數(shù)字圖像相關(guān)方法中的標(biāo)定對(duì)三維形貌和變形測(cè)量的影響

陳振寧 劉 聰 何小元

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院，南京 210096)

(東南大學(xué)江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

近年來，隨著光電技術(shù)和計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，數(shù)字圖像相關(guān)方法［1-4］(digital image correlation，DIC)、電子散斑干涉法、相移法、時(shí)間序列法等高精度、非接觸、無損傷的現(xiàn)代光測(cè)實(shí)驗(yàn)力學(xué)方法［5］逐步走向數(shù)字化和自動(dòng)化.而數(shù)字圖像相關(guān)方法以其全場(chǎng)測(cè)量、現(xiàn)場(chǎng)可測(cè)等特點(diǎn)備受關(guān)注，其在土木工程、交通運(yùn)輸?shù)瓤茖W(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用得到學(xué)者們的普遍關(guān)注［6］.

數(shù)字圖像相關(guān)方法是一種基于光電成像和計(jì)算機(jī)數(shù)字處理的測(cè)量技術(shù)，對(duì)相機(jī)成像質(zhì)量要求較高.而相機(jī)成像是基于針孔成像模型的，對(duì)成像元件內(nèi)部參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定是必不可少的步驟.對(duì)于雙相機(jī)三維DIC系統(tǒng)，同時(shí)要標(biāo)定2個(gè)相機(jī)間的相對(duì)位置和內(nèi)部參數(shù)才能確定空間中的被測(cè)物體位置.因此，標(biāo)定成為三維DIC系統(tǒng)中關(guān)鍵的步驟.由于實(shí)際工程測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)的復(fù)雜性，標(biāo)定過程很隨意，使得標(biāo)定結(jié)果不精確，從而影響測(cè)量精度.針對(duì)上述問題，本文研究了棋盤標(biāo)定板的姿態(tài)，考察了標(biāo)定結(jié)果的穩(wěn)定條件，從而優(yōu)化標(biāo)定過程.

1 數(shù)字圖像相關(guān)方法

由于散斑的隨機(jī)性，物體上計(jì)算點(diǎn)周圍小區(qū)域(通常稱為子區(qū)或者模板)的斑點(diǎn)分布是各不相同的，假設(shè)變形前后物體同一個(gè)點(diǎn)的灰度不變，因此，若計(jì)算點(diǎn)未超出圖像范圍，可以認(rèn)為子區(qū)中的計(jì)算點(diǎn)在變形后的圖像中唯一存在［7］.設(shè)子區(qū)變形前圖像灰度為f(x，y)，變形后的圖像子區(qū)灰度為g(x，y)，根據(jù)相關(guān)函數(shù)進(jìn)行一定的相關(guān)搜索即可得到目標(biāo)點(diǎn)變形后的位置.常用的衡量公式歸一化的相關(guān)函數(shù)C表達(dá)式［2］為

式中，(2M+1)×(2M+1)為子區(qū)的大小;fm，gm分別為參考子區(qū)和搜索子區(qū)的平均灰度值.運(yùn)用相關(guān)搜索使得C達(dá)到最大值.為了獲得亞像素精度，需要在進(jìn)行整像匹配的基礎(chǔ)上進(jìn)行亞像素估計(jì).圖1為一個(gè)點(diǎn)的相關(guān)搜索示意圖，對(duì)于參考子區(qū)中任一點(diǎn)，可在目標(biāo)子區(qū)搜索到該點(diǎn)的位置.

由于單相機(jī)的二維相關(guān)方法不能保證相機(jī)絕對(duì)垂直于試件表面，同時(shí)，二維數(shù)字圖像相關(guān)方法對(duì)試件表面要求苛刻，降低了該方法的測(cè)量精度.因此，基于雙目立體視覺原理和三維匹配等技術(shù)的三維DIC被應(yīng)用到物體的三維形貌、位移、應(yīng)變等物理量的測(cè)量中［4，8］.下面將介紹相機(jī)成像模型，引入雙目立體視覺原理，對(duì)三維雙相機(jī)DIC的系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定.

圖1 相關(guān)搜索示意圖

2 相機(jī)模型與三維標(biāo)定原理

2.1 針孔相機(jī)模型

一般情況下，可用理想針孔模型描述相機(jī)成像原理.相機(jī)成像的幾個(gè)常用坐標(biāo)系為世界坐標(biāo)系W-XYZ、相機(jī)坐標(biāo)系C-XcYcZc和圖像坐標(biāo)系I-xy.

