拓?fù)淦綆系姆謹(jǐn)?shù)量子反常霍爾效應(yīng)(一)*

王一飛，龔昌德，2

(1.浙江師范大學(xué)海峽兩岸統(tǒng)計物理與凝聚態(tài)理論研究中心，浙江金華 321004;2.南京大學(xué)固體微結(jié)構(gòu)國家重點實驗室，江蘇南京 210093)

本文是該綜述介紹的第1部分，主要內(nèi)容為:領(lǐng)域概況;模型哈密頓量與拓?fù)淦綆?玻色子分?jǐn)?shù)量子反?；魻栃?yīng);非阿貝爾型量子反常霍爾效應(yīng).

1 領(lǐng)域概況

量子霍爾效應(yīng)(QHE)是凝聚態(tài)物理中的重要研究領(lǐng)域之一.1980年整數(shù)量子霍爾效應(yīng)(IQHE)實驗［1］、1982年分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)(FQHE)實驗［2］及1983年分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)理論［3］都獲得過物理學(xué)諾貝爾獎.時至今日，量子霍爾效應(yīng)，尤其是考慮強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)［3-8］，依然是凝聚態(tài)物理最前沿、最熱門的研究領(lǐng)域之一.迄今為止，只有在強(qiáng)磁場與極低溫下的二維電子氣(半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)和最近的單層石墨烯)中觀測到該效應(yīng)［2］.1983年，Laughlin［3］提出的波函數(shù)被認(rèn)為是對這類朗道能級上連續(xù)型分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的最好理論描述.1988年，凝聚態(tài)物理領(lǐng)域領(lǐng)軍人物Haldane［9］提出了一個時間反演對稱破缺的晶格模型.Haldane模型定義在二維蜂窩(honeycomb)晶格中，其兩支能帶具有拓?fù)湫再|(zhì)，當(dāng)?shù)湍軒П浑娮诱麛?shù)完全填充、高能帶完全未占據(jù)時，得到晶格型的、無朗道能級的整數(shù)量子霍爾態(tài).該量子反?；魻?quantum anomalous Hall，簡稱QAH)態(tài)由非零的陳數(shù)(Chern number)［10］C=±1來標(biāo)記，而常規(guī)的絕緣態(tài)的陳數(shù)C=0.這些態(tài)之間的相變是典型的拓?fù)淞孔酉嘧?Haldane模型作為拓?fù)浣^緣體的原始能帶模型，其應(yīng)用已經(jīng)拓展到量子自旋霍爾效應(yīng)、單層石墨烯、三維拓?fù)浣^緣體、量子自旋液體、光晶格人工規(guī)范場、光子晶體單向波導(dǎo)等多個前沿領(lǐng)域.最近在國際凝聚態(tài)物理學(xué)界引起了極大關(guān)注，拓?fù)淠軒е械膹?qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)更是成了備受關(guān)注的重要問題，可以期待無朗道能級的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng).但由于Haldane模型中能譜的高度色散，引入粒子間相互作用并使粒子分?jǐn)?shù)填充能帶后，并沒有相應(yīng)的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng).

