基于擬合法與Douglas算法的鐵路縱斷面自動設(shè)計(jì)＊

陳燕平

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063)

傳統(tǒng)的手工拉坡有很大的主觀性和局限性。對于長大鐵路線路縱斷面設(shè)計(jì)，為取得理想設(shè)計(jì)成果，即使經(jīng)驗(yàn)豐富的工程師，也需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力。本文采用數(shù)學(xué)算法，依據(jù)地面線對縱斷面進(jìn)行自動設(shè)計(jì)?？捎玫姆椒ㄓ袛M合法，把地面線點(diǎn)看成零散的點(diǎn)，用最小二乘法擬合出這一系列點(diǎn)的函數(shù)［1－2］，還有小波算法［3］。目前小波變換大都用于信號去噪方面［4］，遺傳算法［5－7］以及 Douglas壓縮算法，此前，該算法多用于數(shù)據(jù)壓縮，本文將Douglas算法改進(jìn)后應(yīng)用于縱斷面自動設(shè)計(jì)中。

1 擬合法

1.1 原理與步驟

本文采用最小二乘法對地面線進(jìn)行擬合，擬合法生成縱斷面坡度線主要分以下4步進(jìn)行:

(1)根據(jù)最小二乘法原理，對地面線進(jìn)行擬合，生成總體的擬合曲線;

(2)求擬合曲線的三階導(dǎo)數(shù)，在三階導(dǎo)數(shù)為0處對擬合曲線進(jìn)行分段;

(3)逐段對擬合曲線進(jìn)行一元線性回歸，生成初步的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù);

(4)根據(jù)最大坡度、最大坡長、最小坡度等規(guī)范參數(shù)的約束條件，對設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。

1.2 最小二乘法

把地面線看成一系列離散的點(diǎn)，縱斷面自動設(shè)計(jì)的目的就是要采用數(shù)學(xué)方法將這組離散的點(diǎn)擬合成誤差盡可能小的光滑曲線。

當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足上式最小值的稱為最小二乘法擬合多項(xiàng)式。

式(1)為 a0，a1，a2…an的多元函數(shù)，因此上述問題轉(zhuǎn)化為求 I=I(a0，a1，a2，…，an)的極值問題，由多元函數(shù)求極值必要條件，得:

上式是關(guān)于 a0，a1，a2，…，an的線性方程，用矩陣表示為:

上列矩陣是正規(guī)方程組。該矩陣是1個(gè)對稱正定矩陣，故存在唯一解，可以根據(jù)矩陣解出唯一解ak(k=0，1，…，n)，從而多項(xiàng)式各系數(shù)與多項(xiàng)式本身可求出。

1.3 擬合線分段

擬合曲線連續(xù)可導(dǎo)，由函數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的特性，可知擬合曲線三階導(dǎo)數(shù)為0處的點(diǎn)即為曲線的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)最能反映地面線點(diǎn)的趨勢，因此，變坡點(diǎn)也在此位置為宜。本文采用非線性方程實(shí)根的對分法求曲線三階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不斷地縮小搜尋區(qū)間范圍以求得拐點(diǎn)。具體實(shí)現(xiàn)如下。

從端點(diǎn)x0=a開始，以h為步長，逐步進(jìn)行搜索，f(xi)為xi處的三階導(dǎo)數(shù);

對于每一個(gè)子區(qū)間［xi，xi+1］，其中xi+1=xi+h，若f(xi)=0，則xi為1個(gè)實(shí)根，且從xi+h/2開始再往后搜索;若f(xi+1)=0，則xi+1為1個(gè)實(shí)根，且從xi+1+h/2開始再往后搜索;若f(xi)f(xi+1)＞0，則說明當(dāng)前子區(qū)間內(nèi)無實(shí)根，從xi+1開始向后搜索;若f(xi)f(xi+1)＜0，則說明當(dāng)前子區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，然后，反復(fù)將該子區(qū)間減半，直到找到1個(gè)實(shí)根或子區(qū)間長度小于限定值為止，該限定值可以預(yù)先人為給定。以上過程一直進(jìn)行，直到區(qū)間右端點(diǎn)為止。

1.4 分段線性回歸

分段完后，將每一段分隔開來，進(jìn)行一元線性回歸，得出這個(gè)區(qū)段內(nèi)擬合最好的設(shè)計(jì)坡度線。線性回歸的方法與前面的相同，是多項(xiàng)式擬合的簡化，變求多項(xiàng)式為求二項(xiàng)式，即給定n個(gè)地面線點(diǎn)(xi，yi)(i=0，1，…，n－1)，用直線 y=ax+b作回歸分析(其中a和b為回歸系數(shù))，通過計(jì)算可求出回歸系數(shù)。

