在微積分教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

龐 亮

（華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 楚天學(xué)院，湖北 武漢430205）

0 引言

近十余年，我國(guó)普遍興起了數(shù)學(xué)建模教學(xué)和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，推動(dòng)了高校數(shù)學(xué)的教學(xué)改革。數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問(wèn)題的中介和橋梁，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力是提高數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力的重要手段，在微積分教學(xué)過(guò)程中穿插建模能力訓(xùn)練對(duì)學(xué)生是十分必要的。

2012年湖北省高等學(xué)校省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目 “獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)建模與大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)研究”和華中農(nóng)業(yè)大學(xué)楚天學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目《微積分優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)》中，結(jié)合各專業(yè)特點(diǎn)，將本校微積分劃分為四類，分別是微積分A，B，C，D，本文結(jié)合食生院學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，嘗試在微積分B教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想。以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問(wèn)題為主線，以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來(lái)組織教學(xué)工作。通過(guò)教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問(wèn)題的全過(guò)程，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；提高他們學(xué)習(xí)微積分的興趣和應(yīng)用微積分的意識(shí)和能力，使他們?cè)谝院蟮墓ぷ髦心芙?jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題。教師利用一些事先設(shè)計(jì)好的問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極開(kāi)展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力。

在實(shí)踐中，數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用過(guò)程是復(fù)雜的，但也是有規(guī)律可循的。微積分B的特點(diǎn)是內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少，教師在完成教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)建模的思想融入微積分B的教學(xué)中是存在困難的，這要求教師熟悉數(shù)學(xué)建模思想和方法，同時(shí)也要把握好微積分B的教學(xué)重點(diǎn)。

1 應(yīng)用實(shí)例

我微積分B主要針對(duì)的三個(gè)專業(yè)分別是食品科學(xué)與工程，食品安全，生物工程。一些可以用微積分模型來(lái)描述的問(wèn)題，如疾病傳染、人口增長(zhǎng)、種群競(jìng)爭(zhēng)等問(wèn)題，應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決。一些重要模型的求解和分析應(yīng)在教學(xué)中有所反映，比如Logisitic模型能描述人口、生態(tài)、廣告等許多領(lǐng)域的問(wèn)題。在微積分B教學(xué)中融入建模思想可以改善教學(xué)內(nèi)容與應(yīng)用脫節(jié)的狀況，促進(jìn)學(xué)生盡早接觸微積分的應(yīng)用領(lǐng)域，更好的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。下面我們舉例說(shuō)明微積分教學(xué)內(nèi)容的“融入”數(shù)學(xué)建模思想的問(wèn)題。

1.1 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

微分是函數(shù)的相對(duì)變化的極限過(guò)程。導(dǎo)數(shù)、微分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用比較廣泛，主要反映為邊際、彈性等。在微積分B教學(xué)中通過(guò)數(shù)學(xué)建模將這部分知識(shí)與實(shí)際生活結(jié)合的實(shí)例主要表現(xiàn)有：食品的最佳銷售時(shí)機(jī)，食品生產(chǎn)中機(jī)械與人工的調(diào)配問(wèn)題等等。

1.2 函數(shù)極值的應(yīng)用

極值問(wèn)題是最優(yōu)化模型求解的基礎(chǔ)，在教學(xué)中可以插入利用最優(yōu)化方法建模的思想，既使學(xué)生看到了導(dǎo)數(shù)在實(shí)踐中的應(yīng)用，也學(xué)會(huì)了建模的基本步驟。

例1 魚(yú)貯量問(wèn)題

一位魚(yú)類生物學(xué)家對(duì)一個(gè)湖中的魚(yú)貯量進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)每單位面積的水域有種魚(yú)時(shí)，一個(gè)季度后，每種魚(yú)的平均重量為：

W（n）=400-20n（單位；g），0≤n≤20.

試求當(dāng)n為多少時(shí)，一個(gè)季度后，魚(yú)的總重量達(dá)到最大？

分析：湖的面積是固定的，與魚(yú)的種類n無(wú)關(guān)，因此當(dāng)每單位面積水域的魚(yú)重量最大時(shí)，湖里魚(yú)的總重量最大。

解：每單位面積魚(yú)的總重量為Y（n），根據(jù)題意：

Y（n）=W（n）×n=400n-20n2

Y'（n）=400-40n.

當(dāng) n=10 時(shí)，Y'（n）=0.

