將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程教學(xué)

□孫國(guó)祥

電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院是國(guó)家批準(zhǔn)的重點(diǎn)工科教學(xué)基地，它在教學(xué)改革方面開(kāi)展了一些列相關(guān)討論?！熬€性代數(shù)與空間解析幾何”是國(guó)際級(jí)精品課程，而如何從培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的戰(zhàn)略高度去進(jìn)行教學(xué)改革是本次探討的重點(diǎn)內(nèi)容之一，應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院通過(guò)將數(shù)學(xué)建模的思想核心運(yùn)用到“線性代數(shù)與空間幾何”的教學(xué)過(guò)程中，既符合了電子科技大學(xué)的辦學(xué)宗旨，也有利于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。

一、課程的重要性

線性代數(shù)與空間解析幾何與微積分、概率論并列為工科學(xué)生高等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)課程，它主要以矩陣、空間結(jié)構(gòu)以及線性變換為主要研究對(duì)象，他與微積分的顯著不同為：線性代數(shù)比較抽象，且與高數(shù)數(shù)學(xué)沒(méi)有必然聯(lián)系，而微積分與高數(shù)數(shù)學(xué)還有一定的聯(lián)系。線性代數(shù)這門(mén)課程的核心內(nèi)容是研究線性代數(shù)方程組解的情況以及怎樣更便捷的求解、線性空間結(jié)構(gòu)和線性變換等。線性代數(shù)作為一門(mén)抽象學(xué)科對(duì)工科學(xué)生主要有以下影響：

一是有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。抽象思維能力有先天因素，但是也可以后天培養(yǎng)的，其中的方法之一就可以通過(guò)學(xué)習(xí)線性代數(shù)等課程來(lái)培養(yǎng)。它會(huì)教授你N維空間甚至是仿射空間，而這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出直觀幾何的研究范圍。在實(shí)踐中要運(yùn)用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)處理實(shí)際問(wèn)題也需要將將其抽象化，然后經(jīng)計(jì)算機(jī)處理后再還原為實(shí)際問(wèn)題，因此抽象思維對(duì)工科學(xué)生格外重要。

二是現(xiàn)代工程問(wèn)題大部分最終都可以通過(guò)線性代數(shù)方程組求解來(lái)解決。例如，雷達(dá)散射截面、大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)、信號(hào)處理以及復(fù)合材料運(yùn)用等方面。以雷達(dá)散射截面的計(jì)量為例，無(wú)論是運(yùn)用有限差分、有限元還是矩量法來(lái)計(jì)量雷達(dá)表面電流分布然后計(jì)算散射截面，這都涉及到對(duì)連續(xù)問(wèn)題離散化，進(jìn)而求解線性代數(shù)方程組的解。

不可否認(rèn)，由于知識(shí)積累和學(xué)習(xí)時(shí)間的不足，本科階段對(duì)“線性代數(shù)與空間解析幾何”的講授也只是限定在基本內(nèi)容，而對(duì)于希望繼續(xù)從事科研的學(xué)生這一階段的學(xué)習(xí)能為他們將來(lái)的學(xué)習(xí)與科研打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；而對(duì)于那些畢業(yè)參加工作的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這門(mén)課程培養(yǎng)的抽象思維對(duì)他們的工作也是有積極作用的。因此，線性代數(shù)能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，并為他們將來(lái)專業(yè)深造打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

線性代數(shù)由于與高中數(shù)學(xué)沒(méi)有必然的聯(lián)系且較為抽象，所以學(xué)生們學(xué)習(xí)起來(lái)普遍反映較困難。從教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，學(xué)生對(duì)于空間、特征值以及線性變換等抽象的代數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)起來(lái)感到困難，對(duì)于其在工科的應(yīng)用就更難掌握。當(dāng)前，如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，并將其應(yīng)用于工程問(wèn)題是急需解決的緊要問(wèn)題。而本文認(rèn)為將數(shù)學(xué)建模思想融入到線性代數(shù)教學(xué)中去是一種可以探索的有效方法。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)

數(shù)學(xué)建模主要是對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型求解來(lái)達(dá)到處理實(shí)際問(wèn)題的目的。它能夠培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這也正是它備受社會(huì)關(guān)注，并成為我國(guó)高校數(shù)學(xué)教學(xué)重要內(nèi)容的原因所在。

