蒸汽腔演變與SAGD產(chǎn)量預(yù)測的數(shù)學(xué)關(guān)系研究

許曉宏，王丹霞 （長江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢430100）

由式（13）可以總結(jié)出蒸汽腔體積隨時(shí)間推移而不斷增大。蒸汽腔的高度（h）增大到注汽井口與油藏頂端之間高度（hi）時(shí)所需要的時(shí)間為（ti），其計(jì)算公式為：

隨著稠油油田進(jìn)入蒸汽吞吐和蒸汽驅(qū)熱采的后期，蒸汽輔助重力泄油 （Steam Assisted Gravity Driange，SAGD）逐漸成為成熟的接替性技術(shù)。SAGD是一種合理整合了水平井技術(shù)、重力作用以及蒸汽熱能的稠油熱采技術(shù)。然而，現(xiàn)有對SAGD產(chǎn)量預(yù)測的研究中，多數(shù)分析模型側(cè)重于油藏的泄油能力，忽略了SAGD技術(shù)實(shí)施過程中的技術(shù)細(xì)節(jié)。SAGD生產(chǎn)環(huán)節(jié)中，蒸汽腔的演變過程對驅(qū)油效果極為重要，控制注汽干度、注汽速度、排液速度等參數(shù)，可以使液體最大程度的泄流到生產(chǎn)井內(nèi)。除此之外，合理調(diào)整生產(chǎn)速率以及井底溫壓有利于提高原油的累計(jì)采收率和汽油比。

圖1 SAGD蒸汽腔泄油模式圖

1 蒸汽腔演變及重力泄油原理

由注汽井持續(xù)向油藏內(nèi)注入蒸汽，蒸汽依次向上方、四周、下方運(yùn)動(dòng)，最后形成完整的蒸汽腔體 （見圖1），其縱剖面形狀類似于窄面的扇形。蒸汽腔內(nèi)表面的蒸汽冷凝，向周圍油藏釋放熱量。油藏中受熱降黏的原油與冷凝液在重力作用下被驅(qū)向水平生產(chǎn)井，發(fā)生泄流。加熱區(qū)前緣向上方的油藏推進(jìn)，既保持了油藏的壓力和驅(qū)動(dòng)力，又可以提高蒸汽波及范圍。SAGD生產(chǎn)后期，蒸汽腔逐漸到達(dá)油層頂部，熱傳遞在上覆巖層下面的四周進(jìn)行。

2 蒸汽腔數(shù)學(xué)模型

加拿大學(xué)者Butler最早開始研究SAGD稠油熱采技術(shù)???Butler R M.Thermal Recovery of Oil and Bitumen，Englewood Cliffs.N J：Prentice Hall，1991：285－359.?Butler R M.Horizontal wells for the recovery of oil，gas and bitumen.Calgary：The Petroleum Society of CIM，1994.，并給出理想模式下水平生產(chǎn)井一微元段的泄流量公式：

式中，qm為最大產(chǎn)液量；h為蒸汽腔的高度；k為儲(chǔ)層的有效滲透率；g為重力加速度；a為儲(chǔ)層熱擴(kuò)散率；φ為孔隙度；ΔSo為可流動(dòng)油飽和度；vs為蒸汽溫度下的原油黏度；m為黏度常數(shù)，m≈3。

根據(jù)Butler的公式可知，在儲(chǔ)層的有效滲透率、儲(chǔ)層熱擴(kuò)散率、孔隙度、可流動(dòng)油飽和度、蒸汽溫度下的原油黏度，已知的情況下，影響一微元段水平井的泄流量主要因素是蒸汽腔所波及到的油層厚度。因此蒸汽腔高度（h）即為被波及的油層厚度 （見圖2）。基于這一認(rèn)識(shí)可以得出以蒸汽腔高度為變量的泄流量表達(dá)式：

式中，hp為油藏頂與生產(chǎn)井之間的距離（h＜hp）。

隨著蒸汽腔的不斷擴(kuò)展，蒸汽腔的垂向高度不斷增加，假設(shè)其形狀不發(fā)生變化，則累計(jì)泄油量與蒸汽腔單位面積的可流動(dòng)原油及蒸汽腔高度成正比。蒸汽腔的高度（h）如圖2簡化的一微元段蒸汽腔數(shù)學(xué)模型所示。蒸汽腔寬度的表達(dá)式為2b，且b＝c·h，c是與蒸汽腔形狀有關(guān)的常數(shù)。則一微元段的蒸汽腔體積可以表示為：

圖2 SAGD蒸汽腔泄流模型

而一微元段的泄油體積即為儲(chǔ)層中被釋放的孔隙體積：

由式（1）～ （3）可得：

式 （4）僅適用于泄油速率與生產(chǎn)速率一致的情況下。

3 SAGD產(chǎn)量計(jì)算

注汽井內(nèi)注入的蒸汽遵守能量守恒定律??Nukhaev M，Pimenov V，Shandrygin A，et al.A New Analytical Model for the SAGD Production Phase，San Antonio：Texas，2006：24－27.。注入蒸汽冷凝過程中釋放出的熱量，一部分被加熱油層吸取，另一部分則持續(xù)向上透過油層擴(kuò)展演變成另一個(gè)蒸汽腔的邊界。其熱量守恒表達(dá)式為：

