運(yùn)用類比法進(jìn)行離散數(shù)學(xué)教學(xué)探究①

李世群，袁梓瀚，馬千里

(1.湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)，湖南湘潭411201;2.華南理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣東廣州510006)

“所謂類比法是指研究和認(rèn)識(shí)新對(duì)象時(shí)聯(lián)想和它類似的已知對(duì)象，并根據(jù)新對(duì)象與已知對(duì)象之間部分屬性的相似性得到其他屬性也相似的推斷，從而導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的思維方法，其整個(gè)思維過(guò)程是以“聯(lián)想”為前提，以相似性為向?qū)?，以發(fā)現(xiàn)新規(guī)律為目的。

類比的對(duì)象是同一層次上的兩類不同事物，一方面，在同一層次上是保證類比的可行性，另一方面，這兩種不同類事物之間具有相似性。兩個(gè)事物之間的相似性是類比能夠進(jìn)行過(guò)渡的環(huán)節(jié)或邏輯中介，沒(méi)有相似性就無(wú)法進(jìn)行類比。類比的最大價(jià)值就是在兩類不同事物之間建立起由已知到未知的橋梁。

目前我國(guó)的教育管理部門(mén)雖然都開(kāi)始重視課堂教學(xué)改革，但由于教師的科研任務(wù)繁重等原因，填鴨式教學(xué)方式充斥課堂，教師照本宣科的現(xiàn)象還很?chē)?yán)重，他們忽視了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，忽視了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中猜測(cè)的力量，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。導(dǎo)致了大學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展不全面，缺乏創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力。大學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)，合理選擇學(xué)生熟知的類比對(duì)象，分析概括類比對(duì)象與新授知識(shí)的共同本質(zhì)，不僅可以使學(xué)生容易理解新知識(shí)，而且能夠極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生掌握自主學(xué)習(xí)的方法，大面積提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

一 用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義

(一)用類比法教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

著名教育家布魯納認(rèn)為:“所謂知識(shí)是過(guò)程，，不是結(jié)果”，現(xiàn)在對(duì)大學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，不是只教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)什么，更重要的是使學(xué)生看到學(xué)習(xí)這些知識(shí)的發(fā)生及推演過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這種思維過(guò)程的學(xué)習(xí)比結(jié)果的學(xué)習(xí)更重要。

運(yùn)用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).同時(shí)，由于“類比是合情推理的一種思維形式，即是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，從而推出它們?cè)诹硪粚傩陨弦蚕嗤蛳嗨频囊环N推理方法”［1］，因此，這種這種思維推理方法對(duì)于學(xué)生進(jìn)行自主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及其他生產(chǎn)生活知識(shí)的學(xué)習(xí)都是非常重要的，用類比法進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生不僅掌握了數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，還學(xué)會(huì)了如何用類比思維思考問(wèn)題的方法。

(二)用類比法教學(xué)有利于學(xué)生接受新知識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多概念對(duì)于初學(xué)者顯得比較抽象，學(xué)生難以接受，而這些數(shù)學(xué)概念之間往往在特征、結(jié)構(gòu)方面有相似之處，“類比法恰好是將已有的知識(shí)和新的學(xué)習(xí)活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)的一種重要方法”［2］，所以，運(yùn)用類比方法進(jìn)行新概念的教學(xué)時(shí)，通過(guò)與熟悉概念的類比，就能幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)和理解新概念，建立起適當(dāng)?shù)男睦肀碚?，可以使學(xué)生溫故而知新、完成新知識(shí)的學(xué)習(xí)。如在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)理邏輯中的命題公式、公式的真值指派、謂詞等概念對(duì)學(xué)生會(huì)感到抽象和陌生，由于函數(shù)對(duì)于每個(gè)學(xué)生都是很熟悉的是中學(xué)學(xué)過(guò)的知識(shí)，我們選擇函數(shù)作為類比對(duì)象，學(xué)生立刻感到有一種已經(jīng)熟悉而親切的感覺(jué)，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)新概念的特征與過(guò)去的已知的概念相似，思維馬上就會(huì)處于一個(gè)興奮點(diǎn)，教師只要把新的概念與對(duì)應(yīng)的函數(shù)中的已有的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行類比，新概念就成為容易理解的和容易把握的。

(三)用類比法教學(xué)有利于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)程序

由于類比推理是一種開(kāi)放性的思維過(guò)程，它為學(xué)生提供了一處非常開(kāi)闊而且多彩的思維境界，按事物發(fā)展的階段進(jìn)行層次性類比，有助于我們加深對(duì)事物發(fā)展一般規(guī)律的認(rèn)識(shí)，開(kāi)拓知識(shí)體系.可以使我們擺脫在學(xué)習(xí)中完全受命于人(課本、教師)的被動(dòng)學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)程序，把握學(xué)習(xí)規(guī)律，將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)掌握在學(xué)生自己手里，比如，在進(jìn)行數(shù)理邏輯的一階邏輯的教學(xué)時(shí)，由于前一階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)命題邏輯，此時(shí)將命題邏輯作為類比對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生回顧命題邏輯的發(fā)展階段:

