例談化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

郭 靖

(陜西省山陽中學(xué)，陜西 山陽 726400)

我們知道整個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，始終貫穿著數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法這兩條線?；瘹w方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)方法之一。所謂“化歸”就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。化歸方法是數(shù)學(xué)解決問題的一般方法。其基本思想是：人們在解決數(shù)學(xué)問題時，常常是將待解決的問題A通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個問題B，而問題B是相對較易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題B的解決可得原問題A的解答。

下面就化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用結(jié)合例題談幾點筆者的體會。

1 由此及彼，將陌生的問題熟悉化

將陌生的問題向已知熟悉的知識轉(zhuǎn)化，使之能用熟悉的知識和方法解決新的問題。這種轉(zhuǎn)化常常可達(dá)到事半功倍的效果，使一些陌生的新問題變得迎刃而解。例如，在一次作業(yè)批改過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對下面一道題目做錯的特別多：

講評時，我并沒有直接就題講題，而是給出了下面一道題目：

對于變式題，同學(xué)們很快給出了正確解答——“1”的代換，再用基本不等式，這是同學(xué)們早已熟悉了的一種常用方法。接著，我又引導(dǎo)同學(xué)們比較兩題目的區(qū)別與聯(lián)系：顯然，在0＜x＜的條件下，sinx＞0，1-sinx＞0 且 sinx+（1-sinx）=1， 若令 a=sinx，b=1-sinx 則兩問題本質(zhì)上完全相同。至此，同學(xué)們恍然大悟，感嘆道：“這真是：山窮水復(fù)凝無路，柳暗花明又一村”——此化歸之妙哉！

2 學(xué)會逆向思維，將復(fù)雜問題單化

復(fù)雜問題簡單化是數(shù)學(xué)解題中運用最普遍的思考方法，一個難以直接解決的問題通過對問題深入觀察和研究，轉(zhuǎn)化成簡單的問題迅速求解。例如：

【說明】（1）﹑（2）兩問較為容易，在此不再贅述。 （3）問標(biāo)答所給的證明方法中學(xué)生接受起來有一定的困難，在一次高考復(fù)課研討會上，講課老師曾給出了多種證法，但所用到的知識均有超出中學(xué)所學(xué)知識范圍之嫌，在現(xiàn)行的新課標(biāo)中，教材雖有所涉及，但均屬選修內(nèi)容，且難度較大。事實上，我們圍繞目標(biāo)分析，經(jīng)過一系列的化歸不難解決。

又

又由數(shù)學(xué)歸納法容易證明，當(dāng)n≥3時，3n＞2（n2+n）即

故原不等式成立。

這樣，使得一些表面看似很復(fù)雜的問題，通過一步一步的化歸轉(zhuǎn)化變得也不再十分復(fù)雜。

3 構(gòu)造模型，使一些棘手問題簡單化

在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確提出“讓學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué)”，把數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用能力提高到了一個非常重要的地位，函數(shù)、數(shù)列……中學(xué)課本所有內(nèi)容無不體現(xiàn)這一重要思想，而要把一個實際問題用數(shù)學(xué)知識來解決，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)也就自然成了重中之重，因此在日常的教學(xué)中，我們應(yīng)該潛意識的注重培養(yǎng)學(xué)生一些基本的數(shù)學(xué)模型能力。例如：

例3 (07廣東高考理科第12題)如果一個凸多面體為n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有_____條。這些直線中共有 f（n）對異面直線，則 f（4）=_____；f（n）＝_____。 （答案用數(shù)字或 n的解析式表示）

圖1

分析：因為n棱錐共有n+1個頂點，任意兩點可連一直線，故所有頂點所確定的直線共有

對于f（n）的計算可將問題化歸為過這n+1個頂點可構(gòu)成多少個三棱錐，因為一個三棱錐中共有3對異面直線——這是我們所熟悉的問題。而n棱錐的n+1個頂點中，任選四個能構(gòu)成三棱錐的必含棱錐頂點，再從底面的n個頂點中人選3個，故，進(jìn)而易得 f（4）=12。

總之，在數(shù)學(xué)中化歸的思想與方法幾乎是無處不在，無時不在。化歸的思想在數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛，重視這種方法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用，對學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、敏捷性、創(chuàng)造性，及去發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力將有重要的意義。

從廣義上說，數(shù)學(xué)問題的求解都是運用已知條件對問題進(jìn)行一連串恰當(dāng)轉(zhuǎn)化歸結(jié)，進(jìn)而達(dá)到解題目的一個探索過程，熟練、恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以迅速、準(zhǔn)確地解決問題。靈活的轉(zhuǎn)化可以出方法、出速度。而數(shù)學(xué)問題中運用化歸思想解題的例子比比皆是，絕不是幾種類型可以加以概括的，平時教學(xué)中，只要我們教師具有化歸的思想意識，深入鉆研教材、挖掘和提煉中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的轉(zhuǎn)化矛盾思想，針對不同的問題，縝密思考，及時總結(jié)各種“轉(zhuǎn)化歸結(jié)”方法，有意識地加強(qiáng)化歸方法的教學(xué)，對于培養(yǎng)造就“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)新”型人才具有十分深遠(yuǎn)的意義。

［1］張景斌，主編.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教程[M].

［2］王子興.數(shù)學(xué)方法論[M].

［3］蘇炳堂.淺談化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中小學(xué)教育，2010（11）.