基于空間碎片環(huán)境的導(dǎo)彈空間飛行安全分析*

王劍，譚守林，雷剛

(第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安 701125)

0 引言

空間碎片是指除正常工作的航天器外所有在軌的人造物體，包括失效載荷、火箭殘骸、操作性碎片、由爆炸和碰撞產(chǎn)生的殘碎片、固體火箭的燃燒剩余物、核動力衛(wèi)星泄漏的冷卻劑以及因航天器老化而脫落的表面材料和組件等［1］。自從1957年，前蘇聯(lián)發(fā)射第1顆人造衛(wèi)星Sputnik 1以來，已有50多個國家、地區(qū)和組織向太空發(fā)射超過4 000次，發(fā)射了近6 000個航天器，這些人造物體絕大部分在低地球軌道(low earth orbit，LEO)、太陽同步軌道(sun synchronous orbit，SSO)和地球同步/靜止軌道(geosynchronous/geostationary orbit，GEO)區(qū)域內(nèi)，其中相當(dāng)一部分目前仍滯留在軌道上［2］，其中90%以上為空間碎片。目前被跟蹤的直徑超過10 cm的空間碎片數(shù)目已超過15 000個，據(jù)美國約翰遜航天中心最新研究表明，即使人類再也不發(fā)射任何火箭，太空垃圾的數(shù)量還是會不斷增加［3］。由于空間碎片與空間飛行器的相對速度很高，因此具有很大的動能，一旦空間碎片與空間飛行器發(fā)生碰撞，將給空間飛行器帶來很大的危害。遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈由于具有很高的軍事意義和經(jīng)濟(jì)價值，其飛行高度可達(dá)1 200 km，并飛過空間碎片密集區(qū)，很有可能與空間碎片發(fā)生碰撞，因此有必要開展遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈空間飛行安全的預(yù)警研究。

文獻(xiàn)［4］研究了彈頭在已知空間碎片分布密度下發(fā)生碰撞的概率，然而空間碎片的分布密度并不均勻而且計(jì)算非常復(fù)雜，目前國際上公布了直徑大于10 cm的空間飛行體軌道根數(shù)，因此可利用現(xiàn)有對空間碎片的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行碰撞預(yù)警，本文即是利用現(xiàn)有國際上的空間碎片觀測數(shù)據(jù)結(jié)合導(dǎo)彈彈道展開導(dǎo)彈飛行安全研究。

1 遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈和空間碎片運(yùn)動預(yù)測模型

對遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈與空間碎片進(jìn)行碰撞預(yù)警，首先須對導(dǎo)彈及空間碎片位置進(jìn)行預(yù)測，通過對導(dǎo)彈及空間碎片的運(yùn)動模型進(jìn)行計(jì)算導(dǎo)彈與碎片的實(shí)時位置，并通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下，進(jìn)而通過碰撞規(guī)則進(jìn)行碰撞預(yù)警。

1.1 遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈運(yùn)動模型

近地軌道空間碎片的壽命長短與大氣密度有很大的關(guān)系，高度在200 km左右的航天器壽命只有幾天到幾十天［5］，因此可以認(rèn)為在200 km高度以下不存在空間碎片，撞擊只發(fā)生在200 km高度以上的空間。由于遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈的自由段起點(diǎn)和終點(diǎn)在200 km左右，為簡便計(jì)算，本文假設(shè)撞擊發(fā)生在導(dǎo)彈自由段階段。

對于彈道導(dǎo)彈的被動段，相對發(fā)射坐標(biāo)系的被動段運(yùn)動方程的矢量表達(dá)式為［6］

式中:X=CxdtqdtSmdt為彈頭阻力，其方向與v方向相反;g為地球重力加速度;為牽連慣性力;為柯氏慣性力。

導(dǎo)彈的被動段動力學(xué)方程為

式中:CxdtqdtSmdt為彈頭阻力，其方向與v方向相反;Cxdt為頭部阻力系數(shù);Smdt為頭部最大橫截面積;qdt為頭部速度頭;m=Gdt/為頭部質(zhì)量。

運(yùn)動學(xué)方程為

被動段方程組為非線性變系數(shù)常微分方程組，在給定的初始條件和終端條件下，應(yīng)用數(shù)值積分方法可求出其數(shù)值解，從而獲得導(dǎo)彈被動段運(yùn)動參數(shù)。

1.2 空間碎片軌道預(yù)測模型

對空間碎片軌道的預(yù)測是進(jìn)行篩選和預(yù)警的基礎(chǔ)，目前主要有3種軌道預(yù)報方法:解析方法(普適攝動法，general perturbation，GP)、半解析方法和數(shù)值方法(特殊攝動法，special perturbation，SP)，其中解析法速度最快但精度比數(shù)值方法低［7］，為滿足快速篩選要求，本文可利用解析方法對空間碎片軌道進(jìn)行預(yù)測。