最近，通過對拓?fù)淦綆В?1-13］上強(qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用的費米子和玻色子晶格體系的系統(tǒng)數(shù)值進(jìn)行研究，包括筆者在內(nèi)的幾個研究組共同發(fā)現(xiàn)了一類新奇的阿貝爾型分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)［14-16］和非阿貝爾型量子霍爾效應(yīng)［17-19］.拓?fù)淦綆Ｐ停?1-13］屬于Haldane模型的擴(kuò)展版本，至少有一個能帶具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)，即有非零的陳數(shù)(Chern number)C=1;而且該能帶的帶寬很窄，且與其他能帶間有較大能隙.新發(fā)現(xiàn)的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)［14-19］不同于傳統(tǒng)朗道能級上的連續(xù)型分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，無須均勻強(qiáng)磁場，有較大特征能隙，可在較高溫度下存在，不能用常規(guī)Laughlin波函數(shù)描述［14-23］.在環(huán)面形結(jié)構(gòu)上，該分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)有奇數(shù)或偶數(shù)個準(zhǔn)簡并的基態(tài).這些基態(tài)與高能激發(fā)態(tài)之間有較大的能隙.其中我們發(fā)現(xiàn)的玻色子體系晶格型的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)［15，17］，不同于常規(guī)電子的費米子體系，可以看作等效自旋模型中的手征自旋態(tài).該手征自旋態(tài)的概念于1987年、1989年分別被文獻(xiàn)［24］與文獻(xiàn)［25］提出，但是長期以來沒有現(xiàn)實的模型來實現(xiàn).最近的研究給出了該手征自旋態(tài)存在于拓?fù)淦綆Ｐ椭械臄?shù)值證據(jù).拓?fù)淦綆系姆前⒇悹栃土孔踊魻栃?yīng)［17-19］與著名的Moore-Read態(tài)［7］有類似的拓?fù)湫再|(zhì).該效應(yīng)相比于阿貝爾型分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，有更加奇特的性質(zhì)，比如基態(tài)的異常拓?fù)浜啿⒍纫约爱惓７謹(jǐn)?shù)統(tǒng)計，有可能應(yīng)用于未來的拓?fù)淞孔佑嬎?這些研究工作也為在冷原子光晶格體系中觀測非阿貝爾型量子霍爾效應(yīng)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)計提供了新的途徑.這些無朗道能級的分?jǐn)?shù)化現(xiàn)象，定義了一類新的分?jǐn)?shù)拓?fù)湎啵蚍Q為分?jǐn)?shù)陳絕緣體(fractional Chern insulator，簡稱FCI)，其中的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)也稱為分?jǐn)?shù)量子反?；魻?fractional quantum anomalous Hall，簡稱 FQAH)效應(yīng).

該領(lǐng)域在近期引起了國際凝聚態(tài)物理學(xué)界的研究熱情與廣泛關(guān)注.一些新的研究手段，例如基于Wannier表象的模型波函數(shù)和贗勢法［20-21］、投影密度算符代數(shù)［22-23］、部分子(parton)波函數(shù)構(gòu)造［26-27］等方法被快速發(fā)展起來，以進(jìn)一步理解這些分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)(FCI/FQAH).多個研究組提出了其他的拓?fù)淦綆Ｐ鸵约安牧蠈崿F(xiàn)方案［28-39］.最近的系統(tǒng)數(shù)值研究又發(fā)現(xiàn)了高陳數(shù)(C≥2)拓?fù)淦綆系姆謹(jǐn)?shù)量子反常霍爾態(tài)［40-42］(這些FCI/FQAH態(tài)沒有朗道能級上的直接對應(yīng)).

2 模型哈密頓量與拓?fù)淦綆?/h2>

圖1所示為2個典型拓?fù)淦綆Ｐ?，箭頭表示次近鄰或最近鄰跳躍積分中相位±φ的符號.對于棋盤格子，沿實線(短虛線)的次近鄰跳躍積分為t'，次次近鄰跳躍積分由長虛線表示.

圖1 典型拓?fù)淦綆Ｐ?/p>

蜂窩(HC)格子上填充相互左右硬核玻色子的Haldane模型為

另一個模型類似于Haldane模型，定義在棋盤(checkerboard，簡稱CB)格子上［12］:

在數(shù)值嚴(yán)格對角化(ED)研究中，考慮有N1×N2個元胞的有限格子(格點總數(shù)為NS=2×N1×N2)，格子基矢如圖1所示.采用周期性邊界條件(PBC)，利用晶格的平移對稱性，Hilbert空間尺寸大約縮小為原來的1/(N1N2).記玻色子數(shù)為Nb，拓?fù)淦綆系奶畛鋽?shù)為υ=Nb/(N1N2)，|t|作為能量單位.

拓?fù)淦綆Ｐ停?1-13］屬于Haldane模型的擴(kuò)展版本，至少有一個能帶具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)，即有非零的陳數(shù)(Chern number)C=1;而且該能帶的帶寬很窄，且與其他能帶間有較大能隙.對于蜂窩格子Haldane模型，如果只允許最近鄰和次近鄰跳躍積分，平坦率(flatness ratio)至多只有7［13］;如果允許次次近鄰跳躍積分，則可以通過在參數(shù)空間的數(shù)值搜索，發(fā)現(xiàn)一大類具有非零陳數(shù)的拓?fù)淦綆?例如平坦率為50 的拓?fù)淦綆У膮?shù)如下［15］:t=1，t'=0.60，t″=-0.58，φ =0.4π .對于棋盤格子，可以得到平坦率為30的拓?fù)淦綆В?2］，采用參數(shù)如

圖2為蜂窩格子Haldane模型的典型拓?fù)淦綆В?5］，分別用細(xì)線與粗線表示圓柱幾何結(jié)構(gòu)上能帶的體態(tài)與邊界態(tài).

