精密單點定位的數(shù)學(xué)模型選擇

鮑建寬，陳偉榮，高成發(fā)

（1.黑龍江工程學(xué)院 測繪工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150050；2.東南大學(xué) 測繪工程系，江蘇 南京210096）

GPS技術(shù)為測量定位帶來了巨大的進步，目前常用的主要有傳統(tǒng)單點定位和差分GPS定位。傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)單點定位（Standard Point Positioning，SPP）盡管只需1臺GPS接收機就可以進行實時的導(dǎo)航定位，且在導(dǎo)航領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，但精度低（數(shù)米至數(shù)十米），滿足不了許多高精度定位用戶的精度要求；差分GPS定位（DGPS）技術(shù)雖然精度高，但需要布設(shè)至少1個基站，作業(yè)時，不僅受作業(yè)距離的限制，儀器成本和勞動成本都相應(yīng)增加不少。

Zumbeger于1997年提出精密單點定位技術(shù)（Precise Point Positioning，PPP），利用IGS提供的精密星歷和精密衛(wèi)星鐘差，對單臺GPS接收機所采集的相位和偽距觀測值進行定位解算，在一定條件下能夠達到與差分GPS技術(shù)相當(dāng)?shù)亩ㄎ痪?，在處理單機靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)時取得了厘米級的定位結(jié)果。

GPS精密單點定位技術(shù)單機作業(yè)，機動靈活，作業(yè)不受作用距離的限制。它集成了標(biāo)準(zhǔn)單點定位和差分定位的優(yōu)點，克服了各自的缺點，具有廣闊的應(yīng)用前景。作為一項GPS定位新技術(shù)，精密單點定位技術(shù)在高精度靜態(tài)定位、精密時間確定和時間傳遞以及對流層參數(shù)估計等方面都有成功的應(yīng)用。目前，主要有3種定位模型，即傳統(tǒng)消電離層組合模型、UofC模型和無模糊度模型。

1 GPS精密單點定位常用模型

1.1 傳統(tǒng)模型

傳統(tǒng)模型采用碼和相位的消電離層組合作為觀測量，每顆衛(wèi)星對應(yīng)2個觀測量，Zumberge、Kouba和Heroux等人均使用該組合值作為精密單點定位的函數(shù)模型。雙頻觀測值P1，P2線性組合，得到消除電離層影響的偽距組合觀測值和相位組合觀測值，具體形式如下：

式中：P（Li）為Li上的偽距觀測值，Φ（Li）為Li上的載波相位觀測值，PIF為無電離層延遲的偽距組合值，ΦIF為無電離層延遲的載波相位組合值，ρ為站星幾何距離，c為光速，dT為接收機鐘差，dtrop為對流層延遲，λi為Li波長 ，ε（.）為包括多路徑影響等觀測噪聲。

1.2 UofC模型

UofC模型采用偽距和相位的半和組合以及相位的消電離層組合作為觀測量，每顆衛(wèi)星對應(yīng)3個觀測量，由Calgary大學(xué)的Gao Yang于2002年提出［3］。具體形式如下：

式中：PLi，Φi為偽距和載波相位觀測值平均值，半和組合。

在UofC模型中，2個載波上的模糊度是分別估計的，采用模糊度偽固定（Pseudo－Fixing）的方法加速模糊度收斂，由于觀測量作了半和組合，觀測噪聲只有偽距噪聲的0.5倍。

1.3 無模糊度模型

傳統(tǒng)模型與UofC模型都是非差模型，每顆衛(wèi)星都可以對應(yīng)列出2個或3個方程；而無模糊度模型是差分模型，它在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，對相鄰歷元間的載波相位觀測值差分，從而消除模糊度項，不必再考慮模糊度的估計。模型具體形式為

式中：ΔΦIF為歷元i與i－1時刻無電離層相位組合觀測值之差，Δρ為站星幾何距離之差，Δdt為接收機鐘差之差，Δdtrop為對流層延遲之差。

1.4 3種常用模型的比較

3種常用模型的比較見表1。

表1 3種常用模型的優(yōu)缺點分析

2 差分觀測值的GPS精密單點定位

傳統(tǒng)模型和UofC模型都是非差觀測值的模型，是目前最常用的精密單點定位模型。借鑒GPS相對定位中，采用單差、雙差和三差觀測值來消除和減弱各種誤差影響，在精密單點定位中也可以采用差分觀測值的方法。