1.5 設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)修正

對于生成的初步縱斷面，需要根據(jù)鐵路縱斷面坡長、坡度、坡差等約束條件予以調(diào)整，使縱斷面坡度、坡長等各方面都符合《規(guī)范》的要求，并生成豎曲線與出圖。調(diào)整主要按縱斷面設(shè)計(jì)坡長必須大于最小坡長、設(shè)計(jì)坡度必須小于限制坡度，以及設(shè)計(jì)坡度差必須滿足規(guī)范等要求進(jìn)行。

2 Douglas壓縮算法

2.1 基本原理

Douglas－Peucker算法由Douglas和 Peucker于1973年提出，是目前公認(rèn)的線狀要素化簡經(jīng)典算法。主要應(yīng)用于信號［8］、軌跡［9］和森林研究［10］。算法基本原理是找出不規(guī)則曲線上最能代表曲線輪廓的點(diǎn)集。步驟如下:

(1)將曲線的首尾2 點(diǎn) (x0，y0)，(x6，y6)連成一條直線，如圖1所示。直線 (x0，y0)，(x6，y6)的表達(dá)式為Ax+By+C=0。其中:A=y6－y0;B=x0－x6;C=(y0－y6)x6－y0(x0－x6)。

(3)找出最大的Dmax與閾值D0比較，若D0＞Dmax，則刪除整條線的點(diǎn)，僅保留首尾，否則，保留Dmax，以Dmax為特征點(diǎn)，將整條曲線分成2段，重復(fù)步驟(1)和(2)，迭代操作，直至無點(diǎn)可舍去為止，即完成線的化簡，如圖1所示。

圖1 Douglas壓縮算法前后示意圖Fig.1 Pre－and post－ treatment performance of Douglas algorithm

2.2 設(shè)計(jì)步驟

對于已給定地面線點(diǎn)的鐵路縱斷面自動設(shè)計(jì)，相當(dāng)于對曲線進(jìn)行化簡，找出最能反映地勢起伏的特征點(diǎn)，道格拉斯算法尤其適合，但鐵路縱斷面的設(shè)計(jì)需要考慮諸多外界因素，即在道格拉斯算法的基礎(chǔ)上附加約束條件。本論文中Douglas的運(yùn)算流程分為3根主線。

第1條主線:根據(jù)參數(shù)表確定限制坡度MaxSlope、最小坡長MinLength以及最大坡度差MaxSlopeDif，這些分別構(gòu)成道格拉斯算法的閾值。

第2條主線:讀取鐵路方案數(shù)據(jù)庫的斷鏈線表，判斷是否有斷鏈存在，若存在斷鏈，則在地面上中減去相應(yīng)的斷鏈值，再代入運(yùn)算，在出圖的時(shí)候，再恢復(fù)斷鏈值進(jìn)行出圖。

第3條主線:將地面線點(diǎn)代入道格拉斯計(jì)算，分別以MaxSlope，MinLenth以及MaxSlopeDif為規(guī)范中最大坡度、最小坡長和最大坡度代數(shù)差的閾。詳述為以下步驟:

(1)讀取全線地面線表，計(jì)算每相鄰2個(gè)地面線點(diǎn)之間的距離Length(i)與高差之比，比值記為Grad(i)。若Grad(i)＞MaxSlope，或Length(i)＜MinLength，則刪除點(diǎn)i，否則保留點(diǎn)i為變坡點(diǎn)。

(2)經(jīng)過1步驟后，得到變坡點(diǎn)的點(diǎn)集 SlopeList。

(3)比較各變坡點(diǎn)處坡度差與MaxSlopeDif，若坡度差大于MaxSlopeDif，，則調(diào)整該變坡點(diǎn)處坡度差直至小于MaxSlopeDif。

綜上所述，縱斷面自動設(shè)計(jì)邏輯圖如圖2所示。

圖2 Douglas壓縮算法邏輯圖Fig.2 Logical chart of Douglas algorithm

3 自動設(shè)計(jì)結(jié)果

將以上2種算法應(yīng)用于金溫鐵路的縱斷面設(shè)計(jì)中，壓縮法得出各變坡點(diǎn)數(shù)據(jù)如圖3所示。

縱斷面設(shè)計(jì)圖如圖4所示。

4 工程數(shù)量對比

以工程造價(jià)來評估自動設(shè)計(jì)算法的優(yōu)劣.造價(jià)綜合評估依據(jù)主要是線位長度、橋隧分布情況與土石方數(shù)量。鑒于土石方及土質(zhì)匹配情況復(fù)雜，本文只考慮了填挖方的數(shù)量，沒有考慮運(yùn)距。橋梁、隧道是按最大填、挖高度來確定，進(jìn)行自動設(shè)置。

