對(duì)數(shù)概念教學(xué)探究

山東 于靜

一、背景分析

“對(duì)數(shù)”作為高一教材的內(nèi)容，被安排在第一冊(cè)第四章《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》的第三節(jié)，共分三個(gè)課時(shí)完成。在新的職業(yè)學(xué)校教學(xué)大綱中，作為基礎(chǔ)模塊的內(nèi)容，教學(xué)要求是“理解”，是本章學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

被恩格斯稱為“17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就”之一的對(duì)數(shù)，它是一種計(jì)算方法，在應(yīng)用上有著非常大的優(yōu)越性：對(duì)數(shù)計(jì)算可以把高一級(jí)的乘、除、乘方、開方運(yùn)算依次轉(zhuǎn)化為低一級(jí)的加、減、乘、除運(yùn)算，特別是在進(jìn)行大量的計(jì)算時(shí)，可使計(jì)算的效率成倍的提高?，F(xiàn)在，隨著科技的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的廣泛使用，利用對(duì)數(shù)進(jìn)行大數(shù)計(jì)算已被新的運(yùn)算工具所取代。因此，中學(xué)特別是職業(yè)學(xué)校對(duì)于傳統(tǒng)的對(duì)數(shù)內(nèi)容進(jìn)行了大量的刪減，但我們知道，研究對(duì)數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及換底公式時(shí)，都要根據(jù)對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行；另外，對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用還是廣泛的，后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容也經(jīng)常用到。所以透徹理解對(duì)數(shù)概念是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。

二、學(xué)情分析

對(duì)數(shù)的概念對(duì)職高的學(xué)生來說是第一次接觸,一方面職高學(xué)生的理解能力弱，另一方面對(duì)數(shù)概念又特別抽象，講解這個(gè)概念時(shí)，學(xué)生不易理解、掌握，一時(shí)學(xué)懂了也容易遺忘。究其原因，只是學(xué)生不了解為什么要這樣定義?教科書中僅給出一個(gè)引例細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)w=2n，若已知w，如何求n?隨即引出對(duì)數(shù)的概念。這樣的教學(xué)就會(huì)造成(1)學(xué)生不理解概念的實(shí)質(zhì)，只會(huì)死記硬背，以至于學(xué)完對(duì)數(shù)后,還是不知道對(duì)數(shù)是什么意思。(2)學(xué)生只會(huì)形式地模仿解題,不善于獨(dú)立思考，更不用說進(jìn)一步的理解應(yīng)用。(3)知識(shí)掌握不扎實(shí)，高一學(xué)完對(duì)數(shù)，到高二便忘了。那么，應(yīng)該怎樣進(jìn)行對(duì)數(shù)概念的教學(xué)，幫助學(xué)生真正深刻的理解對(duì)數(shù)的概念，從而在應(yīng)用中得到鞏固呢?

三、解決措施

根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，要達(dá)到上述教學(xué)要求，其中概念的引入是最重要的一環(huán),它是學(xué)生理解和運(yùn)用的開始。因此，自然的引入對(duì)數(shù)的概念就非常重要了。依據(jù)職業(yè)學(xué)校學(xué)生的基礎(chǔ)及理解水平，筆者在教學(xué)過程中做了一點(diǎn)改革：通過具體實(shí)例引出對(duì)數(shù)，然后通過具體的數(shù)量關(guān)系的分析說明對(duì)數(shù)是一種運(yùn)算，再通過引出對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)引出對(duì)數(shù)的概念。具體操作如下：

（一）課堂知識(shí)的引入是從具體的實(shí)例切入，激發(fā)學(xué)生學(xué)生興趣：

【想一想】某種細(xì)胞分裂時(shí)，每次每個(gè)細(xì)胞分裂為2個(gè)，問：

1.經(jīng)過3次分裂，可以得到多少個(gè)細(xì)胞？

2.經(jīng)過幾次分裂可以得到8個(gè)細(xì)胞？（很簡(jiǎn)單，口算出答案）

3.經(jīng)過幾次分裂可以得到w個(gè)細(xì)胞？（如何表示這個(gè)求解的式子）

第一個(gè)問題是已知底數(shù)和指數(shù)求冪的問題，即指數(shù)問題；第二個(gè)問題是已知底數(shù)和冪求指數(shù)的問題，是第一個(gè)問題的逆問題，這個(gè)問題怎么求？第一個(gè)問題拋出，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。

（二）通過與平方、開方運(yùn)算的比較，引出新的運(yùn)算模式。

【做一做】回顧以前學(xué)過的運(yùn)算：（1）求 23=____（乘方運(yùn)算），（2）x3=8，求x=____（開方運(yùn)算），（3）2n=8，求n= 通過觀察可知n=3，若是 2n=7？如何求n的值？（又是上面的問題）

這時(shí)觀察是解決不了問題的，通常的加、減、乘、除、乘方、開方等代數(shù)運(yùn)算，在這里也都不能解決問題。但實(shí)際生活中又必須進(jìn)行此類運(yùn)算，因此，必須引入有一種新的計(jì)算方法來解決以上的問題。在這里，仍然沒有給出對(duì)數(shù)的概念，吊足了學(xué)生胃口，極大地提高了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。