2.1 星間差分

同一歷元不同衛(wèi)星之間求差，組成單差模型的精密單點定位觀測方程。某歷元時刻，衛(wèi)星l的載波觀測方程

同一時刻，衛(wèi)星k的載波觀測方程

式（8）和式（9）兩式相減，得到星間差分觀測方程

由方程（10）可以看出，接收機鐘差項被消除。

2.2 歷元間差分

即常用定位模型中的無模糊度模型，相鄰歷元間求差，組成單差觀測方程。具體方程見式（7），歷元間做差后消除了模糊度參數(shù)項。

2.3 星間歷元間二次差分

在星間差分的基礎(chǔ)上，相鄰歷元間再做差，組成二次差觀測方程。歷元i時刻星間單差方程

相鄰下一歷元j時刻星間單差方程

二次差分是最簡單的觀測模型，模糊度參數(shù)和接收機鐘差都被消除了。

2.4 不同差分模型的比較

不同差分模型的比較見表2。

表2 差分模型的優(yōu)缺點分析

差分模型相比于非差模型的優(yōu)勢是很明顯的，減少未知數(shù)的個數(shù)，簡化計算，減少參數(shù)的估計收斂時間。但同樣地，差分模型的缺陷也很突出，觀測值的相關(guān)性是一大難題。

3 組合新模型

通過上述對現(xiàn)有模型各自優(yōu)缺點的分析，在此基礎(chǔ)上引入星間歷元間二次差，即對傳統(tǒng)模型同一歷元不同衛(wèi)星求差，然后相鄰歷元間再做差；因二次差模型大大增加觀測量的相關(guān)性，所以二次差模型求解的測站坐標(biāo)與權(quán)陣僅作為卡爾曼濾波器的初始值，然后以星間一次差為模型求解測站坐標(biāo)和模糊度等參數(shù)，即二次差 — 一次差組合新模型。

3.1 模型推導(dǎo)

假設(shè)在歷元i與歷元j都能觀測到n顆衛(wèi)星，下面分析和推導(dǎo)組合新模型。

步驟一：歷元i觀測衛(wèi)星l的消電離層組合觀測值的觀測方程

步驟二：選取歷元i中高度角最大的衛(wèi)星k作為參考衛(wèi)星，則參考衛(wèi)星的消電離層組合觀測方程為

步驟三：式（14）與式（15）兩式相減，得到歷元i時刻衛(wèi)星之間求差后的觀測方程

步驟四：兩個歷元i與j之間再做差，組成星間歷元間二次差的觀測方程

步驟五：以方程（18）為模型，線性化后用卡爾曼濾波方法求解，解算結(jié)果作為濾波初始值，再以方程（17）為模型，線性化后求解。

利用二次差—一次差組合新模型進行GPS精密單點定位，克服了星間歷元間二次差模型的缺點，即觀測值的相關(guān)性。二次差的結(jié)果僅僅作為濾波初始值，以較精確的初始值來加快卡爾曼濾波的收斂時間，達到快速收斂的效果。而星間一次差則消除了接收機鐘差的影響，減少了未知數(shù)個數(shù)，解決方程病態(tài)和奇異問題，利用少量歷元就可以估計參數(shù)，大大提高了觀測資料的利用率。

3.2 精度分析

二次差— 一次差組合新模型的實質(zhì)還是星間差分模型，二次差僅用作計算濾波初值。采用星間差分，就會存在觀測值相關(guān)性問題。

傳統(tǒng)消電離層組合觀測值ΦIF觀測噪聲是原始偽距和載波相位觀測噪聲的3倍，衛(wèi)星間差分模型是在傳統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，同一歷元不同衛(wèi)星之間求差，觀測噪聲是傳統(tǒng)模型的倍，也就是原始觀測噪聲的4倍多，可以滿足厘米級定位精度的需要。