圖2 蜂窩格子Haldane模型的典型拓?fù)淦綆В?5］

3 玻色子分?jǐn)?shù)量子反?；魻栃?yīng)

我們研究了拓?fù)淦綆蠌?qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用的玻色子體系［15］，并發(fā)現(xiàn)了一類新奇的晶格型的FQHE:1/2玻色型FQHE、1/4玻色型FQHE.圖3為1/2玻色子填充的量子相圖［15］，F(xiàn)QHE、SF、SS1/SS2分別表示分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)、超流相、超固體相.該類效應(yīng)不同于傳統(tǒng)朗道能級上的連續(xù)型FQHE，無須均勻強(qiáng)磁場，有較大特征能隙，可在較高溫度下存在，不能用常規(guī)Laughlin波函數(shù)描述.基于對著名的Haldane模型的擴(kuò)展，提出一個典型的拓?fù)淦綆Ｐ停?5］.在拓?fù)淦綆Ｐ椭?，考慮短程相互作用的硬核玻色子體系，通過大量數(shù)值計算和系統(tǒng)理論分析，發(fā)現(xiàn)了晶格型FQHE的有力證據(jù).在環(huán)面形結(jié)構(gòu)上，該分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)有偶數(shù)個準(zhǔn)簡并的基態(tài);這些準(zhǔn)簡并基態(tài)共享一個量子化的陳數(shù);這些基態(tài)與高能激發(fā)態(tài)之間有較大的能隙.同時文獻(xiàn)［15］給出了拓?fù)淦綆习霛M填充的量子相圖，并闡明了從分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)到其他對稱破缺相的量子相變.該玻色子體系晶格型的FQHE，來源于硬核玻色子的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)(不同于常規(guī)電子或費米子體系中的庫侖相互作用)，可以看作等效自旋模型中的手征自旋態(tài).該手征自旋態(tài)的概念于1987年、1989年分別被文獻(xiàn)［24］與文獻(xiàn)［25］提出，但是長期以來沒有現(xiàn)實的模型來實現(xiàn).而筆者的研究將從另一方面給出該手征自旋態(tài)存在于拓?fù)淦綆Ｐ椭械臄?shù)值證據(jù).

圖3 1/2玻色子填充的量子相圖［15］

1)υ=1/2填充的相圖.首先看一下2個24格點(2×4×3)的格子在υ=1/2填充的能隙，見圖3(a)和圖3(b).E1，E2，E3表示3個最低能量本征態(tài).對于圖3(a)和圖3(b)的V1-V2參數(shù)空間中左下角的υ=1/2 FQHE相，有一個兩重準(zhǔn)簡并的基態(tài)組(ground-state manifold，簡稱GSM).此基態(tài)組與較高本征態(tài)之間有較大能隙E3-E2?E2-E1.其他區(qū)域大致標(biāo)出了可能的超流相(SF)，超固體相(SS1/SS2)以及固體相.我們也從較大的32(2×4×4)、36(2×6×3)、40(2×4×5)格點的格子上得到大量數(shù)值結(jié)果(關(guān)于FQHE部分結(jié)果見圖4)，驗證此相圖在定性上是大致正確的.

