一種球面點投影關(guān)系的推理方法

歐陽繼紅，馬 玲

（1.吉林大學 計算機科學與技術(shù)學院，長春 130012；2.吉林大學 符號計算與知識工程教育部重點實驗室，長春 130012）

空間推理可以應用到地理信息系統(tǒng)，機器人導航等許多領(lǐng)域。目前，多數(shù)模型都是針對二維或三維空間關(guān)系的研究［1］。由于實際應用中有時需要直接處理球面上的空間信息［2］，如全球變暖的氣象分析，全球疾病傳播的研究，而二維或三維的空間關(guān)系模型以及在此基礎(chǔ)上得到的改進模型［3］無法直接應用到球面上，因此，將已有研究推廣到球面上建立球面模型，日益受到關(guān)注。2005年，Egenhofer［4］將描述拓撲關(guān)系的傳統(tǒng)9交集模型擴展到球面上。然而，單一的拓撲關(guān)系無法較詳細地描述空間關(guān)系，因此，2006年和2010年Clementini構(gòu)建了可以同時描述拓撲和方向關(guān)系的平面投影關(guān)系模型［5］，并給出基于此模型的推理系統(tǒng)［6］。2008年，Clementini在此基礎(chǔ)上將球面上的空間物體抽象成點，建立了球面點投影關(guān)系模型［7］（Projective relations among points on the sphere），簡稱為 PRPS 模型。但是，Clementini只給出了模型的形式表示，未給出推理算法。

為了完善PRPS模型，本文給出了基于PRPS模型的推理算法，通過此推理算法可以由給出的球面投影關(guān)系得到未知的球面投影關(guān)系。

1 球面屬性與PRPS模型

球面異于平面的特性有很多，例如球面上沒有直線，可以用大圈來代替，大圈是球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓。對跖點是指兩個大圈的交點，有無數(shù)個大圈經(jīng)過。球面上除對跖點外，其他任意兩點可以唯一確定一個大圈。

定義1 三元關(guān)系指物體A關(guān)于物體B和C的關(guān)系，用r（A，B，C）來表示。其中B、C為參考物體，A為目標物體，B、C在關(guān)系表示中的位置有嚴格的順序限制［5］。

定義2 已知三個物體A、B和C經(jīng)過任意次投影后仍保持共線，則稱此三個物體具有共線性［5］。

定義3 投影關(guān)系是一種三元空間關(guān)系，其中三個物體具有共線性［5］。

投影關(guān)系可以描述成“右面”、“之間”、“包圍”等。例如，“某城市在北京與上海之間”，“某湖被眾山包圍”，“某車在交通燈的右邊”等。投影關(guān)系是一種可以同時描述拓撲與方向關(guān)系的空間關(guān)系［5］。

1.1 平面點投影關(guān)系表達及推理模型

Clementini構(gòu)建的平面點投影關(guān)系模型根據(jù)參考點P2、P3的位置關(guān)系，將模型分為兩種情況：P2、P3是相同點時，將平面分成inside與outside兩部分；P2、P3是不同點時，將平面分為rightside，leftside，before，after，between五部分，如圖1所示。

Clementini針對平面投影關(guān)系模型建立了一個推理系統(tǒng)，類似二元空間關(guān)系的逆與復合運算，將其用于構(gòu)建服務(wù)于空間查詢的推理系統(tǒng)。因此平面投影關(guān)系研究逆、翻轉(zhuǎn)、復合3種運算，具體定義如下［6］：

圖1 平面投影關(guān)系模型Fig.1 Projective relations model on the plane

定義4 令r（P1，P2，P3）為P1關(guān)于P2、P3的投影關(guān)系，r1（P1，P3，P2）為P1關(guān)于P3、P2的投影關(guān)系，稱r1（P1，P3，P2）為r（P1，P2，P3）的逆關(guān)系，簡稱為“逆”，記作r︶（P1，P3，P2）。

定義5 令r（P1，P2，P3）為P1關(guān)于P2、P3的投影關(guān)系，r1（P3，P1，P2）為P3關(guān)于P1、P2的投影關(guān)系，稱r1（P3，P1，P2）為r（P1，P2，P3）的翻轉(zhuǎn)關(guān)系，簡稱為“翻轉(zhuǎn)”，記作r︵（P3，P1，P2）。