目前國內(nèi)常用的解析方法包括擬平均根數(shù)法和美國的SGP4/SDP4模型。北美防空司令部(north american air defense command，NORAD)開發(fā)了用于傳輸開普勒根數(shù)的兩行軌道根數(shù)(two line mean element，TLE)，美國航天司令部(USSPACECOM)計(jì)算了絕大部分公開的兩行軌道根數(shù)，并由Goddard空間飛行中心(GSFC)發(fā)布，利用公布的TLE數(shù)據(jù)與SGP4/SDP4軌道計(jì)算模型，可以獲取較準(zhǔn)確的軌道預(yù)測［8-9］，本文即利用該模型對空間碎片軌道進(jìn)行預(yù)測。

2 導(dǎo)彈與空間碎片碰撞預(yù)警模型

當(dāng)計(jì)算出導(dǎo)彈和空間碎片后將二者在同一時間的位置參數(shù)轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一坐標(biāo)系下后即可進(jìn)行碰撞預(yù)警建模。為了節(jié)省運(yùn)算時間，加快碰撞預(yù)警速度，需要對碎片進(jìn)行篩選并對預(yù)警模型進(jìn)行簡化處理。

2.1 空間碎片篩選方法

目前美國公布的TLE數(shù)據(jù)超過15 000個，但如果按照一定的時間步長進(jìn)行計(jì)算是否會發(fā)生碰撞，則計(jì)算量相當(dāng)巨大，計(jì)算時間也很長而無法滿足作戰(zhàn)情況下快速預(yù)警的要求，因此需要對空間碎片進(jìn)行篩選，只對那些對導(dǎo)彈有潛在威脅的空間碎片進(jìn)行預(yù)警計(jì)算，從而減少計(jì)算量節(jié)省預(yù)警時間。文獻(xiàn)［10-11］采用幾何篩選法以及地心距法對空間碎片進(jìn)行篩選，但由于導(dǎo)彈與衛(wèi)星等空間目標(biāo)的運(yùn)動特點(diǎn)不同，而且導(dǎo)彈由于發(fā)射時間的改變，其彈道在慣性坐標(biāo)系下是變化的，通過分析導(dǎo)彈飛行特點(diǎn)和空間碎片軌道特性，可采用基于近地點(diǎn)的篩選方法、基于軌道傾角的篩選方法和基于導(dǎo)彈飛行時間的篩選方法等。

基于近地點(diǎn)的篩選方法原理為設(shè)碎片的近地點(diǎn)高度為Hd_min，導(dǎo)彈彈道的最高點(diǎn)為 Hm_max，如果滿足Hd_min＞Hm_max，則可認(rèn)為該碎片不可能與導(dǎo)彈發(fā)生碰撞，故可將其排除。

導(dǎo)彈是從發(fā)射點(diǎn)升到太空后回到目標(biāo)點(diǎn)，其軌跡不是一個閉合橢圓，因此可利用碎片軌道傾角進(jìn)行碎片篩選。其方法為計(jì)算導(dǎo)彈在200 km高度上彈道升弧段A和降弧段B地心系下坐標(biāo)，并計(jì)算該點(diǎn)與地心的連線與赤道面的交角θM1，θM2，如果碎片軌道傾角θd滿足:

則可認(rèn)為該碎片不可能與導(dǎo)彈發(fā)生碰撞，從而可將該碎片剔除。

基于導(dǎo)彈飛行時間的篩選方法的原理為:遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈空間在200 km高度飛行時間只有20 min左右，通過對空間碎片數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，碎片最短周期在87 min左右，在導(dǎo)彈距離200 km高度升弧段時刻A(記為TMA)和降弧段時刻B(記為TMB)以及(TMA+TMB)/2時刻如果該碎片地心連線與赤道面的交角均小于導(dǎo)彈A，B點(diǎn)地心連線與赤道面交角，則將該碎片剔除。具體算法為分別計(jì)算空間碎片在TMA，TMB和(TMA+TMB)/2時刻的空間慣性坐標(biāo)系下位置PdA，PdB和PdC;并分別計(jì)算它們與地心的連線和赤道面的交角 θdA，θdB和 θdC，如果滿足式(6)，則可認(rèn)為該空間碎片不會與導(dǎo)彈發(fā)生碰撞，從而將其排除。

