間坐標(biāo)，在空間坐標(biāo)（x，y）上的幅值f稱為該點(diǎn)圖像的強(qiáng)度或灰度。對于數(shù)字圖像而言，x，y和幅值f都是有限的、離散的。這樣一幅圖像就可以用一個(gè)二維函數(shù)來表示。模擬圖像不利于計(jì)算機(jī)處理，所以我們常常將模擬圖像轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像。模擬圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)字圖像的方式是：取樣和量化。我們將x，y坐標(biāo)值離散化稱為取樣，將幅度值f離散化稱之為量化。經(jīng)過取樣和量化的圖像是一幅數(shù)字圖像。數(shù)字圖像的質(zhì)量很大程度上取決于取樣和量化的取樣數(shù)和灰度級。取樣和量化的結(jié)果是一個(gè)實(shí)際的矩陣。這個(gè)矩陣可以表示為

更一般的矩陣表達(dá)方式為：

圖像壓縮的數(shù)字圖像數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)的應(yīng)用，其目的是減少圖像遺留在數(shù)據(jù)中的多余信息，使之得到更高效的格式存儲和傳輸數(shù)據(jù)?？梢詫D象數(shù)據(jù)壓縮的原因在于，數(shù)據(jù)中還有多余的信息。圖像數(shù)據(jù)的冗余引起的在圖像中的空間冗余，時(shí)間冗余的存在下，在不同的幀中的圖像序列中，不同顏色的平面或光譜帶間的相關(guān)性引起的相鄰像素之間的相關(guān)性引起的頻譜冗余。

圖像壓縮是有損數(shù)據(jù)壓縮可以是無損數(shù)據(jù)壓縮。無損圖像壓縮方法的行程長度編碼，熵編碼方法，如LZW，有損壓縮方式主要是變換編碼，諸如離散余弦變換（DCT） 或小波變換，使傅立葉變換，量化和熵編碼方法壓縮和分形壓縮（分形壓縮）。

二、矩陣的奇異值分解原理

（一）矩陣的奇異值

則特征值λi與μi之間的關(guān)系為：λi=μi＞0，（i=1，2，…，r）。

（二）矩陣的奇異值分解（SVD）

其中，△ =diag（δ1，δ2，…δr），△為奇異對角陣。U滿足UH AAH U是對角陣，V滿足VH AH AV是對角陣。U的第i列為A的對應(yīng)于?δi奇異值對應(yīng)的左奇異向量，V的第i列為A的對應(yīng)于δi奇異值對應(yīng)的右奇異向量。它們的每一列均為單位向量，且各列之間相互正交。

奇異值分解是一種基于特征向量的矩陣變換方法。奇異值分解是現(xiàn)代數(shù)值的最基本和最重要的工具之一。

三、奇異值分解的圖像性質(zhì)

每一矩陣的奇異值（δ，δ，…，δ）是唯一的，它12r將矩陣數(shù)據(jù)的特征與分布很明顯的算了出來。一般來講，矩陣的奇異值的分解可以作這樣的一種理解：可以將矩陣當(dāng)做是一種線性變換，它在根本上將m維空間的點(diǎn)映射到了n維的空間。通過奇異值的分解之后，該線性變換被分割成3個(gè)部分，分別為U、△和V， 其中U和V都是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，因此它們相對應(yīng)的線性變換，就相當(dāng)于對m維和n維坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。

若A為數(shù)字圖像，則A可視為二維時(shí)頻信息，可將A的奇異值分解公式寫為：

在當(dāng)中，ui與vi各為U與V的列矢量，δi為A的非零奇異值。因此上述公式所表示的數(shù)字圖像A可以看成是r個(gè)秩為1的子圖相加的結(jié)果，奇異值?δi為權(quán)系數(shù)。所以Ai也表示時(shí)頻信息，對應(yīng)的ui和vi可分別視為頻率矢量和時(shí)間矢量，因此數(shù)字圖像A中的時(shí)頻信息就被分解到一系列由ui和vi構(gòu)成的視頻平面中。

