通弦路徑與上半平面圓及矩形的相交概率

梁靜

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

數(shù)理化研究

通弦路徑與上半平面圓及矩形的相交概率

梁靜

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

在上半平面H中一條通弦SLEk路徑與一個圓心在實軸上的半圓相交概率的基礎(chǔ)上，給出了上半平面中H中一個圓與通弦SLEk路徑相交的概率估計；同時得出上半平面H中一條通弦SLEk路徑與一個矩形相交的概率估計。

SLE；相交概率；吞并時間；限制性質(zhì)

引言

隨機洛納演變（SLE）是由O.Schramm①O.Schramm.Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees，Isral J.Math, 2000,118:221-288.在研究一些統(tǒng)計物理的二維模型中，成功運用并得到嚴(yán)格數(shù)學(xué)結(jié)果的一族一元隨機增長過程。②Steffen Rohde and Oded Schramm.Basic properties of SLE，Ann.of Math,2005,161(2):883-924.中研究了SLE的基本拓?fù)浜蛶缀涡再|(zhì)③V.Beffara.Hausdorff dimensions for SLEk，Ann.Prob,2004,32:2606-2629.，中確定了SLE6曲線外界的Hausdorff維數(shù)，若干年后④V.Beffara.The dimensions of the SLE curves，Ann.Prob,2008,4:1421-1452.，證明了SLE曲線的Hausdorff維數(shù)是更多內(nèi)容請參閱⑤J.Cardy.SLE for theoretical physicists，Ann.Physics,2005,318:81-118.⑥G.F.Law ler.Conformally Invariant Processes in the Plane，American Mathematical Society.RI,2005.G.⑦W.Werner.Random p lanar curves and Schramm-Loewner evolutions，Lectures on probability theory and statistice.,Lecture Notes in Math,1840,pp.107-195,Springer,Berlin,arXiv:math.PR/0303354.⑧I.A.Gruzberg and L.P.Kadanoff.The Loewner equation:maps and shapes，J.Statist.Phys,2004,114:1183-1198.。當(dāng)0≤k≤4，曲線是簡單的，僅在原點與R相交。當(dāng)k≥8，曲線是充滿上半平面H的，因而r[0,∞）∩R=R。[9]中討論了上半平面H中一條通弦SLEk路徑與圓心在實軸上的一個半圓的相交概率，在本文中推導(dǎo)出了上半平面H通弦SLEk路徑與圓周相交的概率，證明了如果01，集合A={x+iy:r≤x≤2r,0≤y≤ε}。那么當(dāng)k< 4時；當(dāng)k=4時

1 預(yù)備知識

在這一節(jié)給出本文涉及到的一些定義、記號以及一些基本事實，更詳細(xì)的請參見文[9][10][14]等。

其中z∈H，Ut=-Bt是B0=0的標(biāo)準(zhǔn)一維布朗運動。對z∈H，令Tz表示通弦洛納方程的第一次爆破時刻，殼Kt={z∈H:Tz≤t}。{K1,t≥0}是H中遞增緊集族，gt是從HKt到H上的一個共形變換。對所有的k>0，存在一條連續(xù)曲線γ:[0,∞）→H且γ(0)=0，使得HKt是Hγ[0,t]的無界連通分支。曲線γ的行為僅與k有關(guān)，如果那么 γ是條簡單曲線且如果(i.e.，4

如果ε>0，z∈C，記B(z;ε)={ω∈C:|z-ω|<ε}表示以z為球心，ε為半徑的球。如果x∈R，那么D((x, rx;ε))=B((x,rx;ε)∩H)={x+irx+ρeiθ：0<θ<2π，0<ρ<ρε}，C((x,rx;ε))=B((x,rx;ε)∩H)={x+irx+εeiθ：0<θ<2π}分別表示上半平面上以(x,rx)為中心，ε為半徑的圓盤和圓周。表示存在非零，有限常數(shù)c1,c2使得此外，g(r)～h(r)表示當(dāng) r→0。

2通弦路徑與上半平面圓周的相交概率

文[9]已討論了通弦SLEk路徑與半圓周相交的概率，在這一節(jié)，我們用類似的方法給出了一條通弦SLEk路徑與上半平面中圓周相交的概率，不同之處在于我們分別考慮上下兩個半圓周與通弦SLEk路徑相交的概率。

定理1：假設(shè)x>0是一個實數(shù)，0

我們要證明定理1，首先需要以下結(jié)果：

命題1：令a(z0)∈(0,π)表示z0的輻角，ε>0，那么，當(dāng)k∈(0,8)，我們有以下估計

當(dāng)k≥8，對所有的ε>0，此概率等于1。

證明：這個命題的證明見[4]。

命題2：設(shè)γ表示當(dāng)k≤4時的一條通弦SLEk路徑，z=reiθ為H中的一點。如果令f(z)=P{z在γ[0，∞）右側(cè)}，那么由僅依賴于θ的尺度性，f(θ)=特別地，當(dāng)時，P{z在 γ[0，∞）右側(cè)

