談大地坐標(biāo)及子午線收斂角的計(jì)算方法

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(山西路橋第一工程有限責(zé)任公司，山西太原 030006)

0 引言

工程測(cè)量是一門測(cè)定地面點(diǎn)位的科學(xué)，廣泛應(yīng)用于公路、建筑、鐵路等各種建筑工程的勘測(cè)、設(shè)計(jì)、施工的各個(gè)環(huán)節(jié)。本文就子午線收斂角做簡(jiǎn)單的介紹，在介紹子午線收斂角之前我們應(yīng)該先剖析一下公路及建筑測(cè)量中所用的測(cè)量坐標(biāo)系。

1 測(cè)量坐標(biāo)系

測(cè)量的基本值說到底其實(shí)就是點(diǎn)、線、面，將大地實(shí)際的三維體系轉(zhuǎn)換和繪制在電腦或者圖紙，在圖紙上標(biāo)定和計(jì)算，再將圖紙上的點(diǎn)線面放樣到大地的實(shí)際點(diǎn)位，組成新的三維實(shí)體。測(cè)量上確定地面點(diǎn)的位置，是通過在基準(zhǔn)面上建立坐標(biāo)系，測(cè)定點(diǎn)位之間的距離角度和高差三個(gè)值來實(shí)現(xiàn)的。

1．1 基準(zhǔn)面

地球的形狀可以使用兩級(jí)近似，第一級(jí)我們可以將地球近似為一個(gè)圓球，半徑為6 371 km;第二級(jí)近似概況為一個(gè)橢球體，其長(zhǎng)半軸為 6 378．137 km，短半軸為 6 356．752 km，扁率為1/298．257。自由靜止的水面即是水準(zhǔn)面，水準(zhǔn)面包圍的地球形體稱為大地體。測(cè)量工作就是以橢球面作為基準(zhǔn)面，把大地體作為地球的數(shù)學(xué)模型，在上面建立一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)坐標(biāo)關(guān)系。

1．2 坐標(biāo)軸系

坐標(biāo)軸系分為兩部分，即平面坐標(biāo)軸系及豎直坐標(biāo)軸系。本文主要對(duì)平面坐標(biāo)軸系進(jìn)行闡述。平面坐標(biāo)軸系分為地理坐標(biāo)，平面直角坐標(biāo)及高斯—克呂格坐標(biāo)。

1．2．1 地理坐標(biāo)

地理坐標(biāo)是以經(jīng)度λ、緯度φ來確定地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)，其中通過一點(diǎn)和地球南北極的平面稱為該點(diǎn)的子午面，子午面與地球表面的交線稱為子午線也叫真子午線。通過某一點(diǎn)的子午面與通過英國(guó)格林威治天文臺(tái)的子午面之間的夾角就是該點(diǎn)的經(jīng)度。通過某一點(diǎn)的鉛垂線與赤道平面的夾角稱為該點(diǎn)的緯度。

1．2．2 平面直角坐標(biāo)

在地球上不大的區(qū)域范圍內(nèi)，我們可以將地球近似的當(dāng)做平面，用直角坐標(biāo)來確定點(diǎn)位。在測(cè)量上的直角坐標(biāo)與數(shù)學(xué)上的直角坐標(biāo)系基本相似，可以使用數(shù)學(xué)上的三角函數(shù)直接計(jì)算，但與數(shù)學(xué)上的直角坐標(biāo)系的區(qū)別在于將坐標(biāo)軸互換，象限編號(hào)的順序也與數(shù)學(xué)上的直角坐標(biāo)相反。

1．2．3 高斯—克呂格坐標(biāo)

將地球上的點(diǎn)位轉(zhuǎn)移到平面上，需要按照地圖投影的方法將大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)，我國(guó)采用高斯—克呂格投影的方法。高斯—克呂格坐標(biāo)就是建立在高斯投影面上的平面直角坐標(biāo)。它是一種球面坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)相互可以轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)軸系。

