基于反比例函數(shù)的變步長雷達(dá)自適應(yīng)濾波算法

王慧杰，李小兵，于明秋

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051)

基于反比例函數(shù)的變步長雷達(dá)自適應(yīng)濾波算法

王慧杰，李小兵，于明秋

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051)

針對由雷達(dá)探測精度帶來的測距誤差、測方位誤差和測高誤差對導(dǎo)航定位的影響，分析了影響雷達(dá)探測精度的誤差因素，提出了基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法，該算法通過建立步長與信號采樣時間的k次冪的反比例函數(shù)關(guān)系，使得穩(wěn)態(tài)誤差強(qiáng)制收斂，有效減小了雷達(dá)探測誤差對導(dǎo)航定位的影響。實(shí)例仿真結(jié)果表明，該算法不僅能夠抑制隨雷達(dá)探測距離的增大而線性遞增的雷達(dá)探測誤差，而且在實(shí)驗(yàn)條件和穩(wěn)態(tài)誤差標(biāo)準(zhǔn)完全相同的情況下，有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差，為導(dǎo)航定位中雷達(dá)數(shù)據(jù)處理提供了理論和技術(shù)參考。

雷達(dá)探測精度；反比例函數(shù)；自適應(yīng)濾波

0 引言

在地面防空作戰(zhàn)時，對高動態(tài)載體導(dǎo)航定位一般采用雷達(dá)和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，而雷達(dá)和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)有著相似的缺點(diǎn)，即探測或者慣導(dǎo)解算誤差隨著距離的增大而線性遞增，其精度和目標(biāo)與雷達(dá)之間的距離成反比。本文針對雷達(dá)探測精度進(jìn)行了分析與建模，并對產(chǎn)生的導(dǎo)航定位數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。20世紀(jì)40年代到60年代，維納和卡爾曼在預(yù)先知道輸入信號和噪聲信號的統(tǒng)計(jì)特性的情況下分別設(shè)計(jì)了維納濾波器和卡爾曼濾波器；然而在實(shí)際應(yīng)用中，這些先驗(yàn)知識很難預(yù)先得到的。因此，不需要預(yù)先知道輸入信號和噪聲信號的統(tǒng)計(jì)特性就能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)濾波的自適應(yīng)濾波器應(yīng)運(yùn)而生[1]。自適應(yīng)濾波通過自動更新權(quán)值以達(dá)到最優(yōu)效果，在工程實(shí)踐中已經(jīng)得到廣泛地發(fā)展和應(yīng)用[2]。但傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法是固定步長的，不僅收斂速度慢，而且收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差這兩個量存在矛盾關(guān)系，因此提出了變步長自適應(yīng)濾波算法。國內(nèi)外大多數(shù)文獻(xiàn)對變步長自適應(yīng)濾波算法改進(jìn)一般是通過與誤差信號建立函數(shù)關(guān)系，如Sristi P[3]等提出的SSVS-LMS算法，高鷹[4]提出的一類變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及苗可可[5]在研究射電天文射頻干擾消除時對高鷹提出的算法進(jìn)行的改進(jìn)。這些算法具有較好的收斂性能和穩(wěn)態(tài)誤差性能，但是步長在算法達(dá)到穩(wěn)態(tài)時仍然具有較大波動，造成穩(wěn)態(tài)誤差波動較大，不利于指導(dǎo)工程實(shí)踐。針對雷達(dá)導(dǎo)航的誤差控制問題，本文提出了基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法。

1 雷達(dá)探測精度分析與建模

雷達(dá)的探測精度受很多因素的影響，一般可以從系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的角度對其進(jìn)行分析。有些系統(tǒng)誤差可以通過一些校正方式消除，有些則需要對其進(jìn)行建模分析。誤差一般來源于測距、測方位和測高三個方面，下面針對這三個方面因素進(jìn)行分析。

1.1 雷達(dá)測距誤差分析

雷達(dá)測距精度標(biāo)準(zhǔn)一般是10 m級至100 m級，由于誤差的種類繁多，不能一一分析，這里對均方根誤差在1 m以下的予以忽略。這時測距誤差的系統(tǒng)誤差主要是大氣折射引起延遲的平均值、接收機(jī)內(nèi)回波延遲殘差，隨機(jī)誤差主要是機(jī)內(nèi)熱噪聲誤差、采樣誤差[6]。