綜上所述，由于線性代數(shù)較為抽象，如果能夠用實(shí)際問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生，讓他們?nèi)ビ^察問(wèn)題、討論問(wèn)題、分析問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題，這樣就能提高學(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)課程的興趣，也能夠幫助他們理解和掌握相關(guān)知識(shí)。在實(shí)際教學(xué)中可以運(yùn)用兩種方法來(lái)將數(shù)學(xué)建模思想融入到線性代數(shù)課程中：

（一）第一種方法是采用數(shù)學(xué)建模的團(tuán)隊(duì)形式，通過(guò)小組討論的方式來(lái)對(duì)特定問(wèn)題進(jìn)行探討分析，最后根據(jù)討論結(jié)果形成報(bào)告，同時(shí)引出需要講授課程的新內(nèi)容。

建模所需的實(shí)際問(wèn)題既可以從實(shí)際生活中獲取，又可以教師從科研活動(dòng)中得來(lái)。例如，當(dāng)講解到矩陣特征值和特征向量時(shí)可以讓學(xué)生小組討論分析一下問(wèn)題：

有種昆蟲(chóng)，分為三組：第一組是不產(chǎn)卵的幼蟲(chóng)；第二組每個(gè)成蟲(chóng)兩周產(chǎn)卵100個(gè)；第三組每個(gè)成蟲(chóng)兩周產(chǎn)卵150個(gè)。假如該昆蟲(chóng)每個(gè)卵的成活率為9%，而第一組和第二組昆蟲(chóng)能夠存活到下一個(gè)成蟲(chóng)組的概率為10%與20%。同時(shí)假設(shè)每個(gè)組的昆蟲(chóng)各有100只，請(qǐng)分別計(jì)算在第二、四、六周后各類昆蟲(chóng)的數(shù)量，同時(shí)思考以下問(wèn)題：

1.將兩周時(shí)間作為分析間斷點(diǎn)，研究此種昆蟲(chóng)在周齡組數(shù)上的變化趨勢(shì)。相鄰的兩個(gè)時(shí)間段里，每個(gè)周齡數(shù)組的昆蟲(chóng)數(shù)目是否保持一個(gè)穩(wěn)定的比例？昆蟲(chóng)數(shù)目是否會(huì)發(fā)生極端變化？造成這種變化的原因是什么？

2.如果采用殺蟲(chóng)劑降低昆蟲(chóng)的成活率的方式來(lái)控制昆蟲(chóng)數(shù)目，結(jié)果使得每組的昆蟲(chóng)數(shù)量減半，那么這種殺蟲(chóng)劑是否有效？

（二）類似的問(wèn)題在外來(lái)物種入侵方面也可以應(yīng)用，比如說(shuō)飛蛾、喜旱蓮子草等等。林業(yè)部門(mén)、農(nóng)業(yè)部門(mén)以及相關(guān)的防疫部門(mén)對(duì)這些問(wèn)題比較關(guān)注（數(shù)值線性代數(shù)與此密切相關(guān)，同時(shí)這也是解決很多工程問(wèn)題的重要工具）。這樣做的目的是：

1.在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析和研究，可以大幅度增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的興趣，并且在小組探討過(guò)程中，有助于幫助學(xué)生提升對(duì)線性代數(shù)理論的理解程度，并且提高學(xué)生的解題能力和表述能力。

2.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，以團(tuán)隊(duì)的形式增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力。并且，在每一個(gè)階段，團(tuán)隊(duì)成員都將合作完成學(xué)習(xí)報(bào)告，在學(xué)習(xí)報(bào)告中，應(yīng)該綜合體現(xiàn)學(xué)生的個(gè)人觀點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法以及學(xué)習(xí)成果等等，通過(guò)這樣的形式還可以增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和創(chuàng)新能力。在綜合應(yīng)用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件（MATLAB）的基礎(chǔ)上，通過(guò)先實(shí)現(xiàn)可視化模擬再建立抽象理論，可以大幅度提高學(xué)生對(duì)于抽象數(shù)學(xué)理論的理解程度。

3.通過(guò)這樣的方式有助于提升學(xué)生對(duì)線性數(shù)學(xué)（理論、計(jì)算、應(yīng)用）三個(gè)基本成分的理解程度。在此基礎(chǔ)上知曉線性代數(shù)和矩陣的藝術(shù)性，并且積極學(xué)習(xí)新理論以及這些理論這實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

