NA序列部分和之和的完全收斂性探討

蘭沖鋒，吳群英

(1.阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041；2.桂林理工大學(xué) 理學(xué)院，廣西 桂林 541004）

NA序列部分和之和的完全收斂性探討

蘭沖鋒1，吳群英2

(1.阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041；2.桂林理工大學(xué) 理學(xué)院，廣西 桂林 541004）

文章運(yùn)用截尾等方法，研究同分布NA隨機(jī)變量序列部分和之和的完全收斂性，獲得了與i.i.d.隨機(jī)變量序列類似的Baum和Katz型完全收斂性定理，補(bǔ)充了部分和之和的極限定理。

NA序列；部分和之和；完全收斂性

0 引言

本文將在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，通過引入慢變化函數(shù)將i.i.d.隨機(jī)變量序列部分和之和Tn的完全收斂性推廣到NA列，以期對(duì)NA序列部分和之和的極限定理作一個(gè)補(bǔ)充。

對(duì)隨機(jī)變量列{Xn；n≥1}，記：

本文一律以“?”表示通常的大“O”，以C記與n無關(guān)的正常數(shù)，在不同之處可以取不同的值。

1 定義及引理

定義稱隨機(jī)變量X1，X2，…Xn是NA的，如果對(duì)于集合{1，2，…n}的任何兩個(gè)非空不交子集A1和 A2都有cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2))≤0，其中 fi,i=1,2是使上式有意義且對(duì)各變?cè)唤档暮瘮?shù)。

稱隨機(jī)變量序列{Xn;n≥1}是NA序列，如果對(duì)于任何n≥2，X1，X2，… Xn是NA的。

引 理 1[9]：設(shè) {Xn;n≥1}是 NA 的, ?m≥2,A1,A2,…,Am是集合{1，2，…n}的兩兩不交的非空子集.如果fi,i=1,2,…,m是對(duì)每個(gè)變?cè)挤墙?或都非升)的函數(shù),則 f1(Xj,j∈A1),…,fm(Xj,j∈Am)仍是NA的。

對(duì)于慢變化函數(shù)，有性質(zhì)：如果l(x)＞0為x→+∞時(shí)的慢變化函數(shù)，則

2 主要結(jié)果及證明

定理：設(shè){Xn} 是同分布 NA序列，αp＞1,p＜2,l(x)＞0為當(dāng)x→+∞的單調(diào)不減慢變化函數(shù)，那么下列三式等價(jià)：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2.因此本文的結(jié)果推廣和加強(qiáng)了文獻(xiàn)[5]的結(jié)論。

⑶在推論1中，若{Xn;n≥1}為零均值i.i.d.r.v.序列，令Tn?中的Xi前面的權(quán)數(shù)為常數(shù)1，則該推論就是Katz和Baum型完全收斂性定理，因此本文的結(jié)果也推廣和加強(qiáng)了著名的Katz和Baum定理。

[1]Resnick S L.Limit laws for Record Values[J].Stochastic Processes and their Applications,1973,1(1).

[2]Arnold B C,Villasenor J A.The Asymptotic Distributions of Sums of Records[J].Extremes，1998,1(3).

[3]江濤,蘇淳,唐啟鶴.I.I.D隨機(jī)變量部分和之隨機(jī)和的極限定理[J].中國(guó)科技大學(xué)學(xué)報(bào),2001,31(4).

[4]江濤,林日其.I.I.D隨機(jī)變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2002,22(2).

[5]蘭沖鋒，吳群英.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之和的完全收斂性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2012,50(3).

[6]宇世航.同分布NA序列部分和之和的強(qiáng)大數(shù)定律[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2008，43（4）.

[7]宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，20（4）.

[8]宇世航,張銳梅.NA序列部分和之和的中心極限定理[J].高師理科學(xué)刊，2007，27（3）.

[9]Joag-Dev K,Proschan F.Negative Association of Random Variable with Aplications[J].Ann Statist,1983,11.

[10]蘇淳，趙林成，王岳寶.NA序列的矩不等式與弱收斂[J].中國(guó)科學(xué)，1996,26（12）.

[11]白志東，蘇淳.關(guān)于獨(dú)立和的完全收斂性[J].中國(guó)科學(xué)(A輯)，1985,(5).

O211.4

A

1002-6487（2013）14-0009-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11061012)；數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目（11226200）；安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（KJ2013Z265；KJ2013B203）；國(guó)家特色專業(yè)項(xiàng)目（TS11496）

蘭沖鋒(1981-)，男，安徽人，博士，講師，研究方向：概率極限理論。

（責(zé)任編輯/亦 民）