由矩陣范數(shù)理論，奇異值能與向量2－范數(shù)和矩陣Frobenious－范數(shù)（F－范數(shù)）相聯(lián)系。

若以F－范數(shù)的平方表示圖像的能量，則由矩陣奇異值分

綜上所述，數(shù)字圖像A在被奇異值分解之后，它的紋理與幾何意義上的信息大多都集中在U、VH之中，而△中的奇異值通常代表了圖像的能量信息。

性質(zhì)1：矩陣的奇異值代表著圖像的能量信息，因此它具有很高的穩(wěn)定性。

設(shè)=A+δ，δ是矩陣A擾動矩陣的一個(gè)。A和B的非零奇異值分別記為：δ11≥δ12≥…≥δ1r和 δ21≥δ22≥…≥δ2r。且r=rank（A） ，δ1是δ的最大奇異值。則有：|δ1i－ δ2i|≤‖A－B‖2=‖δ‖2=δ1。

通過上述闡述可以得知，圖像在被小的擾動所干擾的時(shí)候，擾動矩陣的最大奇異值一般情況下都大于圖像矩陣奇異值的變換。因此圖像奇異值的穩(wěn)定性能非常強(qiáng)。

性質(zhì)2：矩陣的奇異值具有比例不變性。

性質(zhì)3：矩陣的奇異值具有旋轉(zhuǎn)不變性。

設(shè)m×n，矩陣A的奇異值為 δi（i=1，2，…，r），r=rank（A） 。若Ur是酉矩陣，則矩陣Ur A的奇異值與矩陣A的奇異值相同：

性質(zhì) 4：設(shè)，rank（A） =r≥s。若△s=diag（δ1，δ2，…，δs），

所以可得：

上面的方程式已經(jīng)說明，通常在F－范數(shù)意義之下，As是在空間（秩為s的m×n維 矩陣構(gòu)成的線性空間）中A的一個(gè)將秩最佳逼近。因此可根據(jù)需要保留s（s＜r）個(gè)大于某個(gè)閾值的δi而舍棄其余r－s個(gè)小于閾值的δi且保證兩幅圖像在某種意義下的近似。這就為奇異值特征矢量的降維和數(shù)據(jù)壓縮等應(yīng)用找到了依據(jù)。

結(jié)語：前面所有的討論都已經(jīng)表明，圖像壓縮通過奇異值來分解的辦法是有效的，具備很好的實(shí)用價(jià)值，不過還有很多有待改進(jìn)之處。

1.劃分子塊的劃分方式上，通常采取更有效的方法來完成。例如，大型矩陣，隨機(jī)抽樣矩陣居較小的矩陣計(jì)算的小矩陣的奇異值，反復(fù)幾次，這些小的奇異值的原始矩陣奇異矩陣逼近。

2.操作的速度的影響因素，是比較大的SVD變換操作，可以找到一個(gè)快速的奇異值分解的變換算法。

此外，如果是已知的特征空間中的圖像矩陣的奇異值，一般認(rèn)為，較大的奇異值和其對應(yīng)的奇異向量表示的圖像信號，而噪聲的小的奇異值反映在和它們相應(yīng)的奇異向量。選擇閾值低于閾值的奇異值被設(shè)置為0（截?cái)啵┦歉鶕?jù)一定的準(zhǔn)則，那么這些奇異值和奇異向量對應(yīng)的重構(gòu)圖像進(jìn)行去噪。考慮圖像局部平穩(wěn)，奇異值分解的圖像塊消噪保持邊緣細(xì)節(jié)，所以在一定程度上。如果你仔細(xì)看，SVD去噪有方向性。據(jù)SVD圖像的性質(zhì)，圖像塊旋轉(zhuǎn)SVD去噪，圖像劃分成不同的塊，然后分別為每個(gè)圖像塊旋轉(zhuǎn)SVD的去噪，最后的總投資組合去噪圖像。因此，圖像的主觀質(zhì)量可能已大大提高。

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