定義6 令r1（P1，P2，P3）為P1關(guān)于P2、P3的投影關(guān)系，r2（P2，P3，P4）為P2關(guān)于P3、P4的投影關(guān)系，r0（P1，P3，P4）為P1關(guān)于P3、P4的投影關(guān)系，稱r0為r1和r2的復合關(guān)系，記作r1?r2（P1，P3，P4）。

投影關(guān)系r的逆關(guān)系與翻轉(zhuǎn)關(guān)系合稱為r的置換關(guān)系。

1.2 PRPS模型

Clementini提出的PRPS模型的定義如下［7］：

（1）P2，P3是同一點時

球面被分成兩部分，即：點P2（用in（inside）表示）與球面上除點P2的所有范圍（用out（outside）表示）。如圖2（a）所示。

（2）P2，P3是對跖點時

球面被分成兩部分，即：點P2、P3（用in＿a（in＿antipodal）表示）與球面上除了點P2、P3的所有范圍（用out＿a（out＿antipodal）表示）。如圖2（b）所示。

（3）P2，P3是不同點且不為對跖點時

球面被P2、P3所確定的大圈分成兩個半球面，將P2P3所在的較短的弧規(guī)定為向量P—2P→3，較長弧為 P—3P→2、沿著 P—2P→3上半球面為ls（leftside），下半球面為rs（rightside），所示的弧以及P2和P3兩點為bt（between），所示的弧稱為notbt（notbetween），如圖2（c）所示。

PRPS模型包含8種投影關(guān)系：bt，notbt，rs，ls，in，out，in＿a，out＿a，此關(guān)系集合是互斥完備的。

圖2 PRPS模型Fig.2 PRPS model

2 基于PRPS模型的推理算法

根據(jù)Clementini構(gòu)建的球面投影關(guān)系模型，下面給出基于此模型的推理算法，用于實現(xiàn)由球面物體間已知的投影關(guān)系推理出未知的投影關(guān)系。

2.1 球面推理與平面推理的異同

與平面推理［6］一樣，球面推理也是將對象點用坐標來表示，平面點采用二維坐標（x，y）表示，球面點采用三維坐標（x，y，z）表示。同樣根據(jù)參考點的連線來劃分平面或球面區(qū)域，考慮目標點的坐標在某個劃分后的區(qū)域來確定三點之間的投影關(guān)系。

由于球面是一個封閉的面，球面點的投影關(guān)系較平面點的投影關(guān)系復雜，所以，球面推理與平面推理不同，具有一定的特殊性：

（1）球面上存在對跖點，所以模型需包含參考點為對跖點的情況，推理方法也需考慮此種情況。

（2）當參考點是不同點時，平面所劃分的區(qū)域除bt外，其他4個區(qū)域均為開放區(qū)域，而球面所劃分的區(qū)域都是彼此相連接的，即bt、notbt在同一個大圈上，ls、rs則由一個大圈來連接且區(qū)分。

2.2 球面推理算法

推理可以理解成從已有的判斷與事實得到新的判斷。本文的球面推理過程可以表示為如下過程：

其中P1、P2、P3和P4為球面點，存在的投影關(guān)系為r1（P1，P2，P3）與r2（P2，P3，P4）；CONVERSE算法、ROTATE算法和COMPOSE算法為推理算法，分別用于求解球面點投影關(guān)系的逆關(guān)系、翻轉(zhuǎn)關(guān)系和復合關(guān)系。經(jīng)過推理算法可以得到P1關(guān)于P3、P2的投影關(guān)系，P3關(guān)于P1、P2的投影關(guān)系，以及P1關(guān)于P3、P4的投影關(guān)系等未知的投影關(guān)系。

推理算法的共用子算法為CPRP（Computing the projective relations between points），功能為計算球面三點間投影關(guān)系。

下面給出推理算法的主要思想及ADL語言描述。首先作如下說明：球面坐標原點為球心O，球半徑為R。球心O、P2、P3確定平面m：z＝f（x，y），m 與球面的交線為大圈s：x2＋y2＋f2（x，y）＝R2。point［n］元素為隨機球面點。