1)大氣折射引起延遲的平均值為

(1)

式中，E是仰角，Ns是地表折射率，h是探測目標(biāo)的高度，R為探測目標(biāo)的斜離。在典型值即Ns=313，R=200～300 km，h=10～20 km時，Δrf≈40m。

2)接收機(jī)內(nèi)回波延遲殘差

接收機(jī)內(nèi)回波延遲為

(2)

式中，m為放大級數(shù)，B為接收總帶寬。m=10(典型值)時，Δtd≈3/B。經(jīng)仔細(xì)校準(zhǔn)后，接收機(jī)內(nèi)回波延遲殘差約為

(3)

3)機(jī)內(nèi)熱噪聲誤差為

(4)

式中，τ是脈沖寬度；(S/N)0是單個脈沖的輸出信噪比；n是脈沖數(shù)，通常定義在天線掃過目標(biāo)時波束寬度為 3 dB內(nèi)。Δrn與輸出信噪比有很大關(guān)系，而輸出信噪比與探測目標(biāo)的斜距有關(guān)。

以Swelling Ⅰ型目標(biāo)為例，當(dāng)目標(biāo)在最大作用距離Rm0.5(檢測概率0.5，虛警概率10-6)時，n=20，(S/N)0=4.2 dB =2.25；當(dāng)目標(biāo)在最大作用距離Rm0.8(檢測概率0.8，虛警概率10-6)時，(S/N)0=9.2 dB=8.2[7]。

4)采樣誤差

由距離采樣引起的采樣誤差為

(5)

通過上述分析可以得到測距誤差的總值為

(6)

1.2 雷達(dá)測方位誤差分析

對于雷達(dá)測方位時存在的系統(tǒng)誤差，如零點(diǎn)誤差可以通過光學(xué)校正，天線波束指向誤差可以通過電測校正[7]，因此這里只分析測方位時的隨機(jī)誤差，即噪聲誤差和采樣誤差。

1)噪聲誤差為

(7)

式中，θB為天線波束3 dB寬度，km為雷達(dá)角誤差檢測曲線斜率[6]，通常km=1.2～2。同Δrn相似，Δθn也與輸出信噪比密切相關(guān)。

2)采樣誤差為

(8)

n，θB與前面定義一樣，從采樣誤差公式可以看出，測方位角采樣誤差與天線波束寬度和脈沖數(shù)有關(guān)。由于雷達(dá)在進(jìn)行仰角掃描時，在低仰角脈沖數(shù)較大(n>5)，高仰角脈沖數(shù)較小(只有2乃至是1)，因此測方位角采樣誤差在不同仰角時有不同值[7]。

由于在使用單脈沖法、波束間比幅法量測方位時，沒有目標(biāo)的起伏誤差[7]，這里進(jìn)行簡化不予考慮。

由以上分析可以得到總的測方位誤差值為

(9)

1.3 雷達(dá)測高誤差分析

測量目標(biāo)的高度可以對目標(biāo)斜距和仰角進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算公式為[7]

(10)

式中，φ是指向目標(biāo)的仰角；ρ是等效地球半徑，即ρ=kR0；R0是等效地球半徑；k在標(biāo)準(zhǔn)大氣折射情況下等于4/3；H0是雷達(dá)天線中心的高度。

由式(10)可推出高度測高誤差均方值為

(11)

式中，σR為測距均方差，即前面的ΔR；σφ為測仰角均方差。

測仰角時主要關(guān)注隨機(jī)誤差中的機(jī)內(nèi)噪聲誤差、相鄰?fù)ǖ婪炔灰恢抡`差和多效應(yīng)誤差[7]。

1)機(jī)內(nèi)噪聲誤差

采用單脈沖法

(12)

2)相鄰?fù)ǖ婪炔灰恢抡`差

用單脈沖幅度比較法

(13)

式中，θ1是左右波束的夾角，K是兩路不平衡系數(shù)。

3)多徑效應(yīng)誤差[8]

采用單脈沖法

(14)

通過上述分析可以得到測仰角誤差的總值為

(15)