圖4 1/2-FQHE能隙隨格點數(shù)的變化［15］

2)最低能譜和能隙.動量矢量標(biāo)記為q=(2πk1/N1，2πk2/N2)，其中(k1，k2)是整數(shù)量子數(shù).定義準(zhǔn)簡并的基態(tài)組為一組與高能激發(fā)態(tài)之間有較大穩(wěn)定能隙的最低能量態(tài).對于1/2分?jǐn)?shù)量子反常霍爾效應(yīng)，基態(tài)組中有2個準(zhǔn)簡并的基態(tài).如果(k1，k2)是基態(tài)組中1個基態(tài)的動量分區(qū)，那么另一個基態(tài)必定在動量分區(qū)(k1+Nb，k2+Nb［mod(N1，N2)］)中.對于 Ns=24，36，40 格點，υ =1/2 FCI/FQAH 相的 2 個準(zhǔn)簡并基態(tài)在2個不同動量分區(qū):對于Ns=24和Ns=40格子，準(zhǔn)簡并基態(tài)在(0，0)，(2，0)分區(qū);對于Ns=36格子，準(zhǔn)簡并基態(tài)在(0，0)和(3，0)分區(qū).而對于Ns=32格點，因為Nb/N1和Nb/N2都是整數(shù)，因此，2個準(zhǔn)簡并的基態(tài)都在(0，0)動量分區(qū).圖5為基態(tài)組拓?fù)溲莼cBerry曲率，圖5(a)和(b)為固定θ2=0，υ=1/2填充的蜂窩格子的最低能譜隨θ1的演化;圖5(c)為Ns=32格點蜂窩格子，10×10邊界相位網(wǎng)格上的 Berry曲率 F(θ1，θ2)Δθ1Δθ2/(2π).

圖5 基態(tài)組拓?fù)溲莼cBerry曲率

3)Berry曲率和多體陳數(shù)計算.在周期性邊界條件的2個方向引入邊界相位θ1和θ2，量子多體態(tài)的陳數(shù)［10］(相應(yīng)的Berry相位2πC)由邊界相位空間的積分得到［43-44］:

對于Ns=24，36，40格子，準(zhǔn)簡并基態(tài)組中的2個基態(tài)處于不同動量分區(qū)，當(dāng)調(diào)節(jié)邊界相位時，2個基態(tài)相互演化并能級交叉，但與低能激發(fā)態(tài)之間一直保持較大的特征能隙，見圖5(a).而對于Ns=32格子，準(zhǔn)簡并基態(tài)組中的2個基態(tài)都在(0，0)動量分區(qū);當(dāng)調(diào)節(jié)邊界相位時，每個基態(tài)演化到自身而避免了能級交叉，見圖5(b).對于2個基態(tài)處于不同動量分區(qū)的情形，數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)每個基態(tài)幾乎精確貢獻(xiàn)了π的Berry相位，即總的陳數(shù)為C=1，見圖5(c)，平均每個基態(tài)有1/2的分?jǐn)?shù)化陳數(shù).而對于2個基態(tài)處于相同動量分區(qū)的情形，數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)其中1個基態(tài)貢獻(xiàn)了2π的Berry相位，另一個貢獻(xiàn)的Berry相為零，而總的陳數(shù)也為C=1，平均每個基態(tài)分到1/2的分?jǐn)?shù)化陳數(shù).

4)υ=1/4分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài).對于棋盤格子，我們也發(fā)現(xiàn)了υ=1/4填充的分?jǐn)?shù)量子反常霍爾態(tài).與υ=1/2分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)不同，υ=1/4分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)需要有限大小的最近鄰或次近鄰相互作用V1或V2.筆者給出一些Ns=40格點的結(jié)果，見圖6(a)，每個基態(tài)組由4個準(zhǔn)簡并基態(tài)組成.4個基態(tài)處于不同動量分區(qū)，當(dāng)調(diào)節(jié)邊界相位時，4個基態(tài)相互演化并能級交叉，但與低能激發(fā)態(tài)之間一直保持較大的特征能隙，見圖6(b).對于4個基態(tài)處于不同動量分區(qū)的情形，數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)每個基態(tài)幾乎精確貢獻(xiàn)了π/2的Berry相位，即總的陳數(shù)為C=1，平均每個基態(tài)分到1/4的分?jǐn)?shù)化陳數(shù).

