數(shù)值分析教學(xué)應(yīng)重視科學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)

張麗麗

(河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 鄭州 450002)

科學(xué)計(jì)算能力是二十一世紀(jì)人才不可或缺的，它是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)有機(jī)結(jié)合的結(jié)果，其核心內(nèi)容是以現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件為工具，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行模擬研究。同時(shí)，它也成為數(shù)學(xué)科學(xué)本身發(fā)展的源泉和途徑之一。高等教育中如何培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力正日益受到關(guān)注，已成為當(dāng)前教育改革的核心和焦點(diǎn)之一［1］。

目前，國(guó)內(nèi)高校一般都將數(shù)值分析列入自然科學(xué)和工程技術(shù)的教學(xué)計(jì)劃之中，以期培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。數(shù)值分析是作者主講的課程之一，結(jié)合自己的教學(xué)情況，下面就如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力談一談自己的體會(huì)。

1 利用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)算法

科學(xué)計(jì)算能力就是利用計(jì)算工具和軟件解決學(xué)習(xí)、科研和實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的計(jì)算問(wèn)題的能力。與傳統(tǒng)的科學(xué)計(jì)算編程語(yǔ)言C和Fortran相比，Matlab簡(jiǎn)單易學(xué)，編程簡(jiǎn)潔，它既有結(jié)構(gòu)化的控制語(yǔ)句，又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦裕绦蛳拗撇粐?yán)格，自由度大，程序移植性很好。而且，Matlab的數(shù)據(jù)可視化功能強(qiáng)大，繪圖簡(jiǎn)單，界面友好，繪出的圖形細(xì)膩、空間感強(qiáng)，這是傳統(tǒng)編程語(yǔ)言無(wú)法比擬的［2］。所以，我們?cè)跀?shù)值分析的教學(xué)中采用Matlab軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)算法，可以把主要精力放在算法的步驟上，而非算法的各個(gè)細(xì)節(jié)，這樣有助于學(xué)生從整體上把握算法，掌握算法的核心和要點(diǎn)。例如，列主元Gauss消去法的Matlab程序如下：

此程序要求系數(shù)矩陣A非奇異.程序中(2)-(23)為消元過(guò)程，具體劃分是(3)-(8)為選列主元過(guò)程，(9)-(14)為行交換過(guò)程，(15)-(22)為每一步的消元過(guò)程;(24)-(31)為回代過(guò)程;(32)-(35)是輸出結(jié)果的代碼。因?yàn)椴恍枰x變量，程序編寫(xiě)自由度大，上述列主元Gauss消去法程序簡(jiǎn)潔易懂、一目了然。又因?yàn)榭梢悦嫦驅(qū)ο缶幊?，選主元、行交換、消元和回代過(guò)程等算法要點(diǎn)在程序中也都很詳細(xì)地呈現(xiàn)了出來(lái)。

教師在教學(xué)過(guò)程中將算法的步驟和流程圖講解清楚之后，將相應(yīng)的Matlab程序展示給學(xué)生，講解程序每一部分的功能和要點(diǎn)，并將計(jì)算過(guò)程和計(jì)算結(jié)果演示給學(xué)生。講解過(guò)程中最重要的是，要將如何應(yīng)用Matlab軟件和所學(xué)算法解決實(shí)際問(wèn)題的方法教給學(xué)生，讓學(xué)生成為利用計(jì)算機(jī)和軟件進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的能手。

2 融入數(shù)學(xué)建模的思想

在數(shù)值分析的教學(xué)中，理論脫離實(shí)際的問(wèn)題仍然存在。通過(guò)課堂教學(xué)，學(xué)生能夠掌握各種數(shù)值方法的基本思想、算法流程和理論分析，也通過(guò)做一些練習(xí)題來(lái)認(rèn)識(shí)算法。不過(guò)，這些練習(xí)題一般規(guī)模很小且脫離實(shí)際問(wèn)題，并不能真正地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。因此，課堂教學(xué)時(shí)引入一些規(guī)模較大且密切聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。為了突出教學(xué)主旨，所選問(wèn)題要簡(jiǎn)明扼要，易于闡述清楚，與教學(xué)內(nèi)容能夠有機(jī)地融合在一起。例如，在擬合和插值這一部分，我們可以考慮以下這個(gè)問(wèn)題：

正確的車(chē)與車(chē)之間的跟隨距離對(duì)于安全駕駛很重要。文獻(xiàn)［3］中給了一組車(chē)速與停止距離的數(shù)據(jù)，見(jiàn)表1。其中汽車(chē)的速度為v(英里/小時(shí))，司機(jī)的反應(yīng)距離為dr(英尺)，剎車(chē)距離為db(英尺)，則總的停止距離為d=dr=db。

表1 停止距離的觀測(cè)數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

?