圖5所示的“指標(biāo)”是綜合指標(biāo)，采用的是多條線路的經(jīng)驗(yàn)值或估算定額。擬合法和Douglas壓縮算法所得線路方案的工程造價(jià)分別如圖5和圖6所示。

對比圖5和圖6可以看出:采用壓縮算法的土石方量、橋梁長度均小于采用擬合法得出的數(shù)量，但采用擬合法自動設(shè)計(jì)的隧道長度略短，不同的縱斷面設(shè)計(jì)方法，工程造價(jià)差別達(dá)2億元。

圖3 坡度表(初步結(jié)果)Fig.3 The slope list of vertical section

圖4 縱斷面自動設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.4 Result of railway vertical section automatic design

圖5 基于擬合法線路方案的工程造價(jià)Fig.5 Project cost with fitting process

圖6 基于Douglas壓縮算法線路方案的工程造價(jià)Fig.6 Project cost with Douglas algorithm

5 結(jié)論

本文研究了縱斷面自動設(shè)計(jì)的兩種算法，并綜合考慮了規(guī)范設(shè)計(jì)的需求，兩種算法都能初步實(shí)現(xiàn)縱斷面自動設(shè)計(jì)的目的。經(jīng)工程實(shí)例及其造價(jià)比較，2種方法各有利弊，具體表現(xiàn)在:

(1)擬合法對于山區(qū)地形，即地形變化快的地區(qū)，拉坡結(jié)果不很理想，因?yàn)榈孛娓叱套兓型蛔?，可能?dǎo)致擬合曲線不連續(xù)，建議這種地區(qū)采用Douglas算法進(jìn)行自動設(shè)計(jì)。

(2)多個(gè)實(shí)際線路比較結(jié)果可知，Douglas壓縮算法工程造價(jià)較低，但基于該算法的線路變坡點(diǎn)都在地面線上，不一定是最佳線路方案。

(3)本文旨在對鐵路線路縱斷面自動設(shè)計(jì)做理論上的初步探索研究，未考慮橋、隧、站等具體工程構(gòu)造物的影響。

［1］Goryainov V B，Least－modules estimates for spatial autoregression coefficients［J］.Journal of Computer and Systems Sciences International，2011，50(4):565－572.

［2］Forbes A B，Parameter estimation based on least squares methods.modeling and simulation in science［J］.Engineering and Technology，2009;1 －30.

［3］Park S H，Kim S D，Wavelet transform analysis of pressure fluctuation signals in a three－phase fluidized bed［J］.Korean Journal of Chemical Engineering，2001，18(6):1015－1019.

［4］Minamoto T，Aoki K，Yoshihara M.A blind image wavelet－ based watermarking using interval arithmetic［J］.Communications in Computer and Information Science，2009，61:1 －8.

［5］GAO Hua.Highway route optimization based on genetic algorithms and multiobjective optimization problem［C］//ICETCE＇12 Proceedings of the 2012 Second International Conference on Electric Technology and Civil Engineering.2012:1469－1472.

［6］高 華.基于遺傳算法和多目標(biāo)決策體系的公路選線整體優(yōu)化［D］.長沙:中南大學(xué)，2007.GAO Hua.Highway route overall optimization based on genetic algorithms and multiobjective optimization problem［D］.Changsha:Centrel South University，2007.

［7］Baker J.Adaptive selection methods for genetic algorithms［M］.Gerferstette，1989.

［8］Gong W，Mao F Y，Song S L，Signal simplification and cloud detection with an improved Douglas－Peucker algorithm for single－channel lidar［J］.Meteorology and Atmospheric Physics，2011，113(1/2):89 －97.

［9］WU Y，Pelot R，Comparison of simplifying line algorithms for recreational boating trajectory dedensification［J］.Lecture Notes in Geoinformation and Cartography，2007，321 －334.

［10］Tachiki Y，Yoshimura T，Hasegawa H，et al.Effects of polyline simplification of dynamic GPS data under forest canopy on area and perimeter estimations［J］.Journal of Forest Research，2005，10(6):419 －427.