圖6 棋盤格子上的υ=1/4分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)

4 非阿貝爾型量子反?；魻栃?yīng)

近期，對于具有拓?fù)淦綆У臄U(kuò)展Haldane模型［15］，筆者研究了在其中填充強(qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用的三體硬核玻色子(three-body hard-core boson)，發(fā)現(xiàn)了拓?fù)淦綆系姆前⒇悹栃?non-Abelian)量子霍爾效應(yīng)［17］.該晶格型的非阿貝爾量子霍爾效應(yīng)有著特征的三重基態(tài)拓?fù)浜啿⒍?、量子化的陳?shù)、較大的特征能隙、特征的準(zhǔn)空穴激發(fā)譜、拓?fù)浜啿⒍鹊牧Ｗ訑?shù)奇偶效應(yīng).筆者發(fā)現(xiàn)的玻色子非阿貝爾量子霍爾效應(yīng)與朗道能級5/2填充的Moore-Read態(tài)［7-8］有類似的拓?fù)湫再|(zhì).相比而言，二維電子氣中的費米型的Moore-Read態(tài)的圖像至今還沒有完全確立，數(shù)值計算和理論分析之間仍有一些分歧和爭議.筆者的精確數(shù)值結(jié)果預(yù)言了玻色子非阿貝爾量子霍爾態(tài)存在于拓?fù)淦綆е?，而且給出了其拓?fù)浜啿⒍?、拓?fù)浞€(wěn)定性和分?jǐn)?shù)統(tǒng)計的關(guān)鍵確鑿證據(jù).該效應(yīng)相比于阿貝爾型FQHE有更加奇特的性質(zhì)，比如基態(tài)的異常拓?fù)浜啿⒍燃爱惓７謹(jǐn)?shù)統(tǒng)計，有可能應(yīng)用于未來的拓?fù)淞孔佑嬎?本研究工作為在冷原子光晶格體系中觀測非阿貝爾型量子霍爾效應(yīng)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)計提供了新的途徑.鑒于玻色自由度到自旋自由度的映射，這個發(fā)現(xiàn)也給出了一種新型非阿貝爾手征自旋態(tài)的令人信服的證據(jù).

1)三體硬核玻色子模型.筆者研究相互作用玻色子的拓?fù)淦綆aldane模型［9，15］:

2)U-V參數(shù)空間相圖.首先看一下Ns=20格點數(shù)的格子在υ=1填充的能隙圖，如圖7所示，此處E1，E2，E3，E4表示最低的4 個能量本征值.從3 個能隙(E4-E3，E2-E1，E3-E2)圖中可以獲得相當(dāng)豐富的關(guān)于可能量子態(tài)和相圖的信息.對于υ=1非阿貝爾量子反常霍爾態(tài)(NA-QHE)，2個必要條件為:有1個3重準(zhǔn)簡并的基態(tài)組(GSM)(E3-E1～0)，而且與高能量本征態(tài)間有一個較大的能隙E4-E3?E3-E1.由圖7可以看出，這2個條件在U-V空間的左下角區(qū)域同時滿足.右下角區(qū)域的特征是較大的E2-E1能隙，而較小E3-E2的能隙是一種可能的整數(shù)量子霍爾態(tài)(標(biāo)記為QHE*，隨后將進(jìn)一步討論).而對于上面的較大V的區(qū)域，能量差E2-E1幾乎消失，而出現(xiàn)了一個較大E3-E2的能隙，暗示著2重準(zhǔn)簡并基態(tài);這些特征和雙子格固體序一致;進(jìn)而，調(diào)節(jié)邊界相位時，2個低能態(tài)演化到較高能譜，表明其在“固體”特征外的“金屬”特征，我們稱該相為超固體相(SS).對于較大的Ns=24格子，我們也得到了較一致的結(jié)果.

圖7 U-V參數(shù)空間的能隙圖

3)最低能譜和能隙.筆者在Ns=20，24，28的格子中都觀測到非阿貝爾量子反常霍爾態(tài)的三重準(zhǔn)簡并基態(tài)組，而且特征能隙E4-E3都比較大.對于我們研究的3個尺寸，3重準(zhǔn)簡并基態(tài)組中有2個(能量非常接近)基態(tài)處于(k1，k2)=(0，0)動量分區(qū).對于格點數(shù)為Ns=28的格子，用動量劃分的Hilbert子空間大小約為7×108(基本上是目前ED方法的極限)，具體見圖8.