2.2 碰撞判據(jù)的確定

如果導(dǎo)彈與碎片的位置預(yù)測不存在誤差，則導(dǎo)彈是否會與碎片發(fā)生碰撞是明確的，但由于存在位置預(yù)測誤差，因此不能確定導(dǎo)彈與碎片是否會發(fā)生碰撞，只能給出碰撞的危險程度，目前國際上用于碰撞預(yù)警的判據(jù)有BOX判據(jù)和碰撞概率判據(jù)2種［12］。

BOX判據(jù)是20世紀(jì)90年代通常采用的碰撞判據(jù)，其本質(zhì)含義是統(tǒng)一考慮航天器與空間碎片的誤差，把位置誤差的分布平均化，當(dāng)碎片進(jìn)入航天器周圍的BOX區(qū)域以內(nèi)時，表示會發(fā)生碎片與航天器的碰撞事件，否則不存在碰撞危險，即把碰撞事件簡化成0-1事件。例如美國航天飛機(jī)將航天器沿跡方向±25 km，垂直于沿跡方向及軌道平面的外法向±10 km作為預(yù)警區(qū)域，當(dāng)碎片進(jìn)入這一區(qū)域時即發(fā)出預(yù)警。

碰撞概率判據(jù)綜合考慮航天器和空間碎片各自的誤差，并把各自的誤差假設(shè)成正態(tài)分布模式，然后綜合考慮其他交會因素來計(jì)算碰撞風(fēng)險。BOX判據(jù)具有普適性的優(yōu)點(diǎn)，對任何軌道類型和任何航天器均適用，但缺點(diǎn)是方法過于保守，誤警率很高;碰撞概率判據(jù)則針對BOX判據(jù)的缺點(diǎn)而提出的，能避免很高的誤警率，但其建立在大量誤差數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，對誤差數(shù)據(jù)的依賴程度很高，而且模型復(fù)雜，計(jì)算量較大。本文旨在研究導(dǎo)彈在空間碎片環(huán)境下的碰撞風(fēng)險，為簡化模型和快速計(jì)算，故采用球形判據(jù)，即設(shè)定危險交會距離ΔL，當(dāng)導(dǎo)彈與碎片的距離小于ΔL時即可認(rèn)為存在碰撞危險。

2.3 碰撞預(yù)警模型建立

文獻(xiàn)［11-12］采用了基于最小地心距的快速預(yù)警解析算法，但橢圓彈道理論由于沒有考慮地球旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的牽連慣性力和柯氏慣性力，因此計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)彈道解算結(jié)果有一定偏差;運(yùn)用SDP4/SGP4解析模型計(jì)算的碎片位置也為離散點(diǎn)，所以解析算法并不適用于導(dǎo)彈與空間碎片的碰撞預(yù)警，因此本文建立了基于數(shù)值法的碰撞預(yù)警模型。

計(jì)算導(dǎo)彈和碎片位置并轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下后，可進(jìn)行碎片篩選，然后可根據(jù)一定時間步長進(jìn)行碰撞預(yù)警，依據(jù)上述分析，本文建立碰撞預(yù)警模型，其流程圖如圖1所示。當(dāng)導(dǎo)彈發(fā)射時間確定后，以導(dǎo)彈在彈道升弧段200 km高度時刻為起始時刻，計(jì)算i時刻導(dǎo)彈位置后，分別計(jì)算危險碎片的位置，并進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，根據(jù)2.2節(jié)中碰撞判據(jù)進(jìn)行碰撞風(fēng)險計(jì)算;計(jì)算完所有危險碎片后以時間步長ΔT進(jìn)行時間累加，直至彈道降弧段200 km高度時刻，仿真結(jié)束后輸出碰撞預(yù)警信息。

圖1 導(dǎo)彈與空間碎片碰撞預(yù)警流程圖Fig.1 Flow chart of impact alert between missile and space debris

3 仿真算例

本文利用2011年1月1日公布的空間碎片作為碎片仿真來源，共16 101個;計(jì)算某遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈彈道，該彈道射程為8 516 km，彈道最高點(diǎn)距地1 039.235 km;設(shè)仿真時間步長為0.5 s，危險交會距離為10 km進(jìn)行仿真。

運(yùn)用上述碎片篩選模型，剔除不可能發(fā)生碰撞碎片9 479個，耗時5.4 s;設(shè)定某一發(fā)射時間后運(yùn)用碰撞預(yù)警模型進(jìn)行仿真，有3個碎片在危險交會距離內(nèi)，共耗時2 903.15 s，其中最近交會距離為7 238.3 m，此時導(dǎo)彈距離地面高度為691.593 km，導(dǎo)彈與碎片的軌跡如圖2所示。

