一種基于萬有引力的自生長(zhǎng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

李滿天，王春林，王鵬飛，查富生，郭 偉

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

生物的節(jié)律性運(yùn)動(dòng)主要是由低級(jí)神經(jīng)系統(tǒng)中的中樞模式發(fā)生器（CPG）產(chǎn)生的，可以在缺乏上層控制信號(hào)以及外界感知反饋的情況下保持穩(wěn)定的振蕩，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)［1］，成為機(jī)器人仿生控制領(lǐng)域研究的一個(gè)熱門方向。隨著生物神經(jīng)元自生長(zhǎng)的數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展［2-5］，為通過模擬神經(jīng)元自生長(zhǎng)的方法建立CPG神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供了可能。

1 生長(zhǎng)錐運(yùn)動(dòng)方程

生物學(xué)上，首先神經(jīng)元發(fā)育初期只有細(xì)小的突起，這些突起在胞體上通常是隨機(jī)分布的，它們形成神經(jīng)元的樹突，并且在生長(zhǎng)過程中由于類似正反饋的作用，通常它們當(dāng)中有一根樹突會(huì)發(fā)育成為軸突，其他的仍然保持樹突，而能夠主動(dòng)與其他神經(jīng)元建立連接關(guān)系的只有軸突，這一過程成為極性的建立；然后在神經(jīng)元軸突的生長(zhǎng)過程中，其由末端的生長(zhǎng)錐控制的前進(jìn)方向，生長(zhǎng)錐通過對(duì)目標(biāo)神經(jīng)的感知，產(chǎn)生前突和回縮等操作實(shí)現(xiàn)前向運(yùn)動(dòng)，從而引導(dǎo)軸突向目標(biāo)神經(jīng)元的方向伸長(zhǎng)［3］。

在數(shù)值仿真中，將生長(zhǎng)錐簡(jiǎn)化為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其極性的建立過程簡(jiǎn)化為對(duì)生長(zhǎng)錐初始速度v0的設(shè)定，設(shè)其表示為v0=（v0x，v0y），由于極性建立具有隨機(jī)性，因此，通常設(shè)v0x和v0y服從均勻隨機(jī)分布，則初始的生長(zhǎng)方向表示為：

而目標(biāo)神經(jīng)元對(duì)其產(chǎn)生的引導(dǎo)作用簡(jiǎn)化為外力F，生長(zhǎng)錐的前向運(yùn)動(dòng)當(dāng)作在該外力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡形成神經(jīng)元的軸突，如圖1所示。

設(shè)二維平面生長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)有n個(gè)神經(jīng)元，對(duì)第i個(gè)神經(jīng)元的軸突而言，其所受到的合外力為：

Fji為第j個(gè)神經(jīng)元對(duì)第i個(gè)生長(zhǎng)錐的作用力，采用萬有引力表示為［5］：

圖1 軸突生長(zhǎng)

mi為第i個(gè)生長(zhǎng)錐的質(zhì)量；Mj為第j個(gè)神經(jīng)元的胞體質(zhì)量；g為引力系數(shù)；rij為第i個(gè)生長(zhǎng)錐與第j個(gè)神經(jīng)元胞體的距離。

根據(jù)上述合外力方程，結(jié)合牛頓定理，得到生長(zhǎng)錐在引力場(chǎng)中的基本運(yùn)動(dòng)方程為：

x，y分別為生長(zhǎng)錐在XY坐標(biāo)軸上的位移；Fi，F(xiàn)j分別為合外力在XY方向上的分力。

對(duì)于一定的生長(zhǎng)區(qū)域，為了確保生長(zhǎng)錐能夠始終在該區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在區(qū)域邊界處增加局部約束，將生長(zhǎng)錐與邊界的接觸當(dāng)作彈性碰撞來處理［5］，表示為：

xmin，xmax，ymin和ymax分別為生長(zhǎng)區(qū)域的邊界值。

當(dāng)生長(zhǎng)錐與目標(biāo)神經(jīng)元之間距離接近到一個(gè)臨界閾值時(shí)，此時(shí)認(rèn)為軸突能夠與其形成突觸連接，可以停止運(yùn)動(dòng)，完成一次生長(zhǎng)。