類比命題邏輯的程序，引導(dǎo)學(xué)生猜想可得到與命題邏輯完全對(duì)應(yīng)的一階邏輯的學(xué)習(xí)程序。

(四)用類比法教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新

“在科學(xué)研究中，人們利用因果類比、數(shù)學(xué)類比、模型類比，使其充分顯示了強(qiáng)大的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造功能，例如，在近代科學(xué)史上，開(kāi)卜勒受幾何圖形類似的啟發(fā)，提出行星運(yùn)動(dòng)三定律;麥克斯韋也曾得益于類比，建立了麥克斯韋電磁理”［3］。

在大學(xué)階段的學(xué)生的思維已經(jīng)發(fā)展到了一個(gè)更加活躍、推理能力更強(qiáng)的階段，學(xué)生具有很強(qiáng)的主動(dòng)性和獨(dú)立性，因此數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用類比法教學(xué)，可以使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用類比思維進(jìn)行探索，有利于學(xué)生進(jìn)行探索和創(chuàng)新，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的。

(五)有利于學(xué)生終身學(xué)習(xí)

現(xiàn)代社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，決定了每個(gè)人都要終身進(jìn)行學(xué)習(xí)，這種終身學(xué)習(xí)就要靠自己學(xué)會(huì)合情推理，而類比思維方法正是合情推理的一種重要思維方法。類比思想方法不僅可以用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，而且用到日常生活、生產(chǎn)等各方面，現(xiàn)代社會(huì)要求每個(gè)公民應(yīng)具有類比思維方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察、獲取信息、數(shù)據(jù)處理、合情推理、預(yù)測(cè)猜想、探究創(chuàng)造，等等［4］。運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)正是培養(yǎng)了學(xué)生的這種思維。

二 用類比法教學(xué)的策略

(1)選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象

要運(yùn)用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，首先是要選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象。要使類比對(duì)象的選擇恰當(dāng)，一是要研究學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，了解學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，使得選擇的對(duì)象符合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)［5］。學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)理論(即數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo))之間存在一個(gè)“中間地帶”，相當(dāng)于維果斯基所提出的“最近發(fā)展區(qū)”，“采用化歸、遷移、類比、同化等手段對(duì)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”進(jìn)行連續(xù)不斷地“建構(gòu)”已是數(shù)學(xué)教師運(yùn)用嫻熟、學(xué)生也予以普遍接受的教學(xué)方式“［6］.同樣的內(nèi)容對(duì)于不同專業(yè)和不同年級(jí)的學(xué)生選擇的類比對(duì)象也會(huì)有所不同。二是要選擇相似度高的類比對(duì)象，使得類比對(duì)象具有與所要學(xué)習(xí)的對(duì)象的本質(zhì)特征基本相同。例如，以李世群、馬千里的《離散數(shù)學(xué)》［7］為教材的在命題邏輯教學(xué)中，要使學(xué)生理解命題公式、真值指派、真值表、公式的類型及公式的等價(jià)，我們選擇類比對(duì)象——函數(shù)，由于函數(shù)對(duì)于每個(gè)專業(yè)每個(gè)年級(jí)的學(xué)生都是很熟悉的對(duì)象，將這些教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行類比函數(shù)中對(duì)應(yīng)的內(nèi)容，便可以得到新概念的結(jié)構(gòu)，當(dāng)然，命題邏輯中每一個(gè)具體概念還要在函數(shù)這個(gè)大的類比對(duì)象中再次選擇具體的類比對(duì)象，我們將具體類比對(duì)象與原對(duì)象列成下面對(duì)照表:

(2)把好抽象與提煉關(guān)

恰當(dāng)?shù)剡x擇好一個(gè)學(xué)生熟悉的類比對(duì)象后，就要引導(dǎo)學(xué)生分析新概念的特征。抽象提煉的過(guò)程大致可分三個(gè)階段，“第一階段是從一系列思維過(guò)程搜索出另一個(gè)或一類具體的類比對(duì)象，其次，對(duì)已確定的、具體的類比對(duì)象進(jìn)行科學(xué)加工，對(duì)類比對(duì)象的本質(zhì)和屬性加以概括的提煉，最后，在創(chuàng)造對(duì)象和類比對(duì)象之間找到共同點(diǎn)或相似點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造對(duì)象和類比對(duì)象的抽象統(tǒng)一”［4］，這個(gè)過(guò)程也是類比教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，通過(guò)分析提煉和類比猜想，會(huì)很快達(dá)到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，而且要符合學(xué)生認(rèn)識(shí)水平，便于學(xué)生接受和理解。如在進(jìn)行兩個(gè)公式A與B等價(jià)A?B當(dāng)且僅當(dāng)A?B為永真式的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生往往不理解，而且還容易將概念A(yù)?B與A?B混淆，我們選擇函數(shù)f=g作為類比對(duì)象，將運(yùn)算符號(hào)“?”與減法符號(hào)“－”類比;永真式與常函數(shù)0進(jìn)行類比，然后分析提煉，找出A?B與f=g的共同點(diǎn):

f=g當(dāng)且僅當(dāng)f－g為常函數(shù)0;