CPRP算法的主要思想為：

①確定P2、P3的位置關(guān)系，查看屬于PRPS模型的哪種情況，用type標識。

②根據(jù)type的值不同，分別計算P1與P2、P3的球面投影關(guān)系，用r來記錄。

CPRP算法的ADL語言描述：

CPRP（P1，P2，P3.r）／＊P1，P2，P3為球面上三點，r為它們的投影關(guān)系＊／

C1［確定P2，P3的位置關(guān)系］

C2［計算P1與P2，P3的球面投影關(guān)系r］

CONVERSE算法的主要思想為：

①計算投影關(guān)系ri（P1，P2，P3）和ri0（P1，P3，P2）。

②將投影關(guān)系ri0記作投影關(guān)系ri的逆關(guān)系。

CONVERSE算法的ADL語言描述：

CONVERSE（r.r︶）／＊r為球面點投影關(guān)系，r︶為r的逆關(guān)系＊／

ROTATE算法的主要思想及具體實現(xiàn)過程與CONVERSE算法類似。

COMPOSE算法的主要思想為：

① 計 算 ri1（P1，P2，P3），ri2（P2，P3，P4），ri0（P1，P3，P4）。

②將ri0記作ri1和ri2的復合關(guān)系。

COMPOSE算法的ADL語言描述：

2.3 推理結(jié)果

通過CONVERSE算法和ROTATE算法，得到球面點的投影關(guān)系r（P1，P2，P3）的逆關(guān)系與翻轉(zhuǎn)關(guān)系，其置換關(guān)系如表1所示。

表1 r的置換關(guān)系Table 1 Permutation table for projective relations

下面舉一個具體例子來說明表1。

圖3 in＿a（P1，P2，P3）的逆關(guān)系及翻轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.3 Converse and rotation of in＿a（P1，P2，P3）

通過 COMPOSE 算法，得到r1（P1，P2，P3）和r2（P2，P3，P4）的復合關(guān)系r1?r2（P1，P3，P4），如表2所示。

表2 r1和r2的復合關(guān)系Table 2 Composition table for projective relations between points

表2中的某些項為imp，是指不存在r1和r2復合的結(jié)果，以out（P1，P2，P3）?notbt（P2，P3，P4）為例，由前者可知P2等于P3，由后者可知P2在P3、P4較長的弧上，P2一定不等于P3，得到矛盾結(jié)果，因此這種復合結(jié)果一定不存在。

下面舉一個例子來說明表2。

例2 r1＝ls，r2＝rs，其復合的結(jié)果是｛rs，ls，notbt｝（P1，P3，P4）。這是因為P2在P3、P4的rs方向，P1在P2、P3的ls方向，當P1處在球面上不同的位置（例如在的上半球面上，且在的下半球面上，在的上半球面且在的上半球面上，在P3、P4所在的弧上）時，P1相對P3、P4的位置關(guān)系則不同。因此，P1關(guān)于P3、P4的投影關(guān)系或是rs或是ls，或是notbt，如圖4所示。

圖4 ls和rs的復合結(jié)果Fig.4 The composition of ls and rs

2.4 推理性質(zhì)

對推理算法得到的兩個表格進行分析與歸納，可得到如下3個定理。

定理1 ｛in，in｝，｛out，out｝，｛in＿a，in＿a｝，｛out＿a，out＿a｝，｛bt，bt｝，｛notbt，notbt｝，｛ls，rs｝為7組互逆關(guān)系。

證明 由PRPS模型的定義與球面的對稱性可以得到。

定理2 已知投影關(guān)系r1（P1，P2，P3），通過置換運算，可得到P1，P2，P3中任意一點關(guān)于其他兩點的投影關(guān)系。

證明 若已知r1（P1，P2，P3），那么r2（P1，P3，P2）即為r1的逆關(guān)系，r3（P3，P1，P2）為r1的翻轉(zhuǎn)關(guān)系，r4（P3，P2，P1）為r3的逆關(guān)系，r5（P2，P3，P1）為r3的翻轉(zhuǎn)關(guān)系，r6（P2，P1，P3）為r2的翻轉(zhuǎn)關(guān)系，因此經(jīng)過置換運算，由r1（P1，P2，P3）可推出P1，P2，P3之間所有投影關(guān)系，即可推理出－1個投影關(guān)系。