4)Berry曲率和多體陳數(shù).對于非阿貝爾量子反?；魻栂啵訬s=24為例，當(dāng)調(diào)節(jié)邊界相位角時，3個準(zhǔn)簡并基態(tài)保持準(zhǔn)簡并特征并與其他低能激發(fā)能譜間保持較大特征能隙，表明該相的拓?fù)浞€(wěn)定性，見圖9(a).而且，非阿貝爾量子反常霍爾相的三重準(zhǔn)簡并基態(tài)組共享一個陳數(shù)C=3.例如，對于Ns=20的格子，有2個基態(tài)在(0，0)動量分區(qū)，貢獻(xiàn)了4π的Berry相位，見圖10(a);另一個處于(1，0)動量分區(qū)的基態(tài)貢獻(xiàn)了2π的Berry相位，見圖10(b.因此，該三重準(zhǔn)簡并基態(tài)組共享了C=3的陳數(shù).對于可能的整數(shù)量子霍爾相QHE*，當(dāng)調(diào)節(jié)邊界相位角時，其非簡并單重基態(tài)與其他低能激發(fā)保持較大特征能隙，見圖9(b)，Ns=20的格子情形(圖10(c))給出了量子化的陳數(shù)C=1.另一方面，對于超固體相，當(dāng)調(diào)節(jié)邊界相位角時，初始基態(tài)組的兩重準(zhǔn)簡并性立刻被破壞，2個基態(tài)演化到高能激發(fā)態(tài)中.由于沒有良好地定義拓?fù)浞€(wěn)定能隙，故該相沒有良好定義的陳數(shù)，表明其具有超固體相的“金屬”特性，見圖9(c).

圖8 NA-QHE相中最低能譜與能隙標(biāo)度

圖9 最低能譜隨θ1的演化(固定θ2=0，格子Ns=24，填充數(shù)υ=1)

圖 10 邊界相位網(wǎng)格上的 Berry 曲率 F(θ1，θ2)Δθ1Δθ2/(2π)(Ns=20)

5)準(zhǔn)空穴分?jǐn)?shù)統(tǒng)計.為了探討非阿貝爾量子反?；魻枒B(tài)中可能的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計，考慮從υ=1填充情形拿出一個玻色子來研究準(zhǔn)空穴激發(fā)譜，期待形成2個攜帶1/2分?jǐn)?shù)電荷的準(zhǔn)空穴［7-8］.如圖11(a)所示，對于Ns=24格子的典型非阿貝爾量子反?；魻枒B(tài)，準(zhǔn)空穴譜顯示出清晰的能隙，將每個動量分區(qū)中的少數(shù)幾個低能態(tài)和高能激發(fā)譜分開.對于每個動量分區(qū)，通過調(diào)節(jié)邊界相位角，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)空穴激發(fā)譜之上的特征能隙是拓?fù)浞€(wěn)定的，見圖11.將12個動量分區(qū)的準(zhǔn)空穴激發(fā)態(tài)數(shù)目求和，得到總計72個準(zhǔn)空穴態(tài).類似地，對于Ns=20格子(玻色子數(shù)Nb=9)，每個動量分區(qū)有5個準(zhǔn)空穴態(tài)，10個動量分區(qū)給出總計50個準(zhǔn)空穴態(tài).

圖11 NA-QHE相中的準(zhǔn)空穴激發(fā)譜

圖12 單粒子軌道上的分布構(gòu)型(root configuration)

非阿貝爾量子反?；魻栂嘀械臏?zhǔn)空穴態(tài)的計數(shù)可以由廣義Pauli不相容原理給出［16，45］.使用拓?fù)淦綆У腤annier表象［20-21］，形成Norb=Ns/2個周期性的單粒子軌道.現(xiàn)在以Norb=12為例.2個連續(xù)的軌道中玻色子占據(jù)數(shù)不超過2個，廣義Pauli不相容原理［16，45］給出如下3個基態(tài)分布構(gòu)型|nλ1，nλ2，…，(c).現(xiàn)在來計數(shù)有多少種方式從3個基態(tài)構(gòu)型(02)，(20)，(11)中取出1個玻色子?雙準(zhǔn)空穴態(tài)的玻色子占據(jù)構(gòu)型應(yīng)當(dāng)是2個基態(tài)構(gòu)型的混合，形成2個疇壁，每個疇壁表示1/2的分?jǐn)?shù)電荷［45］.簡單的分析，給出了6類有奇數(shù)個1的構(gòu)型以及|0|，見圖12(d)～(f)，其中2個疇壁(準(zhǔn)空穴)由2條豎線|表示.考慮上述6個構(gòu)型的12次平移，最終得到總計72(一般而言為/2)個雙準(zhǔn)空穴態(tài)，該計數(shù)和數(shù)值計算結(jié)果完全吻合.

