基于結(jié)構(gòu)思想的數(shù)學(xué)教學(xué)

殷堰工

（蘇州市教育科學(xué)研究院，江蘇 蘇州 215004）

“數(shù)學(xué)是通過對概念的分析、生成和組織，對命題的嚴(yán)密邏輯推理而形成的互相聯(lián)系的系統(tǒng)化的有機整體。反映的是概念命題的客觀邏輯結(jié)構(gòu)”，“數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)經(jīng)驗規(guī)則組成的體系，其組織的活力依賴于各部分之間的聯(lián)系，結(jié)構(gòu)決定體系的功能”。[1]2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》（以下簡稱“《標(biāo)準(zhǔn)》”）中，首次出現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)圖[2]，成為新一輪課改的一大亮點。如何從全局上把握數(shù)學(xué)學(xué)科的思想，從內(nèi)容上把握數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，是擺在每個數(shù)學(xué)教育工作者面前的一個現(xiàn)實課題，也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的前提和保證。本文以皮亞杰、布魯納、布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)思想為指導(dǎo)，重點闡述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想下的數(shù)學(xué)教學(xué)，以及數(shù)學(xué)思想方法的滲透問題。

一、結(jié)構(gòu)思想的理論依據(jù)

瑞士心理學(xué)家、發(fā)生認(rèn)識論創(chuàng)始人皮亞杰采用數(shù)理邏輯作為刻畫兒童邏輯思維發(fā)展的工具，從宏觀的角度對三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的“自然性”進(jìn)行了分析，認(rèn)為：第一種結(jié)構(gòu)的特征是可逆性，表現(xiàn)為“可逆關(guān)系”，如加法和減法的關(guān)系；第二種結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)為“互反性”，如“大于”和“小于”的關(guān)系；第三種結(jié)構(gòu)則是與“連續(xù)變換”相對應(yīng)的[3]。這與數(shù)學(xué)史上有名的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為的全部數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)——代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的思想具有很高的吻合度，與該學(xué)派“數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的理論”的觀點也具有一致性，突出了“結(jié)構(gòu)是功能作用的中心”的論點。[4]

當(dāng)代深孚眾望的教育家布魯納發(fā)展了皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，他在其著名的《教育過程》一書中指出：“不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！盵5]布魯納認(rèn)為，“基本概念和原理是學(xué)科結(jié)構(gòu)最基本的要素”，這些基本結(jié)構(gòu)反映了事物之間的聯(lián)系，具有“普遍而有力的適用性”。[5]“所謂‘學(xué)科基本結(jié)構(gòu)’，布魯納解釋說，是指該學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，是指知識的整體性和事物的普遍聯(lián)系，而非孤立的事實本身和零碎的知識結(jié)論，如代數(shù)學(xué)上的交換律、分配律、結(jié)合律等。他認(rèn)為，任何學(xué)科都有基本結(jié)構(gòu)，任何與該學(xué)科有聯(lián)系的事實、論據(jù)、觀念、概念等都可以不斷地納入一個處于不斷統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)之內(nèi)。這種基本結(jié)構(gòu)是學(xué)生必須掌握的科學(xué)因素，應(yīng)該成為教學(xué)過程的核心。學(xué)生如果掌握了學(xué)科知識的基本結(jié)構(gòu)，就可以獨立地面對并深入新的知識領(lǐng)域，從而不斷獨立地認(rèn)識新問題，增多新知識?！盵6]布魯納以初等代數(shù)為例，認(rèn)為學(xué)生只要掌握了方程式中所包含的交換律、分配律和結(jié)合律，那么在遇到新的方程式時，就能按照這些基本法則獨立解題，這些新題目只不過是所熟悉題目的“變式”而已。所以，教師的根本任務(wù)，就是要用這門學(xué)科基本的和普遍的知識、觀念來不斷擴大和加深學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)。[6]知識結(jié)構(gòu)不僅是知識的固著點，也是從不同側(cè)面認(rèn)識事物的一條途徑，學(xué)生頭腦里積累的知識只有做到條件化、成熟化、結(jié)構(gòu)化，才會有效地同化、鞏固和遷移，才能成功地解決問題[1]。