定理3 已知投影關(guān)系r1，r2和r1?r2，其中r1?r2為r1，r2的復合結(jié)果，則r1?r2所屬的模型情況與r2的情況相同。

證明 r1表示P1關(guān)于P2、P3的投影關(guān)系，所屬的模型根據(jù)P2、P3確定；r2表示P2關(guān)于P3、P4的投影關(guān)系，所屬的模型根據(jù)P3、P4確定；r1?r2表示P1關(guān)于P3、P4的投影關(guān)系，所屬的模型根據(jù)P3、P4確定。因此r1?r2所屬的模型情況與r2的情況相同。

由定理1、2和3分別可得到如下3個推理性質(zhì)。

推理性質(zhì)1 PRPS模型中投影關(guān)系集合｛bt，notbt，rs，ls，in，out，in＿a，out＿a｝中存在互逆關(guān)系。

推理性質(zhì)2 置換運算可推理出三點間的任意投影關(guān)系。

推理性質(zhì)3 復合結(jié)果具有傳遞性。

給出投影關(guān)系r1（P1，P2，P3）和r2（P2，P3，P4），經(jīng)過復合運算，可以得到其復合關(guān)系r1?r2（P1，P3，P4），即得到P1關(guān)于P3、P4的投影關(guān)系，從而將P1、P3和P4間的投影關(guān)系聯(lián)系起來，因此復合推理起到傳遞的作用，復合結(jié)果具有一定的規(guī)律可循。

由以上性質(zhì)可以得出如下結(jié)論：PRPS模型中的投影關(guān)系集合元素之間存在一定的互逆關(guān)系；僅通過置換與復合這兩個運算，就能夠推理出球面點間的全部投影關(guān)系；由于復合具有規(guī)律性，根據(jù)推理算法得到的結(jié)果符合規(guī)律，即可知推理結(jié)果正確。

2.5 推理應用

PRPS模型可以表達球面對象投影關(guān)系，但在某些實際應用的情況下，不能提供進一步指導分析或是推論。例如，在航線部署、災害預報中經(jīng)常需要根據(jù)一組或兩組目標關(guān)系，推斷出更多對象間的復雜關(guān)系，用以指導人類活動，本文的推理算法可以輔助相關(guān)部門進行計劃部署。

本文推理算法還可以應用到數(shù)據(jù)庫的查詢中。類似于二元拓撲關(guān)系查詢來說，通常已知物體A與B的關(guān)系，通過推理算法可以得知物體B與A的關(guān)系，而不用再次通過計算獲得兩者關(guān)系。而針對三元物體關(guān)系的查詢來說，應用本文的推理算法，通過推理性質(zhì)2和3，得到三者間或更多的物體間的任意投影關(guān)系，避免了重復計算。這遵循了建立數(shù)據(jù)庫原則：不用計算物體間的所有完備關(guān)系，只需設(shè)定一些必要的關(guān)系作為主要屬性，剩余的關(guān)系可以由這些主要屬性推導得到，從而節(jié)省空間與計算時間。因此，通過前文推理性質(zhì)及定理可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建投影關(guān)系推理算法是指導實踐的重要基礎(chǔ)。

3 結(jié)束語

針對Clementini建立的PRPS模型僅有表示卻無法推理的問題，本文給出了PRPS的推理算法，在理論上使該模型得到完善，在實際應用中可以為進行數(shù)據(jù)庫查詢、處理全球氣候變化以及為數(shù)字地球、飛機導航等做基礎(chǔ)理論。推理算法主要有3個，其中CONVERSE算法和ROTATE算法可以計算出球面任意點的投影關(guān)系的置換關(guān)系，得到置換表。已知一點關(guān)于其他兩點的投影關(guān)系，通過查置換表，可知三點間所有（共6種）投影關(guān)系；用COMPOSE算法可以計算出球面點的復合關(guān)系，得到8×8項的復合表，通過查表可以由已知的球面投影關(guān)系推導出未知的投影關(guān)系。并以數(shù)據(jù)庫查詢?yōu)槔f明了推理算法為此模型在實際問題中的應用奠定了基礎(chǔ)。本文的主要工作是將球面上物體抽象成點并進行推理。下一步擬將球面上物體抽象成區(qū)域?qū)ο?，添加形狀信息，給出針對區(qū)域的球面投影關(guān)系的推理算法。

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