本文是該綜述介紹的第1部分.第2部分(待續(xù))的主要內(nèi)容為:C=2拓?fù)淦綆系姆謹(jǐn)?shù)量子反?；魻栃?yīng)，分?jǐn)?shù)量子反?；魻枒B(tài)中的邊緣激發(fā)，總結(jié)和展望.

［1］Klitzing K V，Dorda G，Pepper M.New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance［J］.Phys Rev Lett，1980，45(6):494-497.

［2］Tsui D C，Stormer H L，Gossard A C.Two-dimensional magnetotransport in the extreme quantum limi［J］.Phys Rev Lett，1982，48(22):1559-1562.

［3］Laughlin R B.Anomalous quantum Hall effect:an incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations［J］.Phys Rev Lett，1983，50(18):1395-1398.

［4］Haldane F D M.Fractional quantization of the Hall effect:A hierarchy of incompressible quantum fluid states［J］.Phys Rev Lett，1983，51(7):605-608.

［5］Halperin B I.Statistics of quasiparticles and the hierarchy of fractional quantized Hall states［J］.Phys Rev Lett，1984，52(18):1583-1586.

［6］Jain J K.Composite-fermion approach for the fractional quantum Hall effect［J］.Phys Rev Lett，1989，63(2):199-202.

［7］Moore G，Read N.Nonabelions in the fractional quantum Hall effect［J］.Nucl Phys B，1991，360(91):362-396.

［8］Greiter M，Wen X G，Wilczek F.Paired Hall states［J］.Nucl Phys B，1992，374(3):567-614.

［9］Haldane F D M.Model for a quantum Hall effect without Landau levels:condensed-matter realization of the"parity anomaly"［J］.Phys Rev Lett，1988，61(18):2015-2018.

［10］Thouless D J，Kohmoto M，Nightingale M P，et al.Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential［J］.Phys Rev Lett，1982，49(6):405-408.

［11］Tang E，Mei Jiawei，Wen Xiaogang.High-temperature fractional quantum Hall states［J］.Phys Rev Lett，2011，106(23):236802.

［12］Sun Kai，Gu Zhengcheng，Katsura H，et al.Nearly flatbands with nontrivial topology［J］.Phys Rev Lett，2011，106(23):236803.

［13］Neupert T，Santos L，Chamon C，et al.Fractional quantum Hall states at zero magnetic field［J］.Phys Rev Lett，2011，106(23):23804.

［14］Sheng D N，Gu Zhengcheng，Sun Kai，et al.Fractional quantum Hall effect in the absence of Landau levels［J］.Nature Commun，2011，2:389.

［15］Wang Yifei，Gu Zhengcheng，Gong Changde，et al.Fractional quantum Hall effect of hard-core bosons in topological flat bands［J］.Phys Rev Lett，2011，107(14):146803.

［16］Regnault N，Bernevig B A.Fractional Chern insulator［J］.Phys Rev X，2011，1(2):021014.

［17］Wang Yifei，Yao Hong，Gu Zhengcheng，et al.Non-Abelian quantum Hall effect in topological flat bands［J］.Phys Rev Lett，2012，108(12):126805.

［18］Bernevig B A，Regnault N.Emergent many-body translational symmetries of Abelian and non-Abelian fractionally filled topological insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(7):075128.

［19］Wu Yangle，Bernevig B A，Regnault N.Zoology of fractional Chern insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(7):075116.

［20］Qi Xiaoliang.Generic wavefunction description of fractional quantum anomalous Hall states and fractional topological insulators［J］.Phys Rev Lett，2011，107(12):126803.

［21］Barkeshli M，Qi Xiaoliang.Topological nematic states and non-Abelian lattice dislocations［J］.Phys Rev X，2012，2(3):031013.