二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想與數(shù)學(xué)教學(xué)

（一）學(xué)科基本結(jié)構(gòu)與知識的構(gòu)建

學(xué)生通過學(xué)習(xí)基本結(jié)構(gòu)、理解基本概念和原理，就能較容易地深入理解所學(xué)內(nèi)容。掌握學(xué)科基本結(jié)構(gòu)有利于對學(xué)科的深入理解和進(jìn)行整體上的把握，基本結(jié)構(gòu)對整個學(xué)科內(nèi)容具有統(tǒng)率作用。就教師而言，必須學(xué)會或探索構(gòu)造知識結(jié)構(gòu)圖。所謂知識結(jié)構(gòu)是各種知識在人類大腦中的組織形式，它包括各種學(xué)科知識的配置比例，相關(guān)程度和協(xié)同關(guān)系。知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)，而知識本身僅僅是組成這種結(jié)構(gòu)形式的材料。知識結(jié)構(gòu)圖[7]主要包含以下四個要素：

1.明確每個章節(jié)的知識背景：包括新舊知識的梳理、新舊知識間的聯(lián)系、新舊知識之間的遷移所運用的基本思想及學(xué)科方法、知識點間的發(fā)展過程等。

2.知識梳理：對相關(guān)的知識進(jìn)行科學(xué)整理、分類，在系統(tǒng)完整的基礎(chǔ)上明確并突出重點。

3.知識網(wǎng)絡(luò)的初構(gòu)：建立各知識點間的聯(lián)系，比較知識間的差異，總結(jié)經(jīng)驗規(guī)律，強化素質(zhì)和能力。

4.知識應(yīng)用和拓展：精選不同層次的例題、習(xí)題，解決實際問題，點撥方法，開拓思維，開發(fā)智力，培養(yǎng)能力，同時以學(xué)生認(rèn)知規(guī)律為依據(jù)，挖掘深度，拓展廣度。

知識結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)建，關(guān)鍵在于教師如何指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識體系，形成知識的網(wǎng)絡(luò)化，“與學(xué)生共同探索知識，尋求答案”[7]，進(jìn)一步體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。這正是知識結(jié)構(gòu)圖所孕育其中而又不拘泥于其中的一片廣闊天地。

知識構(gòu)建可以使我們明晰課堂教學(xué)的任務(wù)和教學(xué)重點，理清完成教學(xué)任務(wù)的思路，使我們能夠“在全局上把握學(xué)科的思想，內(nèi)容上把握知識的結(jié)構(gòu)”[7]，從而達(dá)到自如駕馭教材的能力，同時使學(xué)生獲得有活力的條件化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識、概念體系和命題體系。具體來說，需要把所教的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，即在整個中學(xué)范圍內(nèi)，任何章節(jié)的知識，它們本身具有一定的結(jié)構(gòu)性。必須把每一章的主要內(nèi)容先串成“線”，然后再由“線”織成“網(wǎng)”，并且告訴學(xué)生探究事物因果關(guān)系的思維模式。在此基礎(chǔ)上，使結(jié)構(gòu)內(nèi)容豐富化，使得結(jié)構(gòu)化了的知識能夠與學(xué)生內(nèi)在的知識結(jié)構(gòu)碰撞，并能及時地同化在學(xué)生的新的知識結(jié)構(gòu)中，以形成他們長期的記憶。

（二）從美學(xué)的角度看數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生明確指出：“數(shù)學(xué)是人類文明的結(jié)晶，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)、圖形、布局和形式無不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中美的因素?！盵8]數(shù)學(xué)具有無與倫比的結(jié)構(gòu)美，結(jié)構(gòu)圖、群結(jié)構(gòu)、同構(gòu)等都是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的表現(xiàn)形式[9]。

