弧底梯形渠道收縮水深計(jì)算方法的簡(jiǎn)化

滕 凱，張麗偉

(1.齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾161006;2.齊齊哈爾市河道管理處，黑龍江齊齊哈爾161006)

弧底梯形明渠具有水流條件好，受力性能優(yōu)越，斷面曲線平滑，便于渠面襯砌機(jī)械化施工、連續(xù)作業(yè)［1－6］等優(yōu)點(diǎn)，因此，該種斷面形式也越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于水利水電供排水工程中［7－8］.由于弧底梯形明渠斷面的水力計(jì)算涉及高次方程求解問(wèn)題，常規(guī)的試算法、圖解法［9］或是計(jì)算過(guò)程繁瑣，或是求解成果精度不高，不便應(yīng)用;若用計(jì)算機(jī)編程求解又不便于基層工程技術(shù)人員的實(shí)際工作［10－13］.因此，有關(guān)弧底梯形明渠斷面正常水深及臨界水深計(jì)算方法的研究開展較多［14－18］，無(wú)論是公式的表達(dá)形式，還是計(jì)算精度都取得了令人滿意的結(jié)果.但截止目前，對(duì)于弧底梯形明渠收縮水深計(jì)算方法的研究，尚未發(fā)現(xiàn)相關(guān)成果.因此，研究便于實(shí)際工程應(yīng)用的簡(jiǎn)化公式，對(duì)提高弧底梯形明渠斷面收縮水深的設(shè)計(jì)工作效率及計(jì)算精度，具有一定的實(shí)際意義.

筆者通過(guò)對(duì)弧底梯形斷面明渠收縮水深基本方程變形、整理后的超越函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化擬合替代，得到了表達(dá)形式簡(jiǎn)單、計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔、求解精度高、使用范圍廣的簡(jiǎn)化近似計(jì)算式.

1 收縮水深的基本計(jì)算方程

據(jù)水力學(xué)原理［19］，收縮水深基本計(jì)算方程為

式中:E0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的過(guò)水建筑物上游總水頭，m;hc為收縮斷面處的水深，m;Q為過(guò)水流量，m3/s;g為重力加速度，通常取9.81 m/s2;φ為流速系數(shù);Ac為與收縮水深hc相對(duì)應(yīng)的拋物線形斷面面積，m2.

弧底梯形過(guò)水?dāng)嗝鎴D如圖1所示.圖中m為坡比系數(shù);h為水深;b為水面寬度;r為弧底圓形半徑.其收縮水深計(jì)算可分兩種情況:弧底圓形斷面收縮水深計(jì)算(圓弧內(nèi))和弧底梯形斷面收縮水深計(jì)算(圓弧外).

圖1 弧底梯形斷面圖

1.1 收縮水深計(jì)算公式判別

由弧底梯形斷面過(guò)流條件可知，當(dāng)收縮水深位于弧底曲線與梯形邊坡線的切點(diǎn)以下時(shí)，收縮水深發(fā)生在圓弧內(nèi)，反之，收縮水深發(fā)生在圓弧外.用數(shù)學(xué)方法可求得水面線通過(guò)切點(diǎn)處的收縮水深為

因此可得:

由式(2)可見，當(dāng)m→∞時(shí)，hc→0，切點(diǎn)逐步接近弧底頂點(diǎn)，渠道斷面漸進(jìn)于一條直線;而當(dāng)m→0時(shí)，hc→r，渠道斷面逐步接近于U形明渠.

1.2 收縮水深發(fā)生在弧底圓弧內(nèi)

當(dāng)收縮水深發(fā)生在圓弧內(nèi)時(shí)，收縮水深按圓形斷面條件計(jì)算，其水力要素為:

式中θ為與收縮水深hc相對(duì)應(yīng)的圓心角的一半，rad.

將式(5)，(6)代入式(1)，并設(shè)

式中:k為無(wú)量綱已知綜合參數(shù);β為已知中間參數(shù).

經(jīng)進(jìn)一步整理即可獲得無(wú)量綱水深x的計(jì)算公式:

1.3 收縮水深發(fā)生在弧底圓弧外

收縮水深發(fā)生在圓弧外時(shí)，其過(guò)水?dāng)嗝嫠σ貫?

將式(9)，(10)代入式(1)，經(jīng)整理即可求得無(wú)量綱水深x的計(jì)算公式，

2 收縮水深近似公式及精度分析

2.1 擬合公式的建立

式(8)及(11)為含x的超越或高次方程，無(wú)法直接獲解.為此，筆者采用擬合替代的方法提出簡(jiǎn)化計(jì)算公式.