假設(shè)從司機(jī)決定需要停車(chē)到剎車(chē)起作用的時(shí)間里車(chē)輛繼續(xù)以常速行駛，則司機(jī)的反應(yīng)距離dr與速度v成比例dr∝v。假定是緊急停車(chē)且整個(gè)停車(chē)過(guò)程中作用的是最大的剎車(chē)力F，則剎車(chē)力所做的功Fdb應(yīng)等于動(dòng)能的變化mv2。而剎車(chē)力F一般與車(chē)的質(zhì)量m成比例，所以剎車(chē)距離與速度之間的關(guān)系為。

用最小二乘法進(jìn)行擬合，可以得到司機(jī)的反應(yīng)距離dr與速度v的比例系數(shù)為

剎車(chē)距離db與速度平方v2的比例系數(shù)為

從而總的停止距離d的模型為

總之，所選問(wèn)題應(yīng)該重點(diǎn)突出，起到點(diǎn)睛作用，既能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造精神和興趣，又能與算法密切銜接，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。

3 上機(jī)實(shí)驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題

目前，學(xué)校有環(huán)境優(yōu)越的機(jī)房供教學(xué)和上機(jī)實(shí)驗(yàn)，大部分學(xué)生也都擁有個(gè)人計(jì)算機(jī)。上機(jī)實(shí)驗(yàn)的硬件方面不成問(wèn)題。要想真正激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)他們的科學(xué)計(jì)算能力，關(guān)鍵是選一些簡(jiǎn)單的、與所學(xué)算法密切相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，讓他們自己動(dòng)手，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)算法步驟，編寫(xiě)程序，分析計(jì)算結(jié)果。例如，在微分方程的數(shù)值解法這一章，可以給學(xué)生這樣一個(gè)問(wèn)題：某個(gè)銀行的利息是按復(fù)利進(jìn)行計(jì)算的，也就是說(shuō)在計(jì)算復(fù)利時(shí)，所得的利息作為本金繼續(xù)產(chǎn)生利息。設(shè)初期存款為1000元，年利率為5%。為了吸引存款人，銀行設(shè)置了計(jì)算復(fù)利的幾種不同期限：半年期、按季度和按月。銀行聲明它的復(fù)利是連續(xù)計(jì)算的，請(qǐng)建立相應(yīng)的微分方程模型，并分別用Euler方法和改進(jìn)的Euler方法計(jì)算存款在10年內(nèi)的增長(zhǎng)情況。

這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型很簡(jiǎn)單，但是計(jì)算量大，需要借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成。在求解過(guò)程中，學(xué)生將繁雜的計(jì)算任務(wù)編寫(xiě)成程序提交給計(jì)算機(jī)來(lái)完成，一點(diǎn)鼠標(biāo)結(jié)果就出來(lái)了，學(xué)生從中能夠感受到利用所學(xué)算法解決實(shí)際問(wèn)題的快樂(lè)，能激發(fā)他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)的愿望，有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和科學(xué)計(jì)算能力。

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)值分析是一門(mén)理論算法抽象、應(yīng)用廣泛、實(shí)用性強(qiáng)的學(xué)科。單純地講解各種算法的基本原理、計(jì)算步驟和理論分析，教學(xué)也就流于紙上談兵，學(xué)生也會(huì)覺(jué)得枯燥無(wú)味、失去興趣。為了避免這種現(xiàn)象，我們將數(shù)學(xué)建模的思想引入課堂教學(xué)，用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)算法，并且讓學(xué)生上機(jī)實(shí)驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這些措施，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深了學(xué)生對(duì)算法和理論的理解，提高了學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力，教學(xué)質(zhì)量得以提高。

［1］蔡大用，白峰杉.高等數(shù)值分析［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1997.

［2］張志涌.精通 MATLABR2011a［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.

［3］F.R.Giordano，M.D.Weir，W.P.Fox.數(shù)學(xué)建模(英文版)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.