多層半平行鋼絲索靜力拉伸模型及參數(shù)分析*

彭崇梅 張啟偉 李元兵

(同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海200092)

拉索是中承式、下承式拱橋與索支承橋梁的重要受力構(gòu)件，由于施工和使用過程中的磨損、老化、腐蝕、斷絲等原因，相當(dāng)一部分拉索在成橋后不久便出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷，甚至導(dǎo)致橋梁坍塌．半平行鋼絲索是實(shí)際工程中拉索的主要應(yīng)用形式，索體鋼絲按同心同向作輕度扭絞，并用纏包帶反向緊密纏繞索體，最外層熱擠HDPE護(hù)套而成．目前，工程實(shí)踐中采用的基于平行鋼絲假定的并聯(lián)模型，忽略了鋼絲間拉力不均勻分布和接觸摩擦的影響，且不能進(jìn)一步用于拉索的腐蝕、斷絲等病害的研究，而半平行鋼絲索的其他研究很少．

Matteo等［1］基于平行鋼絲假定的延性模型和延-脆性模型，采用Monte-Carlo方法研究了Williamsburg橋主纜的安全系數(shù)．Faber等［2］基于并聯(lián)模型，采用概率方法研究了半平行鋼絲索的靜力拉伸強(qiáng)度和疲勞壽命．上述研究是基于平行鋼絲假定的并聯(lián)模型，未考慮鋼絲間拉力的不均勻分布、接觸、摩擦等因素，且研究文獻(xiàn)較少，而與半平行鋼絲索幾何相近的鋼絞線(鋼絲繩)或多股螺旋彈簧的研究則取得了一定的進(jìn)展．Raoof等提出了半連續(xù)模型，用來研究鋼絲繩的靜力、彎曲和疲勞特性［3-5］，該模型假定“繩股中的每層上具有足夠的鋼絲來使其特性取平均值，各鋼絲層可被視作連續(xù)的正交各向同性薄層”;Blouin和 Cardou［6］將鋼絲繩視作厚壁圓筒，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)建立了半連續(xù)模型;半連續(xù)模型不能準(zhǔn)確計(jì)算各層鋼絲間的接觸力和軸向拉力，且不能計(jì)算非圓形鋼絲層構(gòu)造(如半平行鋼絲索)的索體受力性能．因此，一些學(xué)者基于Love［7］曲桿理論，建立了由單根鋼絲集成的離散模型．Costello等［8-9］、LeClair等［10］根據(jù)單根鋼絲的基本方程，對鋼絞線和鋼絲繩進(jìn)行了研究，但均忽略了摩擦滑移的影響;Jiang等［11］學(xué)者則通過建立不同股和絲的有限元模型對多層鋼絲繩進(jìn)行了研究;王桂蘭等［12］建立了鋼絲繩類金屬捻線成形過程中的有限元模型．馬軍等［13］通過有限元模擬了鋼絲繩在拉伸變形過程中股內(nèi)鋼絲間的載荷分布情況;蕭紅［14］則在螺旋彈簧的研究方面作了一定的工作．

鑒于半平行鋼絲索具有螺旋外形的特點(diǎn)及本身構(gòu)造的特殊性，內(nèi)部鋼絲接觸復(fù)雜，既不能采用并聯(lián)模型，也不能直接應(yīng)用鋼絞線研究中的現(xiàn)象和規(guī)律，且用以描述鋼絲間接觸、摩擦和滑移的物理量也很難通過試驗(yàn)方法獲得，從而難以準(zhǔn)確描述多層半平行鋼絲索的受力行為．文中基于Love［7］曲桿理論，考慮鋼絲彎矩、扭矩、剪力和泊松效應(yīng)的影響，推導(dǎo)了靜力拉伸荷載作用下的半平行鋼絲索非線性控制方程，通過數(shù)值計(jì)算和參數(shù)分析重點(diǎn)討論了螺旋角對半平行鋼絲索軸力、扭矩、軸向剛度和鋼絲間拉力分布的影響．