以同構(gòu)為例，結(jié)構(gòu)上相同的數(shù)學(xué)對象可以相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化來自于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)內(nèi)在的美，它絲毫不會改變這些數(shù)學(xué)對象的實質(zhì)，然而卻對我們研究數(shù)學(xué)問題的難易程度有很大的影響。一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過同構(gòu)變換，可能會變得十分簡潔明了，非常便于處理，歷史上三大尺規(guī)作圖不可能問題的解決就是最有說服力的例證之一。可以說，數(shù)學(xué)的美深深蘊涵在它的基本結(jié)構(gòu)之中，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)美的源泉之一。

數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美主要表現(xiàn)為知識體系的高度統(tǒng)一、式子結(jié)構(gòu)的對稱有序、數(shù)學(xué)元素（數(shù)字、符號、式子）的完備整齊等。如解析幾何把代數(shù)和幾何兩大數(shù)學(xué)分支高度地統(tǒng)一起來，而解析幾何中的橢圓、雙曲線、拋物線又都可以統(tǒng)一于圓錐截線之中；又如，在集合理論建立以后，代數(shù)中的“運算”、幾何中的“變換”、分析中的“函數(shù)”這三個不同領(lǐng)域的概念可以統(tǒng)一于“映射”概念之中；再如，平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理可以統(tǒng)一于一個圓冪定理之中。還有像數(shù)學(xué)中的“關(guān)系—映射—反演”方法，一個三角形的三個正切之和等于三個正切之積這樣的三角恒等式等均淋漓盡致地呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)之美。只要善于發(fā)現(xiàn)、挖掘、創(chuàng)設(shè)這些“結(jié)構(gòu)美”，會給我們解決問題帶來意想不到的效果。對于學(xué)生而言，可以獲得從總體上記憶、理解和把握數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)的方法、具體問題具體分析的解題方法，這非常有利于提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)的質(zhì)量。

（三）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想與教學(xué)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想是對教育層面上數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識與處理方式，它主要強調(diào)數(shù)學(xué)知識間的廣泛關(guān)聯(lián)性。運用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能提高學(xué)生對知識掌握的效率，而且能使學(xué)生獲得全面的數(shù)學(xué)素質(zhì)?！疤貏e是新知識的教學(xué)不能孤立進(jìn)行，應(yīng)把新知識納入原有的觀念系統(tǒng)中進(jìn)行整體考慮，使新知識與原有的相關(guān)知識相聯(lián)系，并把這些有聯(lián)系的知識點重新組織為一個大的知識組塊。這樣，既有利于知識的保持又有利于知識的檢索與應(yīng)用。”[10]教師應(yīng)通過運用元認(rèn)知在知識點之間的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)和邏輯性聯(lián)系上講清知識的來龍去脈以及知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)方式、過程和結(jié)構(gòu)圖式，并進(jìn)行概括梳理，使各種知識形成“組塊”，在知識結(jié)構(gòu)的總體上把握數(shù)學(xué)的概念、原理、定理、法則以及數(shù)學(xué)方法和技巧，不斷深化知識。例如，學(xué)完三角函數(shù)的36個誘導(dǎo)公式之后，如果不作進(jìn)一步的組織加工，那么這些孤立的知識是難以保持和應(yīng)用的。但如果教師引導(dǎo)學(xué)生把這些公式放在一起進(jìn)行觀察、比較、分析，最后概括為新的知識組塊——“奇變偶不變，符號看象”，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)也將得到優(yōu)化。[11]

而具有起固定作用的核心數(shù)學(xué)觀念的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有較高的信息解讀能力，包括抽象、概括、類比、歸納、邏輯推理、論證等理性思維能力和思維探究能力[1]。不妨再以“向量”內(nèi)容為例說明之：