4.通過(guò)這種教學(xué)方式有助于提升學(xué)生在學(xué)習(xí)和思考兩個(gè)方面的結(jié)合度。通過(guò)將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，可以提升學(xué)生在宏觀層面的認(rèn)知度。不過(guò)這種方法可能對(duì)課程內(nèi)容有較大影響，對(duì)課時(shí)和學(xué)生人數(shù)的限制要求也比較高。電子科技大學(xué)以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的理念為引導(dǎo)，目前已經(jīng)在這一方面做過(guò)不斷嘗試。

第二種方法，即將一些與課堂內(nèi)容相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題融入到課堂講授之中。以講授特征值為例，根據(jù)總體課時(shí)和課程內(nèi)容，在講授昆蟲(chóng)繁衍問(wèn)題時(shí)可以劃分較長(zhǎng)的時(shí)間進(jìn)行講述。對(duì)于工科學(xué)生，可以根據(jù)他們的相關(guān)專業(yè)，將更多的實(shí)際問(wèn)題融入到課堂講授中，這些可以在上文闡述的線性代數(shù)課程所扮演的角色中找到。

任何一種方法，首要條件都是要求老師在講課之前準(zhǔn)備相關(guān)的資料的素材。這些相關(guān)資料和素材在專業(yè)教材上可以獲得。教學(xué)工作和科研工作兩者應(yīng)該充分結(jié)合，從而保證在選擇例題方面更加具有代表性。

本科教學(xué)過(guò)程富含較強(qiáng)的探索性和創(chuàng)新性。在教學(xué)過(guò)程中，不僅承擔(dān)了教授科學(xué)知識(shí)、傳遞文明的任務(wù)，還肩負(fù)了探索未知以及提高學(xué)生創(chuàng)新能力的責(zé)任。故而，在本科教學(xué)過(guò)程中，科研和教學(xué)兩種內(nèi)容是互相滲透有機(jī)結(jié)合的。在科研工作過(guò)程中，教師將積聚一種獨(dú)有的精神氣質(zhì)，這種精神氣質(zhì)是集實(shí)踐精神、進(jìn)取精神、探索精神以及創(chuàng)新精神等等于一體的。長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行科研工作的教師，總是結(jié)合所研究方向的前沿?zé)狳c(diǎn)，因而必然最先掌握了這方面理論的最新研究動(dòng)態(tài)。例如，通過(guò)在“計(jì)算電磁學(xué)中大規(guī)模線性代數(shù)方程組的高效求解技術(shù)”研討班上的學(xué)習(xí)，提高了線性代數(shù)課程的教師對(duì)于在經(jīng)典物理中線性代數(shù)的應(yīng)用層面的認(rèn)知，因而在講述“空間解析幾何和線性代數(shù)”的相關(guān)理論時(shí)，這些教師就可以舉出較多的應(yīng)用實(shí)例，提高課堂教學(xué)的說(shuō)服力。

綜上所述，將數(shù)學(xué)建模思想融入到“線性代數(shù)與空間解析幾何”的教學(xué)內(nèi)容中，可以為學(xué)生搭建起一條溝通數(shù)學(xué)理論知識(shí)和應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題的橋梁，在實(shí)際問(wèn)題中，促進(jìn)學(xué)生依靠數(shù)學(xué)建模思想思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。從而為學(xué)生提供一種優(yōu)質(zhì)的思考方法，為學(xué)生以后的成功奠定基礎(chǔ)。近些年來(lái)，數(shù)學(xué)建模思想逐漸被社會(huì)各界所接受，并且在教育界以及工業(yè)界中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。在大學(xué)本科教育中融入數(shù)學(xué)建模思想是一個(gè)新的課題，需要更為深入的研究和探討。本文以為科研與教學(xué)兩者互相有機(jī)結(jié)合是推行數(shù)學(xué)建模思想的有效途徑。在這個(gè)過(guò)程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、思考、判斷以及推演能力；可以提升學(xué)生的創(chuàng)新能力；可以促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)的問(wèn)題思考方法、分析方法以及解決方法，為學(xué)生在將來(lái)生活以及工作中科學(xué)的解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

[1]李佐鋒.數(shù)學(xué)建模[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2003.

[2]沈文選,楊清桃.數(shù)學(xué)建模引導(dǎo)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

[3]胡炳生,孫國(guó)漢.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005.