1 基本方程

考慮一n層半平行鋼絲索橫截面，索體鋼絲根據(jù)螺旋半徑進(jìn)行分層，拉索鋼絲分層如圖1所示，中心鋼絲為0層，半徑為R1，其余各層依次由里向外進(jìn)行編號，半徑均為R，各層鋼絲螺旋半徑為各外層鋼絲中心相對螺旋中心的距離，以ri表示，圖1中數(shù)字表示各層鋼絲的編號，如編號5對應(yīng)鋼絲層螺旋半徑為r5．

圖1 半平行鋼絲索截面分層示意圖Fig．1 Layered schemes of cross section for semi parallel wire cable

推導(dǎo)方程之前，假定:①鋼絲間無相對滑移，鋼絲間接觸變形忽略不計(jì);②荷載作用下，考慮泊松效應(yīng)引起的螺旋半徑變化．

［9］，單根鋼絲的受力如圖2所示，其中G、G'和H為彎矩分量和扭矩分量，K、K'和Θ為單位長度外部彎矩和扭矩分量，N、N'為剪力分量，T為軸向拉力分量，X、Y、Z為單位長度外部荷載分量．

圖2 單根螺旋鋼絲受力圖Fig．2 Free-body diagram of a helical wire

第i層每根鋼絲對應(yīng)的曲率分量(ki和ki')和扭率分量(i)可表示為

式中，αi表示第i層鋼絲螺旋角度．

軸向荷載作用下，螺旋角和螺旋半徑的變分為δαi和δri，則相應(yīng)的曲率和扭率分量的變分為

假定弧長為si的螺旋線在中心線上的投影為li，相應(yīng)的圓心角變化為φi，則存在如下幾何關(guān)系:

相應(yīng)的圓心角和螺旋投影的變分δφi和δli為

半平行鋼絲索的軸向應(yīng)變?yōu)棣?δli/li，螺旋鋼絲應(yīng)變?yōu)棣蝘=δsi/si，螺旋鋼絲扭率又可表示為i=δφi/li，則方程(4)和(5)可表示為

忽略鋼絲間的接觸變形，考慮泊松效應(yīng)對螺旋半徑變化的影響，則螺旋半徑的變分可表示為式中，νj為第j層鋼絲的泊松比．由于半平行鋼絲排列的特殊性，式(8)中內(nèi)層鋼絲對外層鋼絲螺旋半徑的影響取內(nèi)層半徑變化的平均值進(jìn)行簡化．

參考文獻(xiàn)［9］，第i層單根鋼絲對應(yīng)的彎矩分量Gi、和扭矩分量 Hi可表示為

式中:E為鋼絲彈性模量;Iyi為鋼絲截面抗彎慣性矩，Ci為鋼絲扭轉(zhuǎn)剛度，對圓形截面鋼絲為鋼絲半徑．

剪力分量Ni、N'i，單絲軸向拉力分量Ti和單位長度外部荷載分量 Xi、Yi、Zi可表示為

式中，Ai表示單根鋼絲截面積，對于圓形截面鋼絲，Ai=．

總軸力和總扭矩可表示為

式中，mi表示第i層鋼絲總數(shù)．

2 方程的求解

半平行鋼絲索中鋼絲按同心同向作輕度扭絞，各層鋼絲的扭轉(zhuǎn)角度相同，扭率相等，即1=2=…=i=…= ．對于給定的中心鋼絲軸向應(yīng)變ε和扭率分量 ，先假定螺旋鋼絲半徑變化量δri為某一量值，代入方程(6)和(7)，可得 δαi和 ξi，將新的 ξi代入δri表達(dá)式，得到新一輪的 δri值，再代入方程(6)和(7)，如此循環(huán)迭代，直到相鄰兩次循環(huán)的δri變化值小于給定誤差為止．將上述計(jì)算得到的δαi和δri代入式(2)，得到曲率和扭率分量的變分;代入式(9)-(12)，即可得到索體內(nèi)各層鋼絲的內(nèi)力分量和總軸力、總扭矩．整個(gè)過程可通過編程實(shí)現(xiàn)．