在式(8)及(11)中，設(shè)

在工程實(shí)用范圍內(nèi)，現(xiàn)假定:當(dāng)收縮水深發(fā)生在弧底圓弧內(nèi)及圓弧外時(shí)，函數(shù)y1=f(x)及y2=f(βx)可以分別替代式(12)中的y1及y2，并分別展繪y1－x及y2－βx關(guān)系曲線(限于篇幅，曲線圖略)，依據(jù)曲線關(guān)系經(jīng)數(shù)值回歸分析，以最小標(biāo)準(zhǔn)剩余差為目標(biāo)函數(shù)［20］，即

式中:N為擬合計(jì)算的數(shù)組數(shù);yi為理論值;y'i為擬合計(jì)算值.

經(jīng)逐次逼近擬合［21］即可獲得如下替代函數(shù)，即

或

將式(13)，(14)分別代入式(8)及式(11)，經(jīng)整理即可求得無(wú)量綱水深x.

當(dāng)k＜k0時(shí)(收縮水深發(fā)生在圓弧內(nèi))，

當(dāng)k≥k0時(shí)(收縮水深發(fā)生在圓弧外)，

式中:A，B，C，D均為中間變量;k0為收縮水面線通過(guò)弧底圓弧與梯形邊坡切點(diǎn)情況下的渠道綜合參數(shù)(界限參數(shù))，可由式(1)，(2)，(5)，(6)聯(lián)立求得:

x求出后，即可用下式求得收縮水深hc，即

2.2 擬合公式的精度分析

為比較式(15)與式(8)、式(16)及式(11)的擬合精度，在給定的實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，取不同的xi，βi及mi值分別由式(8)及式(11)計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的 ki，再將 ki，βi及 mi分別代入式(15)，(16)即可求得與之相對(duì)應(yīng)的x'i(x'i為xi的擬合近似替代值)，并由式(18)計(jì)算擬合相對(duì)誤差，進(jìn)而根據(jù)各xi所對(duì)應(yīng)的最大誤差值(max(zi))繪制擬合相對(duì)誤差包絡(luò)線，如圖2所示.

式中:zi為擬合相對(duì)誤差;i為擬合計(jì)算的點(diǎn)數(shù).

圖2 擬合誤差包絡(luò)線

由圖2 可知，當(dāng) 0.1≤x＜1.0，0.01≤m≤7.00時(shí)，式(15)，(16)的擬合誤差包絡(luò)線在x軸的上、下擺動(dòng)較大，最大正、負(fù)相對(duì)誤差分別為0.727%和－0.741%，而當(dāng)1.0≤x≤10.0 時(shí)，其最大擬合相對(duì)正、負(fù)誤差的絕對(duì)值均不大于0.3%，且正、負(fù)誤差的包絡(luò)線為趨于平行于x軸的兩條直線.可見，公式(15)，(16)具有較好的擬合精度，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求.

3 應(yīng)用舉例

已知某引水渠道設(shè)計(jì)橫斷面為弧底梯形，弧底半徑r=2.0 m，邊坡比系數(shù) m=3.0，進(jìn)水口為一溢流壩，壩上設(shè)有閘控制，流速系數(shù)φ=0.95，試計(jì)算當(dāng)閘前總水頭 E0=10.0 m、引水流量 Q=100.0 m3/s和1.0 m3/s時(shí)渠道內(nèi)的收縮水深 hc值.

1)當(dāng) Q=100.0 m3/s時(shí)，根據(jù)已知參數(shù)，由式(7)可求得:β =0.2，k=1.878 74.由式(17)可求得界限參數(shù):k0=0.021 64＜k，因此選式(16)進(jìn)行計(jì)算，因 λ =0.324 56，可求得中間變量:B=2.933 57，C=0.186 28，D= －1.892 82.從而求得無(wú)量綱水深x=0.772 14，則有:hc=1.544 3 m.

本例收縮水深的精確解為hc=1.547 1 m，文中公式計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差為－0.18%.

2)當(dāng)Q=1.0 m3/s時(shí)，根據(jù)已知參數(shù)，由式(7)可求得:β =0.2，k=0.018 787.因 k ＜ k0，選式(15)計(jì)算無(wú)量綱水深 x.經(jīng)計(jì)算可求得中間變量 A=3.704 07，則無(wú)量綱水深 x=0.046 33，由此得:hc=0.093 m.

本例收縮水深的精確解為hc=0.093 m，文中公式計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差為0%.

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)目前弧底梯形斷面收縮水深傳統(tǒng)計(jì)算方法存在的問(wèn)題，采用優(yōu)化擬合的方法，對(duì)公式中超越方程進(jìn)行擬合替代，獲得了表達(dá)形式相對(duì)簡(jiǎn)單且具有較高擬合精度的近似計(jì)算公式.實(shí)際工作僅借助計(jì)算器即可完成解算，適合廣大基層工程技術(shù)人員應(yīng)用.應(yīng)用實(shí)例的計(jì)算結(jié)果表明，文中公式計(jì)算方法簡(jiǎn)潔，結(jié)果精度可靠.

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