由于相機(jī)靶面不一定與被測(cè)平面平行，并且工藝制造也存在誤差，要獲得高精度的測(cè)量結(jié)果，首先需要知道相機(jī)坐標(biāo)系和世界坐標(biāo)系之間存在平移和旋轉(zhuǎn)關(guān)系.設(shè)空間中任意一點(diǎn)P的世界坐標(biāo)為 X={X，Y，Z}T，在相機(jī)坐標(biāo)系中為 Xc={Xc，Yc，Zc}T，則有以下方程:

式中，R為3×3旋轉(zhuǎn)矩陣，其獨(dú)立變量為3個(gè)旋轉(zhuǎn)角，可以用旁向傾角ω、航向傾角φ和圖像旋角κ表示;t為3×1平移向量，有3個(gè)獨(dú)立分量 tx，ty，tz.稱參數(shù) ω，φ，κ，tx，ty，tz為每個(gè)成像相機(jī)的 6 個(gè)外部參數(shù).

則點(diǎn)P在相機(jī)內(nèi)成像表示為

式中，Cx，Cy為光軸與成像平面交點(diǎn)的圖像坐標(biāo)，即為圖像主點(diǎn).稱參數(shù) Cx，Cy，fx，fy為相機(jī)內(nèi)部參數(shù).將式(2)～(4)寫成如下矩陣的形式:

在棋盤標(biāo)定中，通常把世界坐標(biāo)系建立在標(biāo)定板的表面，坐標(biāo)原點(diǎn)放到第一個(gè)內(nèi)角點(diǎn)處.

2.2 鏡頭畸變

由于工藝的復(fù)雜性和生產(chǎn)誤差，鏡頭存在畸變使得實(shí)際像點(diǎn)與理想點(diǎn)存在像差，尤其是廣角鏡頭.在高精度測(cè)量中，必須進(jìn)行鏡頭的畸變校正［9-11］.上述未經(jīng)校正的理想成像點(diǎn)為～x，設(shè)～x校正后的成像點(diǎn)x=(x，y)，校正畸變的成像點(diǎn)可表述為

式中，δ=(δx，δy)為像差向量(包括徑向像差和切向像差)，是由鏡頭畸變引起的.像差模型有多種，切向畸變的影響相對(duì)較小，因而將徑向畸變作為鏡頭畸變的主要影響因素［11］.由鏡頭徑向畸變引起的點(diǎn)A變形前后的成像誤差如圖2所示，假設(shè)δ1，δ2為變化前后點(diǎn)A的畸變像差，點(diǎn)A實(shí)際發(fā)生的變形為dAB，由于畸變的存在，成像變形為dA'B'.

圖2 鏡頭徑向畸變引起的誤差

因此，可以用下面的畸變形式表述［12］:

式中，k1，k2分別為一階、二階徑向畸變參數(shù)，即相機(jī)標(biāo)定的畸變參數(shù)，等待標(biāo)定;ρ為畸變點(diǎn)到畸變中心C的像素距離.

2.3 雙目視覺標(biāo)定

圖3為空間中任意點(diǎn)P在2個(gè)相機(jī)中的成像模型，點(diǎn)P1為點(diǎn)P理想成像點(diǎn)，點(diǎn)P2為P點(diǎn)發(fā)生畸變后的成像點(diǎn)(假設(shè)在光軸與像平面的交點(diǎn)上，實(shí)際是需要標(biāo)定的點(diǎn)).圖中的點(diǎn)P'為未進(jìn)行畸變校正重建后的點(diǎn)，校正后重建點(diǎn)為真實(shí)點(diǎn)P.由圖可以清楚地看到，DIC要進(jìn)行三維匹配計(jì)算必須首先知道世界坐標(biāo)系W與左、右相機(jī)坐標(biāo)系CL，CR的轉(zhuǎn)換關(guān)系，那么需要標(biāo)定的相機(jī)外部參數(shù)有左相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣RL和平移向量tL、右相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣RR和平移向量tR、右相機(jī)相對(duì)左相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣 RR，L和平移向量 tR，L.理論上固定相機(jī)后，RR，L，tR，L是固定值不變的.其次，標(biāo)定左、右兩個(gè)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)AL，AR(等效焦距和圖像中心)，以及畸變參數(shù) k1L，k2L，k1R，k2R.

圖3 雙相機(jī)成像模型

三維相機(jī)標(biāo)定選取一些已知尺寸的參考物作為標(biāo)定靶，常用的有原點(diǎn)、棋盤等圖案.本文用2個(gè)相機(jī)拍攝若干張不同姿態(tài)的棋盤標(biāo)定靶，利用非線性最小二乘優(yōu)化方法L-M算法對(duì)2個(gè)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)和相對(duì)位置參數(shù)做全局優(yōu)化，這樣可獲得雙目立體視覺系統(tǒng)的各個(gè)標(biāo)定參數(shù).