［22］Parameswaran S A，Roy R，Sondhi S L.Fractional Chern insulators and the W-infinity algebra［J］.Phys Rev B，2012，85(24):241308;

［23］Goerbig M O.From fractional Chern insulators to a fractional quantum spin Hall effect［J］.Eur Phys J B，2012，85:15-22.

［24］Kalmeyer V，Laughlin R B.Equivalence of the resonating-valence-bond and fractional quantum Hall states［J］.Phys Rev Lett，1987，59(18):2095-2098.

［25］Wen Xiaogang，Wilczek F，Zee A.Chiral spin states and superconductivity［J］.Phys Rev B，1989，39(16):11413.

［26］Lu Yuanming，Ran Ying.Symmetry-protected fractional Chern insulators and fractional topological insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(16):165134.

［27］McGreevy J，Swingle B，Tran K A.Wave functions for fractional Chern insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(12):125105.

［28］Hu Xiang，Kargarian M，F(xiàn)iete G A.Topological insulators and fractional quantum Hall effect on the ruby lattice［J］.Phys Rev B，2011，84(15):155116.

［29］Xiao Di，Zhu Wengguang，Ran Ying，et al.Interface engineering of quantum Hall effects in digital transition metal oxide heterostructures［J］.Nature Commun，2011，2:596.

［30］Venderbos J W F，Daghofer M，van den Brink J.Narrowing of topological bands due to electronic orbital degrees of freedom［J］.Phys Rev Lett，2011，107(11):116401.

［31］Ghaemi P，Cayssol J，Sheng D N，et al.Fractional topological phases and broken time-reversal symmetry in strained graph ene［J］.Phys Rev Lett，2012，108(26):266801.

［32］Wang Fa，Ran Ying.Nearly flat band with Chern number C=2 on the dice lattice［J］.Phys Rev B，2011，84(24):241103.

［33］Liu Ru，Chen Wenchao，Wang Yifei，et al.Topological quantum phase transitions and topological flat bands on the kagome lattice［J］.J Phys Condens Matter，2012，24(30):305602.

［34］Chen Wenchao，Liu Ru，Wang Yifei，et al.Topological quantum phase transitions and topological flat bands on the star lattice［J］.Phys Rev B，2012，86(8):085311.

［35］Trescher M，Bergholtz E J.Flat bands with higher Chern number［J］.Phys Rev B，2012，86(24):241111.

［36］Yang Shuo，Gu Zhengcheng，Sun Kai，et al.Topological flat band models with arbitrary Chern numbers［J］.Phys Rev B，2012，86(24):241112.

［37］Yao N Y，Laumann C R，Gorshkov A V，et al.Topological flat bands from dipolar spin systems［J］.Phys Rev Lett，2012，109(26):266804.

［38］Liu Zheng，Wang Zhengfei，Mei Jiawei，et al.Flat Chern band in a two-dimensional organometallic framework［J］.Phys Rev Lett，2012，11(10):106804.

［39］Liu Xiaoping，Chen Wenchao，Wang Yifei，et al.Topological quantum phase transitions on the kagome and square-octagon lattices［J］.J Phys Condens Matter，2013，25(30):305602.

［40］Wang Yifei，Yao Hong，Gong Changde，et al.Fractional quantum Hall effect in topological flat bands with Chern number two［J］.Phys Rev B，2012，86(20):201101.

［41］Liu Zhao，Bergholtz E J，F(xiàn)an Heng，et al.Fractional Chern insulators in topological flat bands with higher Chern number［J］.Phys Rev Lett，2012，109(18):186805.

［42］Sterdyniak A，Repellin C，Bernevig B A，et al.Series of abelian and non-abelian states in C ＞1 fractional Chern insulators［J］.Phys Rev B，2013，87(20):205137.

［43］Niu Qian，Thouless D J，Wu Yongshi.Quantized Hall conductance as a topological invariant［J］.Phys Rev B，1985，31(6):3372-3377.

［44］Sheng D N，Wan Xin，Rezayi E H，et al.Disorder-driven collapse of the mobility gap and transition to an insulator in the fractional quantum Hall effect［J］.Phys Rev Lett，2003，90(25):256802.

［45］Seidel A，Lee D H.Abelian and non-Abelian Hall liquids and charge-density wave:Quantum number fractionalization in one and two dimensions［J］.Phys Rev Lett，2006，97(5):056804.