《標(biāo)準(zhǔn)》把向量作為刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型。[2]學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，即“問題情景—建立模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—解釋、應(yīng)用與拓展”?！稑?biāo)準(zhǔn)》對向量的處理，首先提供豐富的實際背景，通過對實際背景（現(xiàn)實原理）的分析、概括與抽象，建立向量模型，再運用數(shù)學(xué)方法研究向量模型的性質(zhì)，最后運用向量模型及其性質(zhì)去解決包括現(xiàn)實原型在內(nèi)的更加廣泛的一類實際問題，這種處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，反映了數(shù)學(xué)的“來龍去脈”，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識和理解。

三、數(shù)學(xué)思想方法蘊涵于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之中

（一）對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中的理性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)中的高度抽象、概括的內(nèi)容，它蘊涵于運用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的過程之中，直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動。數(shù)學(xué)方法是解決問題的策略與程序，是數(shù)學(xué)思想具體化的反映。從這一意義上來講，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為，數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)方法起著指導(dǎo)作用，是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的有力支柱。數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中抽象、概括、提煉的數(shù)學(xué)觀點，是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。掌握數(shù)學(xué)思想方法能不斷深化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，在解決問題過程中減少盲目性，增加針對性，對提高分析問題和解決問題的能力具有本質(zhì)性、概括性和指導(dǎo)性的意義。

（二）數(shù)學(xué)思想方法是一種特殊的“結(jié)構(gòu)”

核心概念體系與命題體系的建構(gòu)過程，可以揭示蘊涵于核心概念的概念體系、命題體系深層的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)本身蘊涵著豐富的思想方法，如對稱、轉(zhuǎn)化、分類、統(tǒng)計、模型、概率、逼近、定量化等，有著函數(shù)和方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等數(shù)學(xué)思想。一種數(shù)學(xué)思想方法是解決某一類數(shù)學(xué)問題的方法的一個“結(jié)構(gòu)”?？梢?，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了要學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識，還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，這一點與布魯納的學(xué)科結(jié)構(gòu)理論的思想是一致的。誠如皮亞杰所說“結(jié)構(gòu)主義真的是一種方法”[3]，我們應(yīng)該從方法論的意義上來看待結(jié)構(gòu)主義。

（三）數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程之中，是以數(shù)學(xué)知識為載體的更高層次的數(shù)學(xué)。然而，反觀當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)，對數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)缺乏意識是一個普遍存在的問題。主要表現(xiàn)為：

1.確定教學(xué)目的時，對具體知識技能訓(xùn)練的重點、難點的教學(xué)要求比較明確，忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求。

2.教學(xué)時，往往注重知識結(jié)論的傳授，忽視知識形成過程中數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。

3.知識應(yīng)用時，往往偏重于就題論題，忽視數(shù)學(xué)思想方法的揭示與提煉。

4.小結(jié)復(fù)習(xí)時，只注重知識體系、知識網(wǎng)絡(luò)的整理，忽視數(shù)學(xué)思想方法的歸納與提高。

凡此種種，致使數(shù)學(xué)教學(xué)停留在較低的層次上。為此，筆者曾專文論述了在基礎(chǔ)知識的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法、在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法、在復(fù)習(xí)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法等觀點[12]，并且強調(diào)了知識結(jié)構(gòu)在滲透教學(xué)中的作用。比如，分類討論的思想，幾乎每一章都會涉及到，因此，在平時的教學(xué)中要注意到這種反復(fù)性，同一種思想方法在這一章出現(xiàn)了，在下一章可能還會出現(xiàn)，教師就要運用統(tǒng)籌的觀點，有意識地讓學(xué)生在這種反復(fù)接觸、理解、運用、體驗中不斷加深對這種思想方法的認(rèn)識和掌握，提高和升華[12]?？傊谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，能幫助學(xué)生真正認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高分析問題和解決問題的能力。

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