3 標(biāo)定靶姿態(tài)數(shù)對(duì)標(biāo)定穩(wěn)定性的影響

在進(jìn)行相機(jī)內(nèi)部參數(shù)標(biāo)定時(shí)，選擇5幅圖即可穩(wěn)定［13］;一般情況下，在外部參數(shù)標(biāo)定時(shí)，盡量使棋盤繞橫向、豎向、縱向旋轉(zhuǎn)一定的角度，通常只需5組圖.但在具體實(shí)驗(yàn)中，由于相機(jī)噪聲的存在和環(huán)境因素的影響，若標(biāo)定姿態(tài)過少則標(biāo)定結(jié)果不夠精確，標(biāo)定姿態(tài)過多則不易于實(shí)驗(yàn)操作，尤其是在環(huán)境相對(duì)復(fù)雜的工程實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng).本次實(shí)驗(yàn)所用相機(jī)為2048×2448像素，鏡頭焦距為50 mm.標(biāo)定2個(gè)相機(jī)時(shí)，使用的圖片數(shù)從5組姿態(tài)依次遞增到13組姿態(tài).如表1所示，隨著標(biāo)定姿態(tài)的增多，外參 RR，L和 tR，L標(biāo)定逐步趨于穩(wěn)定.

圖4(a)～(c)分別為左相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)Cx，F(xiàn)y，k1隨標(biāo)定姿態(tài)數(shù)變化值，結(jié)果顯示，當(dāng)標(biāo)定板的姿態(tài)數(shù)大于9時(shí)，內(nèi)參值變化相對(duì)穩(wěn)定，此時(shí)相機(jī)內(nèi)部參數(shù)標(biāo)定的相對(duì)誤差不超過2%，如圖4(d)所示.因此，當(dāng)標(biāo)定板的有效姿態(tài)數(shù)達(dá)到9組以上，便可獲得穩(wěn)定可靠的相機(jī)標(biāo)定結(jié)果，減少了過多標(biāo)定姿態(tài)數(shù)給實(shí)驗(yàn)帶來的麻煩.標(biāo)定步驟的減少使得標(biāo)定過程得到優(yōu)化，為三維計(jì)算提供了保證.

表1 外參標(biāo)定結(jié)果

圖4 左相機(jī)內(nèi)部參數(shù)穩(wěn)定性分析

因此，讓棋盤分別繞既定的三軸旋轉(zhuǎn)一定的角度，獲得9組以上的標(biāo)定圖片，即可獲得穩(wěn)定的標(biāo)定結(jié)果.

4 應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證標(biāo)定結(jié)果，可以測(cè)量一個(gè)已知試件的形貌.選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓弧型試件，擬合試件的半徑，與真實(shí)值做比較.

選擇半徑為68 mm、寬度為40 mm的鋁合金試件，使其沿離面方向產(chǎn)生剛體位移，選擇標(biāo)定板角點(diǎn)數(shù)為11×8，間距7 mm.計(jì)算模板選擇29像素.處理實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分別選擇5組隨意標(biāo)定姿態(tài)圖和10組優(yōu)化的標(biāo)定姿態(tài)圖，通過三維DIC計(jì)算，由試件的三維形貌再擬合得出試件的半徑.圖5(a)為5組隨意標(biāo)定姿態(tài)圖的擬合半徑，擬合結(jié)果為68.8 mm;圖5(b)是優(yōu)化標(biāo)定方案后的結(jié)果，半徑為68.0 mm.

圖5 優(yōu)化標(biāo)定前后擬合的試件半徑

下面將運(yùn)用較好的標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行離面位移的計(jì)算.取一小區(qū)域的位移場(chǎng)計(jì)算平均值、最大值、最小值，并將結(jié)果與真實(shí)值比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，二者的趨勢(shì)一致，如圖6(a)所示，所取區(qū)域各點(diǎn)位移的標(biāo)準(zhǔn)差平均值為0.001868 mm;圖6(b)是對(duì)實(shí)際位移－1.0 ～－1.2 mm 的局部放大圖.

5 結(jié)論

圖6 離面位移與實(shí)際位移比較

本文從三維DIC的基本原理出發(fā)，分析相機(jī)的標(biāo)定在對(duì)物體形貌和變形進(jìn)行測(cè)量時(shí)有重要的意義.以標(biāo)準(zhǔn)板棋盤格作為參考物，分別考察了標(biāo)定物的姿態(tài)對(duì)相機(jī)內(nèi)、外參數(shù)等標(biāo)定參數(shù)的影響.并且通過實(shí)驗(yàn)，對(duì)曲表面試件的半徑和剛體位移進(jìn)行考核.結(jié)果顯示，要獲得穩(wěn)定的標(biāo)定結(jié)果，只需要9組以上不同姿態(tài)的棋盤標(biāo)定圖，且不需要過多復(fù)雜的標(biāo)定過程.優(yōu)化標(biāo)定后的結(jié)果可以使得三維DIC測(cè)量精度高于2 μm，證實(shí)了三維DIC不僅操作簡(jiǎn)便，還具有相當(dāng)高的可靠性和精確度.

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