3 模型驗(yàn)證與參數(shù)分析

為驗(yàn)證模型和程序的正確性，參考文獻(xiàn)［9］，以單層鋼絞線算例，鋼絲層數(shù)n為1層，R1為2．616mm，R 為2．565mm，則螺旋半徑 r1=R1+R=5．181 mm，螺旋角 αi為82．51°，泊松比 ν為 0．25，鋼絲彈模 E為196．5GPa，鋼絞線軸向應(yīng)變 ε 為 0．003，扭率分量 為0．將上述參數(shù)代入式(1)-(12)，可得F=83．17kN，參考文獻(xiàn)［9］中結(jié)果為 83．65 kN，誤差為0．57%．計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了模型和程序的正確性．

為討論各參數(shù)取值對半平行鋼絲索的影響，參考橋梁工程中半平行鋼絲索的技術(shù)參數(shù)，取Ф5-127的半平行鋼絲索進(jìn)行討論，鋼絲直徑取5mm，鋼絲彈性模量E 為197．9GPa，泊松比 ν為0．3，總層數(shù)n為15．

為討論螺旋角對索內(nèi)鋼絲受力的影響，假定索體不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，即 =0，鋼絲應(yīng)變?nèi)ˇ?0．001，變化螺旋角(45°～90°)，可得拉索總軸力、總扭矩和單根螺旋鋼絲軸力隨螺旋角變化的關(guān)系曲線，如圖3、4所示．

圖3 總軸力、總扭矩與螺旋角的關(guān)系曲線Fig．3 Variation curves of total axial force and total torque with he-lical angle change

圖4 單根螺旋鋼絲軸力與螺旋角的關(guān)系曲線Fig．4 Variation curves of axial force with helical angle for a wire

由圖3和4可以看出，隨著螺旋角的增大，拉索總軸力和螺旋鋼絲軸向力均隨之增大，增長速度隨著螺旋角的增大而逐漸變緩;圖3(b)中總扭矩的變化則經(jīng)歷了一個(gè)先增加后降低的過程，螺旋角為60°附近時(shí)，總扭矩達(dá)到峰值;而螺旋角為90°時(shí)，軸向荷載作用下總扭矩為0．

假定鋼絲索軸力不變時(shí)，取總軸力F為1000kN，拉索軸向應(yīng)變ε隨螺旋角變化的關(guān)系曲線如圖5所示．為研究拉伸過程中彎扭變形能對拉索的影響，取單位長度拉索，拉索拉伸變形能和彎扭變形能可表示為

對比拉伸變形能和彎扭變形能所占的百分比，可以量化彎扭變形能的影響．圖6為拉索能量百分比η隨螺旋角的變化曲線．

圖5 軸向應(yīng)變隨螺旋角的變化曲線Fig．5 Variation curves of axial strain with helical angle

圖6 能量百分比隨螺旋角的變化曲線Fig．6 Variation curves of energy ratio with helical angle

由圖5可以看出，當(dāng)總軸力一定時(shí)，拉索軸向應(yīng)變隨螺旋角的增大而減小，且減小的速度逐漸趨緩，其下限值為對應(yīng)的平行鋼絲索應(yīng)變．由圖6可以看出，當(dāng)螺旋角較小時(shí)，鋼絲的彎扭變形占主導(dǎo)地位，隨著螺旋角的增大，拉伸應(yīng)變能所占比例逐漸增加，而彎扭應(yīng)變能逐漸減小，在55°附近，兩者所占比例相等，當(dāng)螺旋角為85°時(shí)，彎扭應(yīng)變能僅占0．07%，可以忽略鋼絲彎扭變形的影響．

