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    動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用

    2013-08-22 08:02:36劉鳳鳴
    科技視界 2013年7期
    關(guān)鍵詞:盈利貨物分配

    劉鳳鳴

    (浙江海洋學(xué)院 數(shù)理與信息學(xué)院,浙江 舟山 316000)

    1 動態(tài)規(guī)劃的基本概念

    多階段決策過程,是指一類特殊的過程,它們可以按時間順序分解成若干個相互聯(lián)系的階段,稱為“時段”,在每個時段都要做決策,全部過程的決策是一個決策序列。多階段決策問題也稱為序貫決策問題。

    多階段決策問題的目標(biāo)是要達到整個活動過程的總體最優(yōu)。在每個階段進行決策時不應(yīng)僅考慮本階段最優(yōu),尤其應(yīng)考慮對最終目標(biāo)的影響,從而做出對全局來說最優(yōu)的決策。動態(tài)規(guī)劃是符合這種要求的一種決策方法。

    動態(tài)規(guī)劃開始只是應(yīng)用于多階段決策性問題,后來漸漸被發(fā)展為解決離散最優(yōu)化問題的有效手段,進一步應(yīng)用于一些連續(xù)性問題上。然而,動態(tài)規(guī)劃更像是一種思想而非算法,它沒有固定的數(shù)學(xué)模型,沒有固定的實現(xiàn)方法,其正確性也缺乏嚴格的理論證明。因此,一直以來動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)理論模型是一個研究的熱點。一個多階段決策過程最優(yōu)化問題的動態(tài)規(guī)劃模型通常包含以下基本要素:階段、狀態(tài)、決策、策略、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程、指標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)值函數(shù),在建立動態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型時,主要是確定這些動態(tài)規(guī)劃的基本要素。

    2 動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟

    2.1 劃分階段

    應(yīng)將實際問題恰當(dāng)?shù)胤指畛蒼個子問題(n個階段)。通常是根據(jù)時間或空間而劃分的,或者在經(jīng)由靜態(tài)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)換為動態(tài)規(guī)劃模型時,常取靜態(tài)規(guī)劃中變量的個數(shù)n,即k=n。

    2.2 選擇狀態(tài)

    正確地定義狀態(tài)變量sk,使它既能正確地描述過程的狀態(tài),又能滿足無后效性.動態(tài)規(guī)劃中的狀態(tài)與一般控制系統(tǒng)中和通常所說的狀態(tài)的概念是有所不同的。

    2.3 確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

    之所以把這兩步放在一起,是因為決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系,狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以,如果我們確定了決策,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了。但事實上,我們常常是反過來做,根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。

    2.4 寫出規(guī)劃方程(包括邊界條件)

    動態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達式。一般說來,只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了,這一步還是比較簡單的。

    3 動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用問題

    3.1 資源分配問題

    例:某物流公司每天要給3家公司運送6車貨物,如果各公司獲得這些貨物之后獲得的盈利如表1所示,則這車貨物如何分配給各工廠才能使盈利最大。

    表1

    解:將問題按公司分為3個階段,甲、乙、丙三個公司分別編號為1、2、3

    設(shè)sk表示為分配給第k個公司至第n個公司的貨物車數(shù)

    xk表示為分配給第k個公司的貨物數(shù)量

    則sk+1=sk-xk為分配給第k+1個公司至第n個公司的貨物車數(shù)

    pk(xk)表示為xk車貨物分配到第k個公司所得的盈利值

    fk(sk)表示為sk車貨物分配給第k個公司至第n個公司時所得到的最大盈利值

    根據(jù)逆推關(guān)系式

    fk(sk)=max{pk(xk)+fk+1(sk-xk)},k=3,2,1

    0≤xk≤sk

    f4(s4)=0

    所以從最后一個階段開始向前逆推計算

    第三階段:

    設(shè)將 s3 車貨物(s3=0,1,2,3,4,5,6)全部分配給公司丙時,最大盈利值為

    f3(s3)=max[p3(x3)]

    其中 x3=s3=0,1,2,3,4,5,6

    因為此時只有一個公司,有多少車貨物就全部分配給公司丙,故它的盈利值就是該段的最大盈利值,其數(shù)值計算如表2所示。

    第二階段:

    k=2 時,設(shè)把 s2 車貨物(s2=0,1,2,3,4,5,6)分配給公司乙和丙時,對每個s2值有一種最優(yōu)分配方案,使最大盈利值為

    表2

    表中,x3*表示使f3(x3)為最大值時的最優(yōu)決策。

    表3

    f2(s2)=max[p2(x2)+f3(s2-x2)]

    其中 s2=0,1,2,3,4,5,6

    因為乙公司x2車,其盈利為p2(x2),余下的s2-x2車就給丙公司,則它的盈利最大值為 f3(s2-x2)。 現(xiàn)在選擇x2的值,使 p2(x2)+f3(s2-x2)取最大值,其數(shù)值計算如表3所示。