（三）講解對(duì)數(shù)的定義，講明對(duì)數(shù)的實(shí)質(zhì)。

【議一議】觀察下面幾個(gè)指數(shù)式子：2n=6，n=___？2n=7，n=___？2n=8，n=___？2n=9，n=___？式子中的n都在什么位置？叫什么名字？在不同的式子中它所代表的含義是什么？引導(dǎo)學(xué)生說出完整的答案：分別是以2為底和不同的數(shù)對(duì)應(yīng)的指數(shù)，那么這些n就簡(jiǎn)稱為對(duì)數(shù)。如何表示呢？引出對(duì)數(shù)運(yùn)算符號(hào)log,把它和加減乘除、乘方、開方符號(hào)相類比，讓學(xué)生從心理上接受它是一種運(yùn)算符號(hào)。然后分別記為n=log26，n=log27,n=log28,n=log29。由此可見，對(duì)數(shù)運(yùn)算是乘方運(yùn)算的一種逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)的實(shí)質(zhì)就是求指數(shù)式中的指數(shù)，這里，再給出對(duì)數(shù)的完整數(shù)學(xué)定義：

一般地，如果ab=N（a＞0且a≠1）,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記做：b=logaN其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

例如：34=81，所以4是以3為底81的對(duì)數(shù)，記做4=log381.這樣依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，由淺入深、步步為營(yíng)的引導(dǎo)，可以讓學(xué)生更好地理解對(duì)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)。

【說明】對(duì)數(shù)作為一種運(yùn)算，由ab=N引出。在這個(gè)式子中已知一個(gè)數(shù)a和它的指數(shù)求冪的運(yùn)算就是指數(shù)運(yùn)算（或乘方運(yùn)算），已知指數(shù)和冪求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算就是開方運(yùn)算，而已知這個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算。從方程的角度來看，這個(gè)式子中一共有三個(gè)量，知二求一，恰好構(gòu)成以上三種運(yùn)算，這樣引入對(duì)數(shù)運(yùn)算是很自然的，也是很重要的，這就完成了對(duì)ab=N的全面認(rèn)識(shí)。

（四）講完對(duì)數(shù)定義后，要向?qū)W生說明三點(diǎn)：

(1)log是類似于√ 的一種運(yùn)算符號(hào)（對(duì)數(shù)logarithm的縮寫）不可理解為因式，不可拆分，不能看做loga·N。

(2)對(duì)數(shù)式的書寫格式，即底數(shù)、真數(shù)、對(duì)數(shù)的位置要寫正確,底數(shù)偏下字體要小，真數(shù)居中正常大小。

(3)對(duì)數(shù)式可以和指數(shù)式進(jìn)行互化,即:ab=N logaN

后面緊跟一組指對(duì)互化的練習(xí)題，反復(fù)使用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，鞏固學(xué)生對(duì)定義的理解，這樣就為接下來再進(jìn)行的對(duì)數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，很好地完成教學(xué)任務(wù)。

四、設(shè)計(jì)解讀

本節(jié)課主要介紹對(duì)數(shù)的概念，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。是對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)的第一課時(shí)，其中對(duì)數(shù)概念的理解是本節(jié)課的難點(diǎn)，自然的引入對(duì)數(shù)的概念、對(duì)對(duì)數(shù)定義實(shí)質(zhì)的準(zhǔn)確解讀就非常重要了。

本節(jié)課通過預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案將學(xué)習(xí)內(nèi)容分板塊設(shè)計(jì)，首先從現(xiàn)實(shí)中的問題引入對(duì)數(shù)的概念，讓學(xué)生感受到對(duì)數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景，認(rèn)識(shí)到引進(jìn)對(duì)數(shù)的必要性。再與以前學(xué)過的乘方開方運(yùn)算類比，得到逆運(yùn)算的結(jié)果。最后通過一組相同的式子得到對(duì)數(shù)的定義。這樣按照由淺入深，由易到難，學(xué)練結(jié)合的原則，將對(duì)數(shù)定義以小問題的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。讓學(xué)生以提綱中的小問題為線索，親歷對(duì)數(shù)定義的探究過程，從而達(dá)到對(duì)新知識(shí)的理解與掌握。這樣的安排，是顧及到職業(yè)學(xué)校學(xué)生的基礎(chǔ)和理解能力，由淺入深進(jìn)行，激發(fā)學(xué)生的興趣。

結(jié)束語

對(duì)數(shù)概念的教學(xué)一直是職高學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)，但依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和技術(shù)能力水平，循序漸進(jìn)，總會(huì)有一定的辦法和收獲。

[1]黃俊,王惠秀.對(duì)數(shù)定義的教學(xué)探討[J].成才之路,2011年02期.

[2]陳永箴.對(duì)數(shù)概念教學(xué)的幾個(gè)問題[J].教學(xué)與研究,1982年04期.