A?B當(dāng)且僅當(dāng)A?B為永真式(本質(zhì)類似常函數(shù));

學(xué)生很快就理解并掌握了。

(3)用類比法進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)

復(fù)習(xí)課的一個(gè)任務(wù)之一是要幫助學(xué)生完成一個(gè)階段的已學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，其中包括認(rèn)識(shí)知識(shí)之間的聯(lián)系，相似之處，幫助學(xué)生強(qiáng)化已學(xué)知識(shí)，而這種強(qiáng)化過(guò)程又不能做簡(jiǎn)單的重復(fù)，要達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，用類比法教學(xué)是一個(gè)非常有效的方法，一方面引導(dǎo)學(xué)生在兩個(gè)已學(xué)的新知識(shí)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)之間類比，用類比法將兩種對(duì)象的本質(zhì)和屬性加以概括提煉，在新對(duì)象和類比對(duì)象之間找到共同點(diǎn)或相似點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造對(duì)象和類比對(duì)象的抽象統(tǒng)一，幫助學(xué)生建立新知識(shí)之間的聯(lián)系，還可以幫助學(xué)生減輕記憶負(fù)擔(dān)。另一方面將新知識(shí)和以前(包括中學(xué)學(xué)過(guò)的)知識(shí)之間進(jìn)行類比，能夠幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)這一階段新知識(shí)的認(rèn)識(shí)。

如學(xué)習(xí)歐拉定理以后，將歐拉定理與握手定理進(jìn)行結(jié)構(gòu)性類比，即將握手定理:“各頂點(diǎn)的度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍”類比歐拉定理:“平面圖的所有面次數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍”。又如在二元關(guān)系的復(fù)習(xí)總結(jié)課的教學(xué)中，將偏序關(guān)系、相容關(guān)系與等價(jià)關(guān)系進(jìn)行類比，對(duì)三個(gè)條件進(jìn)行差異性類比:等價(jià)關(guān)系具有反身性，對(duì)稱性，傳遞性;而偏序關(guān)系具有反身性，反對(duì)稱性，傳遞性，它們僅第二個(gè)性質(zhì)存在差異;而在集合這一章的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，將集合的交、并、求余等運(yùn)算律與數(shù)理邏輯中的合取、析取、非等運(yùn)算律進(jìn)行類比，通過(guò)這種類比，強(qiáng)化了關(guān)于這些知識(shí)的認(rèn)識(shí)。

(4)要注意差異性

用類比法進(jìn)行教學(xué)時(shí)要提醒以下幾點(diǎn):一是兩個(gè)可比對(duì)象性質(zhì)并非完全一樣，在教學(xué)中，要讓學(xué)生明確它們哪些方面可以類比，哪些方面不可類比.二是只有本質(zhì)相同或相似的事物才能進(jìn)行類比.如果把僅僅形式上相似而本質(zhì)上都不相同的事物類比，就會(huì)造成錯(cuò)誤.三是要讓學(xué)生清楚類比的結(jié)果并非完全可靠，只是形成猜想的一種思維方法，猜想的結(jié)果是否正確還需證明與驗(yàn)證，必要時(shí)還需對(duì)猜想進(jìn)行修正。

如將n元命題公式類比學(xué)生已知的n元函數(shù)，它們相同的函數(shù)特征是有自變量和因變量，而差別在于n元命題公式的自變量的定義域?yàn)閧0，1}n，值域?qū)儆趝0，1}，而一般n元函數(shù)的定義域和值域是實(shí)數(shù)域R的連續(xù)子集。

［1］湯慧龍.關(guān)于學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004(2).

［2］鄧?yán)磉M(jìn).試論數(shù)學(xué)類比教學(xué)的作用［J］.常州師專學(xué)報(bào)，2002(6).

［3］仲秀英.波利亞的類比思想與數(shù)學(xué)課程改革［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003.

［4］張奠宙.關(guān)于“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008(2).

［5］丁 荃.類比是一種重要的創(chuàng)造性思維方法［J］.科學(xué)技術(shù)與辯證法，2000(2).

［6］孫杰遠(yuǎn).類比:比較教育研究及其創(chuàng)新的思維本質(zhì)［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(人文社科版)，2005.

［7］李世群，馬千里.離散數(shù)學(xué)［M］.天津:天津大學(xué)出版社，2010(6).