被蒸汽腔波及油層所吸收的熱量表達(dá)式為：

蒸汽腔高度和蒸汽腔界面溫度是決定蒸汽腔體積的重要因素。蒸汽腔界面的溫度ΔT表達(dá)式為：

透過油層持續(xù)向上運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展的蒸汽熱量表達(dá)式為：

式中，L為蒸汽冷凝的熱量；P為蒸汽腔的周長；ρc為油藏的體積熱容；u為蒸汽腔邊界的局部速度；ξ為到界面的法線距離。

蒸汽腔上升過程中，因?yàn)榱黧w對流與熱損失的相互作用，所以不會(huì)形成完整的扇形蒸汽腔。圖1所示蒸汽腔為便于計(jì)算的理想數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上并不存在上邊界，因此蒸汽腔上邊界不算在周長內(nèi)。蒸汽腔邊界的推進(jìn)速度就是蒸汽腔高度的增長率（u＝dh／dt），由式（6）可得：

另外，蒸汽腔體積的增加也受到原油產(chǎn)量的影響，原油產(chǎn)量的公式為：

由于預(yù)加熱階段的注入蒸汽熱量和壓力不斷增大，使得油藏的泄油速度增加［1］。因此式（8）與式（3）的泄油量公式有所不同?？偖a(chǎn)量可以表示為：

將式（7）和式（8）帶入到式（9）中，可以得到關(guān)于A的表達(dá)式：

通過式（8）可以得出原油產(chǎn)量與總產(chǎn)量之間的關(guān)系表達(dá)式為：

由式（11）可知，當(dāng)qp與最小產(chǎn)量值qp1的無限接近時(shí)，意味著只生產(chǎn)冷凝液，而且蒸汽冷凝過程中釋放出的熱量被其周圍的油藏吸收。通過qpo的表達(dá)式可以推導(dǎo)出蒸汽腔體積的變化公式：

由式（13）可以總結(jié)出蒸汽腔體積隨時(shí)間推移而不斷增大。蒸汽腔的高度（h）增大到注汽井口與油藏頂端之間高度（hi）時(shí)所需要的時(shí)間為（ti），其計(jì)算公式為：

當(dāng)t＜ti時(shí)，油藏中的對流現(xiàn)象以及溫度變化情況相當(dāng)復(fù)雜。但是，當(dāng)t＞ti時(shí)，可以通過計(jì)算預(yù)測生產(chǎn)井內(nèi)泄入流體的溫度變化規(guī)律［2］。根據(jù)公式（1）和公式（13），可知隨著時(shí)間的變化產(chǎn)液量不斷增加。當(dāng)qm＜qpo時(shí)，產(chǎn)水量始終低于產(chǎn)油量；然而高產(chǎn)時(shí)期（t＞tp）容易產(chǎn)生汽竄現(xiàn)象：

滿足產(chǎn)油量與總產(chǎn)量相等時(shí)的蒸汽腔高度（hs）公式為：

根據(jù)以上分析和計(jì)算公式，給出原油的產(chǎn)量公式：

式中，qλ為蒸汽腔邊界的流體導(dǎo)熱系數(shù)；tf為蒸汽腔高度擴(kuò)大到油藏高度的時(shí)間。

經(jīng)數(shù)值模擬和室內(nèi)試驗(yàn)證明，當(dāng)蒸汽腔高度達(dá)到油藏頂端時(shí)，原油產(chǎn)量開始下降。當(dāng)tf近似等于ts（qp2≈qp1，t≈1）時(shí)，式（16）成立，且原油產(chǎn)量隨tλ推移而下降。

4 結(jié) 論

（1）建立SAGD生產(chǎn)階段的產(chǎn)量數(shù)學(xué)模型，可以更好地解釋泄流量與蒸汽腔演變之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。通過數(shù)學(xué)模型相關(guān)公式，可以計(jì)算不同生產(chǎn)階段由蒸汽冷凝散熱作用而產(chǎn)生的泄流量和油水比值。

（2）該數(shù)學(xué)模型可以預(yù)測蒸汽腔底邊緣接近注汽井的時(shí)間，以及生產(chǎn)井中的泄流流體溫度的遞增變化。早期的汽竄現(xiàn)象發(fā)生在高產(chǎn)時(shí)期，通過該數(shù)學(xué)模型可以預(yù)測SAGD生產(chǎn)后期的汽竄發(fā)生時(shí)間。

［1］郭二鵬，劉尚奇，王曉春，等 .直井與水平井組合的蒸汽輔助重力泄油產(chǎn)量預(yù)測 ［J］.斷塊油氣田，2008，15（3）：71～74.

［2］于九政，劉易將，劉芳 （編譯）.蒸汽輔助重力泄油數(shù)學(xué)模型 ［J］.國外油田工程，2009（3）：13～16.