在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸，這樣便形成了高斯平面直角坐標(biāo)系。

為了控制由曲面正形投影到平面上時(shí)引起的長(zhǎng)度變形，高斯投影采用分區(qū)分帶的方法，使帶內(nèi)的最大變形控制在測(cè)量允許值的范圍內(nèi)，通常劃分為60個(gè)帶，每6°劃分為一個(gè)6°帶。位于各帶邊上的子午線稱為分帶子午線，位于各帶中央的子午線稱為中央子午線或者軸子午線。

在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)x軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)y軸。在我國(guó)x坐標(biāo)都是正的，y坐標(biāo)的最大值(在赤道上)約為330 km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 000 m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。

在投影時(shí)每個(gè)帶獨(dú)立進(jìn)行，在高斯投影面上除中央子午線與赤道的投影構(gòu)成兩條互相垂直的線外，其余子午線均為對(duì)稱于中央子午線的曲線，而且離中央子午線越遠(yuǎn)，長(zhǎng)度變形越大，為了控制變形滿足精度要求，很多情況下也采用3°帶(見圖1)。

圖1 分區(qū)分帶圖

在高斯投影面上，中央子午線投影后是一條直線，作為這個(gè)帶的坐標(biāo)縱軸，但是其他子午線投影后均為曲線(見圖2)，在圖中M，N兩點(diǎn)的真子午線方向與中央子午線之間的夾角稱為子午線收斂角。

2 子午線收斂角的計(jì)算

子午線收斂角是地球橢球體面上一點(diǎn)的真子午線與位于此點(diǎn)所在的投影帶的中央子午線之間的夾角，即在高斯平面上的真子午線與坐標(biāo)縱線的夾角，通常用γ表示。此角有正、負(fù)之分:以真子午線北方向?yàn)闇?zhǔn)，當(dāng)坐標(biāo)縱軸線北端位于以東時(shí)稱東偏，其角值為正;位于以西時(shí)稱西偏，其角值為負(fù)。

圖2 子午線投影圖

1)坐標(biāo)方位角與真方位角的關(guān)系。

其中，αMN為點(diǎn)M到點(diǎn)N的坐標(biāo)方位角;AMN為點(diǎn)M到點(diǎn)N的真方位角;γ為子午線收斂角。

2)子午線收斂角的計(jì)算。

如果已知測(cè)站精度和緯度，可以按照下式計(jì)算:

其中，L為測(cè)站緯度;L0為測(cè)站所在高斯投影帶的中央子午線的經(jīng)度;B為測(cè)站緯度。

如果已知測(cè)站高斯坐標(biāo)的橫坐標(biāo)y，可以用下式計(jì)算:

3)例解。

在公路中線測(cè)量中，在A點(diǎn)上測(cè)得導(dǎo)線起始邊AB的真方位角AAB=82°15'20″;在 M點(diǎn)上測(cè)得導(dǎo)線終邊 MN的真方位角為89°26'40″，已知 A，M 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差為 +13．92 km，M 點(diǎn)的緯度40°30'。若αAB=82°15'20″，此時(shí)終邊MN的坐標(biāo)方位角是多少。

計(jì)算:首先計(jì)算子午線收斂角為(13．92/6 371)×tan(40°30') ×180/π =0°06'25″。

則終邊 MN 的坐標(biāo)方位角為89°26'40″－0°06'25″=89°20'15″。

3 結(jié)語(yǔ)

大地體是一個(gè)近乎梨形，南北極并不對(duì)稱的橢球體，在高斯投影帶中建立的直角坐標(biāo)系還存在很多更加精確和繁瑣的計(jì)算公式及計(jì)算方法，需要不斷的探索和研究。測(cè)量工作作為工程施工和設(shè)計(jì)中的重點(diǎn)，還有很多需要學(xué)習(xí)和實(shí)踐的。

［1］ 李映紅．建筑工程測(cè)量［M］．武漢:武漢大學(xué)出版社，2011．