為討論不同螺旋角變化，對應(yīng)半平行鋼絲索內(nèi)螺旋鋼絲的軸力不均勻分布，定義鋼絲軸力增長幅度 i如下:

不同螺旋角對應(yīng)的鋼絲軸力增長幅度如圖7所示．

圖7 不同螺旋角下鋼絲軸力的不均勻分布曲線Fig．7 Nonuniform distribution curves of tensile force for different helical angle

由圖7可以看出，當(dāng)螺旋角度較小(對應(yīng)重度扭絞)時(shí)，拉索中鋼絲不均勻分布較明顯，相對于并聯(lián)模型，鋼絲拉力變化幅度為(-6%，1．54%)，但隨著螺旋角的增大，拉索中鋼絲分布逐漸趨于均勻．對于橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍(螺旋角86°～88°)，分布基本均勻，鋼絲拉力變化幅度為(-0．07%，0．02%)．

軸向荷載作用下，拉索的軸向剛度會降低，為討論拉索軸向剛度隨螺旋角的變化，將總軸力除以拉索橫截面積，可得到拉索截面平均軸向應(yīng)力，平均軸向應(yīng)力與中心鋼絲軸向應(yīng)變關(guān)系曲線對應(yīng)斜率，可反映拉索軸向剛度，用拉索彈性模量Ec表示如下:

拉索平均軸向應(yīng)力ˉF-軸向應(yīng)變ε曲線如圖8所示．對于給定的螺旋角，索內(nèi)平均軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線為線性關(guān)系，直線斜率即為拉索彈性模量，隨著平行鋼絲索螺旋角變小，軸向剛度逐漸降低，且降低的速度逐漸加快．當(dāng)螺旋角為90°時(shí)，拉索彈性模量為197．9GPa，當(dāng)螺旋角為45°時(shí)，拉索彈性模量為68．1GPa，相對于鋼絲的彈性模量降幅達(dá)65．5%;在橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍(螺旋角86°～88°)內(nèi)，由圖8內(nèi)插可得螺旋角為86°時(shí)，拉索彈性模量為195．2 GPa，拉索彈性模量最大降低 1．4%．

圖8 拉索平均軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig．8 The mean stress-strain curves of cable

4 結(jié)論

推導(dǎo)了多層半平行鋼絲索的靜力拉伸模型，通過數(shù)值計(jì)算和參數(shù)分析研究了索體軸力、扭矩、軸向剛度等變化規(guī)律，文中模型不僅適用于半平行鋼絲索，也適用于單層鋼絞線的情況，主要結(jié)論如下:

(1)隨著螺旋角的增大，拉索總軸力和螺旋鋼絲軸向力均隨之增大，增長速度隨著螺旋角的增大而逐漸變緩;總扭矩的變化則經(jīng)歷了一個(gè)先增加后降低的過程，當(dāng)螺旋角大于85°時(shí)，彎扭應(yīng)變能僅占0．07%，可以忽略鋼絲彎扭變形的影響．

(2)當(dāng)螺旋角度較小(對應(yīng)重度扭絞)時(shí)，拉索中鋼絲拉力的不均勻分布較明顯，鋼絲拉力變化幅度為(-6%，1．54%)，但隨著螺旋角的增大，拉索中鋼絲分布逐漸趨于均勻．

(3)隨著平行鋼絲索螺旋角的減小，軸向剛度逐漸降低，且降低的速度逐漸加快，當(dāng)螺線角為45°時(shí)，最多可降低65．5%，對于橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍，軸向剛度最大降低1．4%．

實(shí)際工程中，拉索鋼絲間接觸變形、由腐蝕、磨損等因素引起的斷絲、滑移等均會改變索內(nèi)鋼絲的拉力分布，這些因素的影響值得進(jìn)一步研究．

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