2 神經(jīng)元連接算法

CPG神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常都是由多個(gè)神經(jīng)元之間相互連接而成，中間的神經(jīng)元是建立合適連接路徑的樞紐，而不同的連接路徑，輸出信號(hào)的關(guān)系就會(huì)不同，所以對(duì)軸突而言關(guān)鍵是選擇連接的目標(biāo)。

采用全局搜索算法來獲得各個(gè)軸突的連接目標(biāo)，通過對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行展開，直至搜索到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，并且判斷該條路徑是否符合目標(biāo)要求。搜索算法的流程如圖2所示。

圖2 搜索算法流程

3 神經(jīng)元輸出函數(shù)

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有高度的非線性特性，通常用非線性函數(shù)來描述神經(jīng)元輸入與輸出的關(guān)系［6］，常用的有s型函數(shù)、雙曲正切函數(shù)和高斯函數(shù)等。因此，采用s型函數(shù)來定義神經(jīng)元的輸出函數(shù)，表示為：

x為軸突長(zhǎng)度。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在生物學(xué)上，四足動(dòng)物常用的步態(tài)有 Walk步態(tài)、Pace步態(tài)和Gallop步態(tài)等，而在四足仿生機(jī)器人中，考慮到機(jī)器人的自穩(wěn)定性，經(jīng)常采用的步態(tài)包括Walk步態(tài)和Gallop步態(tài)。根據(jù)四足機(jī)器人步態(tài)的定義，其主要由髖關(guān)節(jié)上的信號(hào)控制，所以建立1，2，3和4號(hào)神經(jīng)元分別與左前LF，右前RF，左后LH和右后RH髖關(guān)節(jié)相對(duì)應(yīng)，其輸出信號(hào)yi（i=1，2，3，4）控制髖關(guān)節(jié)的擺動(dòng)，虛線框中的5至13號(hào)神經(jīng)元為中間連接神經(jīng)元，且其空間位置是固定的，生長(zhǎng)區(qū)域?yàn)榇笮?0×20的正方形，如圖3所示。

用于描述CPG神經(jīng)元信號(hào)的數(shù)學(xué)模型有多種，常見的是諧波信號(hào)，用van der Pol振子描述神經(jīng)元上振蕩信號(hào)［7］，表示為：

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真環(huán)境

ω0為周期信號(hào)的固有頻率，取0.4π，其可以穩(wěn)定地產(chǎn)生近似圖，如圖4所示。其中，連接曲線表示各個(gè)神經(jīng)元的軸突，從圖4中可以看出，4個(gè)輸出神經(jīng)元之間通過中間神經(jīng)元都形成了有效的連接路徑，為神經(jīng)元上振蕩信號(hào)的傳導(dǎo)奠定了基礎(chǔ)。令1號(hào)神經(jīng)元信號(hào)的相位為基準(zhǔn)，設(shè)為零，分別計(jì)算2，3，4號(hào)輸出神經(jīng)元相對(duì)1號(hào)的相位差，則 Walk和Gallop步態(tài)的期望相位差分別為［180，90，270］、［0，180，180］，經(jīng)過仿真得到的實(shí)際相位差如表1所示。與期望的相位差相比，仿真得到結(jié)果的實(shí)際誤差在±5°以內(nèi)，能夠滿足實(shí)際要求。

表1 相位差仿真結(jié)果 （°）

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真結(jié)果

將van der Pol振子帶入神經(jīng)元后得到各個(gè)神經(jīng)元上的振蕩信號(hào)，如圖5所示。從圖5中可以看出，上述2種步態(tài)下1～2，1～3和1～4神經(jīng)元之間振蕩信號(hào)的相位差滿足目標(biāo)要求，且振蕩穩(wěn)定。

5 結(jié)束語(yǔ)

圖5 神經(jīng)信號(hào)仿真結(jié)果

為了探索新的CPG神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，從生物學(xué)角度出發(fā)，基于萬有引力方程得到生長(zhǎng)錐的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，實(shí)現(xiàn)神經(jīng)元軸突的生長(zhǎng)，并且結(jié)合全局搜索算法，以四足機(jī)器人為對(duì)象，設(shè)計(jì)了其步態(tài)控制網(wǎng)絡(luò)，通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，生長(zhǎng)出了Walk步態(tài)和Gallop步態(tài)對(duì)應(yīng)的CPG神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，仿真結(jié)果滿足目標(biāo)要求，驗(yàn)證了該方法的可行性。

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