2 基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法

2.1 最小均方誤差算法

自適應(yīng)濾波算法有兩類最基本的算法：一類是基于最小均方誤差準(zhǔn)則的最小均方差算法(LMS)；一類是基于牛頓優(yōu)化算法的遞歸最小二乘算法(RLS)。根據(jù)高動態(tài)載體導(dǎo)航定位實(shí)時性和穩(wěn)定性的要求，本文以最小均方差算法為基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)。LMS算法基本原理如圖1所示。

設(shè)輸入信號為x，它是由當(dāng)前第k個時刻算起，向前選取m個時刻的信號構(gòu)成，即

x(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-m+1)]

(16)

其加權(quán)矢量為：

w=[w1,w2,…,wm]T

(17)

濾波器的輸出為：

(18)

誤差信號為：

e(k)=d(k)-y(k)

(19)

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

J(k)=E(e(k)2)=E((d(k)-xT(k)w)2)

(20)

權(quán)值更新為：

w(k+1)=w(k)+ux(k)e(k)

(21)

0

(22)

式中，u為步長，λmax為輸入矢量的自相關(guān)矩陣最大特征值。

文獻(xiàn)[4]提出了一類變步長LMS自適應(yīng)濾波算法，文獻(xiàn)[5]對其進(jìn)行了改進(jìn)，其公式分別為

(23)

(24)

這一類變步長算法的特點(diǎn)是，在初始收斂階段取較大步長以獲得較短的收斂時間；在算法收斂后取較小的步長以獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。改進(jìn)的變步長LMS算法在一定區(qū)間里隨參數(shù)λ1的增大，收斂時間逐漸縮短，誤差失調(diào)量逐漸減小，但λ1值過大時算法將失去收斂性；同樣，在一定區(qū)間里，隨著參數(shù)λ2的增大，算法的收斂時間逐漸縮短，但λ2增大到一定程度后，算法的收斂速度與穩(wěn)態(tài)失調(diào)量同步增加，導(dǎo)致λ2取值過大時算法發(fā)散[5]。但這一類算法在收斂后仍有較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

2.2 基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法

考慮到在初始收斂階段收斂因子應(yīng)具有較大取值，以獲得較短的收斂時間；在算法收斂后，則要保持較小的收斂因子，以獲得很小的穩(wěn)態(tài)誤差。由此，提出基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法。t表示信號的采樣時間。

設(shè)u的變化公式為

u=a+b/tk

(25)

u與tk成反比例函數(shù)，且k>0，代入始端和末端條件

(26)

解得

(27)

因此

(28)

由式(28)可以得出，步長即收斂因子u的值與冪數(shù)k、初值u0和末端值un有關(guān)。經(jīng)過大量仿真驗(yàn)證，u0的取值與冪數(shù)k有關(guān)，k的取值越大，u0的有效值越靠近輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值，但同時也使得穩(wěn)態(tài)誤差隨之增大，收斂時間越來越長；un的作用在于能在一定程度上限制穩(wěn)態(tài)誤差發(fā)散。

3 實(shí)例仿真

首先對雷達(dá)定位數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真。仿真參數(shù)設(shè)計(jì)如下：壓縮后脈沖寬度為0.4μs；接收系統(tǒng)波束指向處單個脈沖的輸出信噪比為8.2；天線掃過目標(biāo)時在波束3dB寬度內(nèi)的脈沖數(shù)為24；接收機(jī)放大級數(shù)m=10；接收總帶寬1 MHz；假定設(shè)計(jì)的天線水平波束3 dB寬度為1.8°；雷達(dá)角誤差檢測曲線斜率為1.6；兩路不平衡系數(shù)為1.05；地面反射系數(shù)為0.5；地面反射處的波束增益15 dB；采用軌跡發(fā)生器生成標(biāo)準(zhǔn)軌跡。得到緯度/經(jīng)度/高程誤差隨雷達(dá)探測距離的變化如圖2所示。

從圖2可以看出，緯度、經(jīng)度和高程誤差隨雷達(dá)探測距離的增大而線性遞增，在探測末段緯度誤差和經(jīng)度誤差達(dá)到了2×10-3°，高程誤差達(dá)到了500 m。