由于碎片在慣性坐標(biāo)系下軌道的軌道變化不大，而導(dǎo)彈由于地球自轉(zhuǎn)的原因當(dāng)發(fā)射時間改變時其飛行彈道在慣性坐標(biāo)系下會發(fā)生很大變化，所以當(dāng)發(fā)射時間改變時碰撞預(yù)警結(jié)果也不同，本文采用不同發(fā)射時間，取得碰撞預(yù)警結(jié)果如表1所示。

圖2 導(dǎo)彈與空間碎片軌跡交會圖Fig.2 Track figure for missile and space debris

表1 不同發(fā)射時間對應(yīng)交會信息Table 1 Information of across for different launch times

4 結(jié)束語

本文通過對導(dǎo)彈彈道和空間碎片預(yù)測模型的分析，建立了遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈與空間碎片碰撞預(yù)警模型，仿真結(jié)果表明空間碎片對遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈的空間飛行安全造成比較嚴(yán)重的威脅。本文的研究成果可為導(dǎo)彈發(fā)射窗口選擇和導(dǎo)彈飛行安全預(yù)警提供理論支持。為簡化預(yù)警模型，本文中危險交會距離和步長均為假設(shè)值，對此可展開進(jìn)一步研究。

［1］ National Research Council(U.S.).Committee on 0rbital Debris:A Technical Assessment［M］.Washington，D C:National Academy Press，1995.

［2］ ESA Space Debris Mitigation Handbook［S］.Second E-dition.Issue 1.0.European Space Agency，March 3，2003:15-22.

［3］ 霍江濤，秦大國，祁先鋒.空間碎片概況研究［J］.裝備指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2007，18(10):56-60.HUO Jiang-tao，QIN Da-guo，QI Xian-feng.Study on General Situatuion of Space Debris［J］.Journal of the Academy of Equipment Command＆ Technology.2007，18(10):56-60.

［4］ 譚守林，滕和平，張大巧，等.彈頭飛行空間碎片碰撞概率建模與仿真［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2007，29(3):402-404.TAN Shou-lin，TENG He-ping，ZHANG Da-qiao，et al.Modeling and Simulation of Collision Probility Between Flying Warheads and Space Debris［J］.Systems Engineering and Electronics，2007，29(3):402-404.

［5］ 龔自正，曹燕，侯明強(qiáng)，等.空間環(huán)境及其對航天器的影響與防護(hù)技術(shù)［C］∥數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、高技術(shù)研究進(jìn)展，2008，12:287-297.GONG Zi-zheng，CAO Yan，HOU Ming-qiang，et al.Space Environment Effects on the Spacecraft and It’s Protection Technology［C］∥ The Research Evolve on Math，Mechanics，Physics High and High Technic，2008，12:287-297.

［6］ 張毅，肖龍旭，王順宏.彈道導(dǎo)彈彈道學(xué)［M］.長沙:國防科技大學(xué)出版社，1999.ZHANG Yi，XIAO Long-xu，WANG Shun-hong.The Ballistics of Ballistic Missile［M］.Changsha:Defence Science University Press，1999.

［7］ 陳磊，韓蕾，白顯宗.空間目標(biāo)軌道力學(xué)與誤差分析［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2011.CHEN Lei，HAN Lei，BAI Xian-zong.Orbital Dynamics and Error Analysis of Space Object［M］.Beijing:National Defence Industry Press，2011.

［8］ HOOTS F R，ROEHRICH RL.Space Track Report No.3—Models for propagation of NORAD Element Sets［R］.Peterson:Aerospace Defense Command，Unites States Air Force，1980.

［9］ 韓蕾，陳磊，周伯昭.SGP4/SDP4模型用于空間碎片軌道預(yù)測的精度分析［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2004，4(8):65-71.HAN Lei，CHEN Lei，ZHOU Bo-zhao.Precision Analysis of SGP4/SDP4 Implemented in Space Debris Orbit Prediction［J］.Chinese Space Science and Technology，2004，4(8):65-71.

［10］ Felix R Hoots，Linda L Crawford，Ronald L Roehrich.An Analytic Method to Determine Future Close Approaches Between Satellites ［J］.Celestial Mechanics，1984，33(2):143-458.

［11］ 程陶.編目空間碎片的碰撞概率方法研究及應(yīng)用［D］.北京:中國科學(xué)院，2006.CHENG Tao.Collision Probability Analysis and App;ication of Cataloged Space Debris［D］.Beijing:Chinese Academy of Sciences，2006.

［12］ 鄭勤余，吳連大.衛(wèi)星與空間碎片碰撞預(yù)警的快速算法［J］.天文學(xué)報，2004，4(11)，422-427.ZHENG Qin-yu，WU Lian-da.A Comoutation Method to Warn the Collision Event between Space Probe and Debris［J］.Acta Astronomica Sinica，2004，4(11):422-427.