一類四階非線性拋物方程弱解的存在性

郭金勇

(柳州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西柳州545004)

非線性擬拋物方程是在物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)問題和人口問題等大量實(shí)際問題中提出的一類重要的非線性發(fā)展方程，隨著各個(gè)領(lǐng)域研究的需要，非線性擬拋物方程也得到了廣泛研究和發(fā)展．文獻(xiàn)［1］研究了一類具有非線性周期源的擬拋物方程

周期問題，依照非負(fù)非平凡周期解的存在和非存在性，給出了對(duì)指數(shù)p的完整分類．

關(guān)于非線性擬拋物方程整體解的存在性研究已取得許多結(jié)果．文獻(xiàn)［2］研究了非線性擬拋物方程

證明了初值問題整體解的存在性，討論了解的漸近行為．

本文考慮如下四階非線性拋物方程的初邊值問題

其中Ω?Rn為具有光滑邊界的有界開區(qū)域，p＞2，λ＞0為參數(shù)，u0(x)為初始值函數(shù)，k＞0為粘性系數(shù)，表示粘性松弛因子或粘性，Δ2pu=稱為p-雙調(diào)和算子．

眾多學(xué)者研究了具有p-雙調(diào)和算子的橢圓方程并取得豐碩成果［3-4］，研究具p-雙調(diào)和算子的拋物型方程的文獻(xiàn)，并不多見．本文所研究的方程(1)為文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］研究的非線性擬拋物方程的變形，當(dāng)k=0時(shí)，方程(1)變?yōu)榫遬-雙調(diào)和算子的拋物型方程，其弱解的存在唯一性等結(jié)果可參閱文獻(xiàn)［5］、［6］．由于退化，問題(1)～問題(3)不再有通常意義下的古典解，因此引入如下意義的弱解:

定義1 一個(gè)函數(shù)u被稱為問題(1)～問題(3)的弱解，如果下列條件得到滿足:

(1)u L∞(0，T;W2，p0(Ω))∩C(0，T;L2(Ω))，L∞(0，T;W-2，p'0(Ω))，其中p'是p的共軛指數(shù)．

(2)對(duì)φC∞0(QT)，QT=Ω×(0，T)，以下積分等式成立:

(3)在 L2(Ω)中，u(x，0)=u0(x)．

本文通過對(duì)時(shí)間的離散化構(gòu)造并證明了逼近解的存在性，然后利用逼近解的一致估計(jì)結(jié)合緊致性原理證明了問題弱解的整體存在性．為敘述方便，假設(shè)k=λ=1，當(dāng)k≠1及λ≠1時(shí)，證明方法相同．

1 主要結(jié)果及相關(guān)引理

本文的主要結(jié)果如下:

定理1 設(shè) u0W2，p0(Ω)，p＞2，則問題(1)～問題(3)至少存在一個(gè)弱解．

為證明定理1，首先進(jìn)行時(shí)間離散化．設(shè)N為正整數(shù)，把區(qū)間(0，T)分為N等分，取h=T/N(＞0)，考慮如下橢圓問題

其中u0是初始值函數(shù)．

引理1 對(duì)固定的 k，若 ukW2，p0(Ω)，則存在uk+1W2，p0(Ω)，使得對(duì)任意的φC∞0(Ω)，有

注1 稱uk+1為問題(4)～問題(5)的弱解．

證明 在空間W2，p0(Ω)上，考慮泛函

其中f L2(Ω)為已知函數(shù)．由Young不等式知，存在常數(shù)C1＞0使得

因?yàn)?J［u］在 W2，p0(Ω)上是弱下半連續(xù)的且滿足強(qiáng)制性條件，根據(jù)文獻(xiàn)［8］得出結(jié)論，存在u*(Ω)，使得 J［u*］=inf J［u］，且 u*為對(duì)應(yīng)于J［u］的 Euler方程的弱解，取f=(uk-Δuk)，得到式(6)．證畢．

注2 容易證明對(duì) φ W2，p0(Ω)，式(6)也成立．

現(xiàn)在，由如下式子

來構(gòu)造問題(1)～問題(3)的逼近解，而問題(1)～問題(3)所描述的解將由{uh}的某個(gè)子序列的極限獲得．為此，需要一些關(guān)于{uh}的一致性估計(jì)．

引理2 問題(4)、(5)的弱解uk滿足

其中C是不依賴于h和k的常數(shù)．

證明 (i)在式(6)中取 φ=uk+1，應(yīng)用 Young不等式并整理，得

把上式關(guān)于k從0到N-1相加，則有

因此，式(7)成立．

(ii)在式(6)中取 φ=uk+1-uk，有

由于上式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)非負(fù)，應(yīng)用Young不等式，得

對(duì)任意的m(1≤m≤N-1)，上面不等式關(guān)于k從0到m-1相加，有

因此，式(8)成立．證畢．

引理3 對(duì)問題(4)、(5)的弱解uk+1，有估計(jì)式成立，其中C是不依賴于h的常數(shù)．

證明 右邊的不等式由式(9)直接得到，只需證明左邊的不等式．在式(6)中取φ=uk，由分部積分并使用邊值條件，得

對(duì)上式應(yīng)用H?lder不等式，并由式(8)得

應(yīng)用Young不等式，從上式推出式

證畢．

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 首先，定義算子At:At(Δuh)=p-2Δuk，Δhuh=uk+1-uk，其中 kh ＜t≤(k+1)h，k=0，1，…，N-1．由式(4)、(7)知Δhuh在 L∞(0，T;(W2，p(Ω))')中有界．再由式(6)、(8)，并使用文獻(xiàn)［9］中的緊性結(jié)果，可知存在{uh}的一個(gè)子序列(不妨仍用原來的序列表示)，滿足uh→u，弱* 于 L∞(0，T;W2，p(Ω))，uh→u，于 C(0，T;L2(Ω))，?uh→?u，弱* 于 L∞(0，T;L2(Ω))，(uk+1-uk)→，弱* 于 L∞(0，T;(W2，p(Ω))')，

At(Δuh)→w，弱* 于 L∞(0，T;Lp'(Ω))，其中p'為p共軛指數(shù)．由式(6)看出，對(duì)任意的φC0∞(QT)，有

令h→0，在廣義函數(shù)的意義下，由式(11)得

其中 kh＜t≤(k+1)h．由式(10)，有

由式(9)，得

在上式中令h→0，并利用式(13)，得

由于泛函

因此

從而得到其中＜·，·＞表示內(nèi)積．由式(12)，得

由式(14)和F1［u］是弱下半連續(xù)的，在上面不等式中令h→0并取極限，得

用εg+u代替上式的g，得

令ε→0，由上式得

由g的任意性，取g=-g，得到上面不等式的反向不等式，所以w=Δu．由 uh在 C(0，T;L2(Ω))中強(qiáng)收斂且u(x，0)=u0(x)，得知u滿足初值條件．證畢．

致謝 作者衷心感謝吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院劉長(zhǎng)春教授的指導(dǎo)!

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