答：當(dāng)n=10時(shí)，一個(gè)季度后，魚(yú)的總重量達(dá)到最大。

1.3 微分方程與曲線積分的應(yīng)用

微分方程和曲線積分的應(yīng)用實(shí)例很多，比如人口模型，單種群動(dòng)物模型，江河污染物的降解系數(shù)，放射性元素的衰變模型等等。這里主要介紹在微積分B教學(xué)過(guò)程中引入的模型實(shí)例。

例2 藥物總量

設(shè)液體以5mL/s的速度將藥物送人容積是300mL的容器中，且液體以相同的速度離開(kāi)器官。如果進(jìn)入液體中的藥品的濃度是0.1g/mL，且時(shí)間t=0時(shí)，器官內(nèi)沒(méi)有藥物。試求器官內(nèi)藥物總量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)以及1min時(shí)器官內(nèi)藥物總量。

藥物進(jìn)入器官速率為 5（mL/s）×0.1（g/mL）＝0.5（g/s）.

又由于總量的變化率等于藥物進(jìn)入速率與離開(kāi)速率之差，故：

這就是我們建立的微分方程模型。

將 x（0）=0 代入，得 c=-30.

1min 時(shí)器官內(nèi)藥物總量為 x（60）=30-30e-1≈18.96g.

例3 人口預(yù)報(bào)模型

問(wèn)題：今年人口數(shù)量是n0,年增長(zhǎng)率r0為常數(shù)，問(wèn)t年后人口數(shù)會(huì)是多少。

模型構(gòu)成：設(shè)時(shí)刻的人口數(shù)量為n（t0）

由分析得：n（t+△t）-n（t）=r·△t·n（t）

分離變量，兩邊積分即可得到。

例4 灰太狼抓羊的問(wèn)題

一只羊在羊村北面80米處玩耍，灰太狼出現(xiàn)在羊的正東100米處。當(dāng)兩只動(dòng)物同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方以后，羊奔向羊村，灰太狼以快于羊一倍的速度緊追羊不放?；姨窃谧汾s過(guò)程中所形成的軌跡就是追擊曲線?；姨鞘欠駮?huì)在羊跑回羊村之前抓住羊？

分析：假設(shè)灰太狼奔跑的軌跡是連續(xù)曲線，以二者剛發(fā)現(xiàn)對(duì)方時(shí)羊所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，羊朝向灰太狼的方向?yàn)閤軸正向。設(shè)任意時(shí)刻羊的坐標(biāo)為（x1，y1），灰太狼的坐標(biāo)為（x，y），顯然灰太狼的奔跑軌跡可用方程 y=y（x）來(lái)描述。

提問(wèn)：（讓學(xué)生自己思考）

（1）計(jì)算任意時(shí)刻灰太狼的速度（利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程進(jìn)而解決速度問(wèn)題）；

（2）假設(shè)二者都是勻速奔跑，則相同時(shí)間內(nèi)二者奔跑路程的倍數(shù)關(guān)系就等于二者速度之間的倍數(shù)關(guān)系。嘗試建立灰太狼從開(kāi)始計(jì)算到任意時(shí)刻所奔跑的路程表達(dá)式（利用第一類曲線積分解決）。

2 結(jié)束語(yǔ)

微積分理論基礎(chǔ)的建立是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍。極限概念揭示了“有限”與“無(wú)限”、“收斂”與“發(fā)散”、“間斷”與“連續(xù)”等的辨證關(guān)系，是這對(duì)矛盾聯(lián)系的橋梁。使學(xué)生了解“無(wú)限”建立在“有限”之上，滲透深刻的數(shù)學(xué)思想以及“變中有不變”、“有限”中有“無(wú)限”，“無(wú)限”中有“有限”的觀點(diǎn)等。在介紹微積分知識(shí)體系的過(guò)程中，適當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)模型思想，提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和人文精神。根據(jù)食生院學(xué)生特點(diǎn)，特別開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)建模選修課，使這些學(xué)生認(rèn)識(shí)到，微積分的理論、方法在各自專業(yè)中的應(yīng)用。另一方面，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)容非常感興趣，很多同學(xué)在大一就對(duì)數(shù)學(xué)建模有了一定的了解，大二的時(shí)候又積極參加全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，并獲得了全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)。這樣同時(shí)也為他們學(xué)習(xí)后繼課程打下了一定的基礎(chǔ)，比如線性規(guī)劃，概率統(tǒng)計(jì)，無(wú)機(jī)化學(xué)等等。

微積分教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想必然會(huì)受到越來(lái)越多的重視，這是解決辦學(xué)效率和優(yōu)秀人才培養(yǎng)之間矛盾的有效方法。適時(shí)的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行教學(xué)，可以促使教學(xué)方法得到改進(jìn)，提高教學(xué)水平和教學(xué)效果，有助于推進(jìn)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革和課程建設(shè)的發(fā)展。

［1］謝季堅(jiān),李啟文.大學(xué)數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社,2009.

［2］戴朝壽，孫世良.數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程[M].高等教育出版社,2007.

［3］龐亮.獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討[J].科技信息,2012,2012,17;185.