3.1 反比例函數(shù)的參數(shù)確定

以高程誤差作為示例，分析冪數(shù)k、初值u0和末端值un取值對高程誤差的影響，以確定反比例函數(shù)的取值。由于末段變化趨勢變得非常緩慢，此時un取到0也是可以的，適當(dāng)提高un的取值可以使調(diào)節(jié)留有余度，在一定程度上可以限制穩(wěn)態(tài)誤差發(fā)散。對輸入信號計(jì)算其自相關(guān)矩陣的最大特征值為1.46×103。

在初值u0=2.3和末端值un=0的情況下，濾波后的高程誤差隨k值的變化如圖3所示。

從圖3不同k值情況下，高程誤差的變化可以看出，隨著k值的增大，誤差的收斂時間逐漸延長，超調(diào)量增加。

在k=1和末端值un=0固定情況下，濾波后的高程誤差隨初值u0的變化如圖4所示。

從圖4不同u0值情況下，高程誤差的變化可以看出，隨著u0值的遞增，誤差的收斂時間縮短，超調(diào)量減小，但穩(wěn)態(tài)誤差相對增加。

表1列出了k=0.5,1,2的情況下，u0的取值范圍。

kk=0 5k=1k=2u0u0≤0 9u0≤5 5u0≤238

從表1結(jié)果可以看出，k值越大，u0的有效值越靠近輸入矢量的自相關(guān)矩陣最大特征值。

為驗(yàn)證該算法的有效性，將該算法與改進(jìn)的變步長LMS算法進(jìn)行對比。

3.2 對比分析

下面對比分析中，當(dāng)判定標(biāo)準(zhǔn)為穩(wěn)態(tài)誤差小于10 m的情況下，基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法的參數(shù)取值為k=1，u0=2.3，un=0.001；改進(jìn)的變步長LMS算法的參數(shù)取值λ1=1 000，λ2=500。對比結(jié)果如圖5所示。

從圖5兩種算法的仿真結(jié)果對比分析可以得出，在實(shí)驗(yàn)條件和穩(wěn)態(tài)誤差標(biāo)準(zhǔn)完全相同的情況下，基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法的收斂速度比改進(jìn)的變步長LMS算法要快，且更快達(dá)到穩(wěn)定值，同時其穩(wěn)態(tài)誤差大大減小，提高了雷達(dá)導(dǎo)航的精度，足以證明該算法的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文提出了基于反比例函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法。該算法通過建立步長與信號采樣時間的k次冪的反比例函數(shù)關(guān)系，使得穩(wěn)態(tài)誤差強(qiáng)制收斂，有效減小了雷達(dá)探測誤差對導(dǎo)航定位的影響。仿真實(shí)例結(jié)果表明該算法不僅能夠抑制隨雷達(dá)探測距離的增大而線性遞增的雷達(dá)探測誤差，而且在實(shí)驗(yàn)條件和穩(wěn)態(tài)誤差標(biāo)準(zhǔn)完全相同的情況下，有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差，為導(dǎo)航定位中雷達(dá)數(shù)據(jù)處理提供了理論和技術(shù)參考。

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Variable Step-Size Radar Adaptive Filtering Algorithm Based on Inverse Proportional Function

WANG Huijie，LI Xiaobing，YU Mingqiu

(Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051, China)

Aiming at the influence of ranging error, azimuth error and altimeter error caused by radar detection accuracy on navigation and positioning, the error factors were analyzed and a variable step size adaptive filtering algorithm based on inverse proportion function was proposed. By setting the inverse function relation with step-size and k-th power of sampling time, the steady-state error was forced convergence and the algorithm effectively reduced the impact of radar on navigation positioning error. The simulation results showed that the proposed algorithm not only could effectively suppress the linearly increasing radar detection error along with increasing radar detection range, but also had faster convergence speed and smaller steady-state error under the same experimental condition and steady-state error standard.

radar detection accuracy; inverse proportion function; adaptive filtering algorithm

2017-02-01

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(61603410)

王慧杰(1992—)，男，山西清徐人，碩士研究生，研究方向：導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。E-mail:heyjayw@sina.com。

U666.1

A

1008-1194(2017)03-0136-05