    第一階段:

    k=1時,設(shè)把s1車(這里只有s1=6的情況)貨物分配給甲、乙、丙三個公司時,最大盈利值為

    f1(6)=max[p1(x1)+f2(6-x1)]

    其中 x1=0,1,2,3,4,5,6

    因為給甲公司x1車,其盈利為p1(x1),剩下的6-x1車就分給乙和丙兩個公司,則它的盈利最大值為f2(6-x1),現(xiàn)選擇 x1值,使p1(x1)+f2(6-x1)取最大值,它就是所求的總盈利最大值,其數(shù)值計算如表4所示。

    表4

    根據(jù)計算表格的順序反推算,可知最優(yōu)分配方案為:

    x1*=1,由于s2=s1-x1*=6-1=5,查第二個表可知x2*=5,s3=s2-x2*=5-5=0

    即得甲公司分配1車,乙公司分配5車,丙公司不分配,總盈利為17。

    3.2 設(shè)備更新問題

    現(xiàn)以一臺機器設(shè)備為例,在使用過程中,每年都面臨繼續(xù)使用或更新的決策,要求在n年內(nèi)的每年年初作出決策,是繼續(xù)使用舊設(shè)備還是更換一臺新的,使n年內(nèi)總效益最大。

    n為設(shè)備計劃使用年數(shù)。

    Ik(t)為第k年(階段)機器役齡為t年的一臺機器運行(在使用一年)所得的收入。

    Ok(t)為第k年機器役齡為t年的一臺機器運行(再使用一年)時所需運行的費用(或維修費用)。

    Ck(t)為第k年機器役齡為t年的一臺機器更新時所需的凈費用(處理一臺役齡為t的舊設(shè)備,買進一臺新設(shè)備的更新凈費用)。

    a為折扣因子,表示一年以后的收入是上一年的a單位。

    T為在第一年開始正在使用的機器的役齡。

    最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)gk(t):表示第k年初,使用一臺已用了t年的設(shè)備,到第n年末的最大收益。

    xk(t)表示給出 gk(t)時,在第 k 年開始時的決策(保留或更新)建立動態(tài)規(guī)劃模型如下:

    階段k(k=1,2,…,n)表示計劃使用該設(shè)備的年限數(shù)。

    決策變量xk:是第k年初更新,還是保留使用舊設(shè)備,分別用R,K表示。

    狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為:

    例:假設(shè)n=5,a=1,T=1,某臺新設(shè)備的年收入及運行費用、更新費用如表5,試確定五年內(nèi)的更新策略,使總效益達到最大。

    表5

    解:因第k年開始機齡為t年的機器,其制造年序應(yīng)為k-t年,因此,I5(0)為第五年新產(chǎn)品的收入,即 I5(0)=43,I3(2)為第一年的產(chǎn)品其機齡為 2年的收入,即I3(2)=30,C5(1)是第五年機齡為1年的機器(應(yīng)為第四年的產(chǎn)品)的更新費用,即C5(1)=41,其余同理類推。

    當(dāng)k=1時,由于設(shè)T=1,所以從第五年開始計算時,機器使用了1、2、3、4、5 年,根據(jù)遞推關(guān)系式

    最后根據(jù)上面的結(jié)果反推之,可求得最優(yōu)策略為

    第一年機齡為1,最佳策略為K

    第二年機齡為2,最佳策略為R

    第三年機齡為1,最佳策略為K

    第四年機齡為2,最佳策略為K

    第五年機齡為3,最佳策略為K

    最大收益為99。

    4 總結(jié)

    動態(tài)規(guī)劃是一種將問題實例分解為更小的、相似的子問題,并存儲子問題的解而避免計算重復(fù)的子問題,以解決最優(yōu)化問題的算法策略。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題,這類問題會有多種可能的解,每個解都有一個值,而動態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)(最大或最?。┲档慕?。若存在若干個取最優(yōu)值的解的話,它只取其中的一個。在求解過程中,該方法也是通過求解局部子問題的解達到全局最優(yōu)解,在動態(tài)規(guī)劃的設(shè)計過程中,階段的劃分和狀態(tài)的表示是非常重要的兩步,這兩步會直接影響該問題的計算復(fù)雜性,有時候階段劃分或狀態(tài)表示的不合理還會使得動態(tài)規(guī)劃法不適用。動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)點是最優(yōu)解是全局最優(yōu)解,能得到一系列(包括子過程)的最優(yōu)解,不需要對系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程、階段效應(yīng)函數(shù)等的解析性質(zhì)作任何假設(shè)。缺點是沒有統(tǒng)一的標(biāo)準模型和標(biāo)準的算法可供使用,應(yīng)用有局限性。

    [1]運籌學(xué)[M].3版.清華大學(xué)出版社

    [2]動態(tài)規(guī)劃案例[OL].百度文庫.

    [3]運籌學(xué)動態(tài)規(guī)劃[OL].百度文庫.

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