證明：這個命題的證明見[11][12]。

在命題2的基礎(chǔ)上可得到下列引理：

引理1：令z=ρeiθ∈H，f(z)=P{z在γ[0，∞）左側(cè)}，

圖1 圓被以{z±n，n=0,1,…}為圓心的圓盤所覆蓋

圖2 點z=x+i3rx在γ[0，∞）左邊2

定理3：令00，如果γ：[0，∞）→H是從0到∞的一條通弦SLEk路徑，且那么存在一個常數(shù) ca使得

證明：由圖2可清楚看出P{γ[0，∞）∩ C((x,rx）;左邊}，因為 arg(x+i并且因為2sin t≥t對由引理1可得

對0≤t≤1，8arctant≥πt，上式就暗示了存在一個常數(shù)ca，即

對0≤t≤1，8arctant≥πt，上式就暗示了存在一個常數(shù)ca，即使得P{γ

圖3 點左邊

圖4 γ[0，∞）與線段AB相交

定理4：令00，如果γ：[0，∞）→H是從0到∞的通弦SLEk路徑，4

證明：很顯然，如果 γ[0，∞）與線段 AB相交，那么它一定與圓周相交，如圖 4，由

推論1：令x>0是個固定實數(shù)，并且假設(shè)0< ε≤x，如果γ：[0，∞）→H是從0到∞的通弦SLEk路徑，且那么 P{γ[0，∞）∩ C((x,ε）;其中是上半平面中以(x,ε)為圓心為半徑的圓周。

由[6]中定理6.1可得下述命題：

命題3：如果γ：[0，∞）→H是從0到∞的通弦SLEk路徑，且A是H的一個有界子集，使得HA是單連通的，A=H∩A,0A,那么P{γ[0，∞）∩ A=其中ΦA(chǔ):HA→H是HA到H上的唯一共形變換，且ΦA(chǔ)(0)=0,ΦA(chǔ)(z)～z，當(dāng)z→∞。

3通弦路徑與矩形的相交概率

在這一節(jié)，我們將給出上半平面中一條通弦SLEk(k≤4)路徑與一個矩形相交的概率估計。

引理2：令k∈（0,4]，且γ是通弦SLEk路徑，固定r>1，假設(shè)h:[r,∞)→(0,∞)是連續(xù)且滿足下列條件

證明：這個引理的證明見[10]。

在此引理的基礎(chǔ)上可得下列定理：

定理5：令k∈（0,4]，且γ是一條通弦SLEk路徑，固定r>1，h:[r,∞)→(0,∞)是連續(xù)且滿足下列條件：

證明：令ρ:[r,∞)→(0,∞)是一個函數(shù)使得

令x>0且tx：=sup{t≥0:x埸Kt}，那么我們知道tx=∞，如果k≤4；tx<∞，如果k>4。對t∈(0,tx),定義M由（4）可知Z0<∞。因為對每個x>0都是上鞅，從而Zt是一個上鞅。因為（2）中的積分是有限的，可知存在一個有限的使得固定 R>R0，令 A:={x+iy:x≥R,y≤h(x)}，令 TA:＝inf {t≥0:γt∈A}，且在事件TA<∞上令x0:=Reγ(TA),y0= Imγ(TA)。從我們對R的選擇，有由[10]中的引理2.2，對每個x>x0+y0。因而在事件因為Zt是上鞅，由隨機抽樣定理可得Z0≥E

定義X:={x≥r:x∈塬h(x)}，令X)dx，那么由（6）式和[10]的命題2.3，有E(Qa)=1，即從而

由定理2，我們得到：

推論2：令k∈(0,4]，且γ是一條通弦SLEk路徑，固定記A={x+iy:r≤x≤2r,0≤

εy≤ε}。那么當(dāng)k>4時；當(dāng)k=4時

Intersection probabilities for a chordal SLE path and circle and a rectangle in the upper half plane

L IAGN Jing

On the basis of the probability that a chordal SLEkpath in the upper half plane Hintersects a sem icircle on the real line,we derived the probability that a chordal SLEkpath in the upper half plane intersects a circle in the upper half plane H.And we concluded the probability that a chordal SLEkpath in the upper half plane intersects a rectangle in the upper half p lane H.

SLE;intersection probability;swallowing time;restriction property

O177.1，O152.21

A

1009-9530（2013）04-0094-05

2012-09-28

淮南師范學(xué)院科學(xué)研究項目（2011LK78）

梁靜（1981-），女，淮南師范學(xué)院助教，碩士，主要研究方向：隨機洛納發(fā)展。