4 定位試驗及結(jié)果分析

4.1 試驗資料綜述

為了分析差分模型與傳統(tǒng)非差模型在精密單點定位的精度、收斂時間方面差異，本文取2007年4月，用Leica530GPS在南京已知基準(zhǔn)點上采集的靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)，歷元間隔為5s，觀測時衛(wèi)星數(shù)目為6～8顆，衛(wèi)星截止高度角為10°。從IGS網(wǎng)站下載同一時段的精密星歷與精密鐘差文件，用自己編寫的精密單點定位軟件，使用不同的模型分別進行單點定位的解算，并對解算結(jié)果進行對比分析。

由于GPS觀測的歷元間隔為5s，需事先對精密星歷與鐘差文件進行拉格朗日差值，觀測數(shù)據(jù)文件也需要預(yù)處理，剔除粗差和修復(fù)周跳。另外，各項能夠模型化的誤差也已通過計算得到。

4.2 試驗結(jié)果

圖1是采用傳統(tǒng)非差模型進行精密單點定位的空間坐標(biāo)收斂情況。由圖1可以看出，1 000s以后，空間坐標(biāo)趨于收斂，而具體數(shù)據(jù)表明，2 500s以后，該點位在XYZ3個方向上的定位精度達到厘米級。

圖1 傳統(tǒng)模型（非差）精密單點定位在空間坐標(biāo)XYZ的殘差

圖2 是采用星間單差模型進行精密單點定位解算的坐標(biāo)收斂統(tǒng)計圖。由于消除了接收機鐘差的影響，未知參數(shù)只剩下點位坐標(biāo)，模糊度和對流層延遲。與非差模型相比，穩(wěn)定性不足，在600s附近X方向殘差有變大趨勢，到2 000s附近收斂到厘米級精度，收斂時間相比非差模型要快一些。

圖2 星間單差模型精密單點定位在空間坐標(biāo)XYZ的殘差

圖3 是采用星間歷元間二次差模型，相比于非差和單差模型，二次差模型的參數(shù)項更少，無模糊度項，無接收機鐘差項，是最簡單的觀測模型。結(jié)果顯示：X 方向殘差在1 000s附近有反彈，且3 000s的時候還沒有收斂到厘米級，YZ方向收斂比較穩(wěn)定快速。這主要是因為二次差觀測值之間的相關(guān)性大大增強，不利于解算。

圖4采用組合新模型的精密單點定位結(jié)果統(tǒng)計，因同樣是采用的差分模型，收斂在1 000s附近有反彈，不到2 000s的時候達到厘米級精度。

表3是幾種試驗?zāi)Ｐ褪諗康嚼迕准壘鹊臅r間統(tǒng)計。根據(jù)表3數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)非差模型收斂時間長，星間單差模型收斂時間較短，而二次差模型在3 000s的時候還沒有收斂到厘米級精度，組合新模型比星間單差收斂時間更快，近30min的時間就能達到厘米級精度要求。

表3 4種試驗?zāi)Ｐ褪諗康嚼迕准壘鹊臅r間統(tǒng)計

比較結(jié)果可以看出，由于各種模型的組合觀測值的構(gòu)造方式不同，在定位結(jié)果收斂速度上稍有差異，傳統(tǒng)模型穩(wěn)定，而組合新模型定位快。雖然定位過程中，組合新模型的收斂有反彈過程，總體影響不大，是一種比較好的單點定位模型。

5 結(jié)束語

精密單點技術(shù)是目前GPS研究領(lǐng)域的熱點方向之一，具有很強的技術(shù)優(yōu)勢。特別是在一些不適合建立CORS基站的地形復(fù)雜或地域龐大的地區(qū)，精密單點定位技術(shù)不依賴于基站，大大提高作業(yè)效率。然而，精密單點定位目前仍然存在不少問題，包括定位模型、誤差改正、數(shù)據(jù)預(yù)處理、參數(shù)估計等。本文對精密單點定位的定位模型方面做了一些嘗試，在分析比較幾種非差和差分模型之后，提出二次差 — 一次差組合新模型。通過精度分析，組合新模型能夠滿足厘米級單點定位的要求。試驗結(jié)果也表明，采用組合新模型能改善單點定位的作業(yè)效率，更快速地達到精度要求。

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