交叉積的有限表現(xiàn)維數(shù)*

沈炳良，劉 玲

(1.上海財經大學浙江學院 公共基礎教育部，浙江 金華 321013;2.浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

0 引言

Blattner 等［1-2］在1986 年分別獨立地把群上交叉積的理論推廣到Hopf 代數(shù)，定義并研究了Hopf 代數(shù)上的交叉積.交叉積作為Smash 積的推廣，在Hopf 代數(shù)的擴張理論中起著重要的作用:帶有可逆余循環(huán)的交叉積即為Cleft 擴張［2-3］，且利用交叉積，可構造新的Hopf 代數(shù).文獻［4］對Cleft 擴張下的表示型和Nakayama 性質進行了研究.

同調代數(shù)是代數(shù)學的一個重要分支，它的興起對群、李代數(shù)與結合代數(shù)的研究起了非常重要的作用.其中，環(huán)的同調維數(shù)是近代環(huán)論中的一個重要的研究領域.自20 世紀60 年代以來，同調維數(shù)一直是環(huán)論研究的重要課題，特別是非交換環(huán)的同調維數(shù)的研究極大地豐富和發(fā)展了同調代數(shù)理論，它的理論和方法對代數(shù)學和其他相關學科的研究起著重要作用.

本文主要探討Hopf 代數(shù)上的交叉積A#σH 和其子代數(shù)A 之間的有限表現(xiàn)維數(shù)的關系，并且研究交叉積A#σH 成為n-Gorenstein 代數(shù)的條件.

1 基本定義

本文中，k 表示一個固定的域，所有的工作將在k 上進行;?和Hom 分別表示為?k和Homk;對于代數(shù)A，其左A-模范疇記為A-Mod;對于左A-模M，其內射維數(shù)記為inj.dim M.

首先回顧交叉積的定義.若存在k-線性映射H?A→A，記為h?a|→h·a，使得

則稱Hopf 代數(shù)H 可測量代數(shù)A;若存在映射τ∈Hom(H?H，A)，使得

則稱映射σ∈Hom(H?H，A)是卷積可逆的.

設H 為Hopf 代數(shù)，A 為代數(shù)，且H 可測量代數(shù)A，σ 是卷積可逆的.A 與H 的交叉積A#σH 定義為:作為向量空間時為A?H，并帶有以下乘法:

其中:?h，k∈H;a，b∈A.這里張量積a?h 記為a#σh.

引理1［1-2］A#σH 為帶有單位元的結合代數(shù)當且僅當以下條件成立:

1)A 是扭曲H-模，即1·a=a，?a∈A，且

2)σ 是余循環(huán)，即σ(h，1)=σ(1，h)=ε(h)1，?h∈H，且

注意:若σ 是平凡的，即σ(h，k)=ε(h)ε(k)1，?h，k∈H，則1)可簡化為A 是H-模;2)是平凡的.此時，A 為左H-模代數(shù).故交叉積簡化為Smash 積［5］.

Ho［6］于1984 年定義了一種新的同調維數(shù)——有限表現(xiàn)維數(shù).

定義1［6］設A 是環(huán)，M 是左A-模.記M 的有限表現(xiàn)維數(shù)為f.p.dim M，并定義為

稱達到下確界的(*)正合列為M 的有限表現(xiàn)分解.若對任意自然數(shù)n，沒有正合列(*)，則規(guī)定f.p.dim M=∞.

定義2［6］設A 是環(huán).A 的有限表現(xiàn)維數(shù)，記作f.p.dim A，定義

由定義1 知，左A-模M 是有限表現(xiàn)的??f.p.dim M=0，且f.p.dim A=0??A 是Noether 環(huán).因此，有限表現(xiàn)維數(shù)可以度量任意模與有限表現(xiàn)模的差距，也可以度量任意環(huán)與Noether 環(huán)的差距.值得注意的是，環(huán)的有限表現(xiàn)維數(shù)可能比其整體維數(shù)小得多.例如Z4，其理想(2)的投射維數(shù)為∞，故整體維數(shù)為∞.但Z4是Noether 環(huán)，故其有限表現(xiàn)維數(shù)為0.

2 A#σH 的有限表現(xiàn)維數(shù)

接下來將探討交叉積A#σH 和其子代數(shù)A 之間的有限表現(xiàn)維數(shù)的關系.

考慮以下2 個函子:

其中:A#σH 的右A-模結構是其乘法，即(a#σh)·b=(a#σh)(b#σ1H);A(-)是限制函子.

引理2 設H 是有限維Hopf 代數(shù)，A#σH 為交叉積，則(A#σH?A-，A(-))和(A(-)，A#σH?A-)都為伴隨對.

證明 由伴隨結構定理知，(A#σH?A-，A(-))為伴隨對.因為A #σH/A 是右H-Galois 擴張［3］，所以由文獻［7］中的定理9 知，(A(-)，A#σH?A-)也為伴隨對.引理2 證畢.

注1 設(F，G)為Abel 范疇間的伴隨對.若G 是正合的，則F 保持投射對象;若F 是正合的，則G保持內射對象.因A #σH 作為左右A-模都是有限生成自由的，故函子A#σH?A-和A(-)都是正合的，從而它們保持投射對象和內射對象.

引理3 設H 是有限維Hopf 代數(shù)，A#σH 為交叉積，則

1)對任意左A#σH-模M，f.p.dimAM≤f.p.dimA#σHM;

2)對任意左A-模M，f.p.dimA#σH(A#σH)?AM≤f.p.dimAM.

證明 1)直接由注1 可得.

2)不妨假設f.p.dimAM=n ＜∞.設

為AM 的有限表現(xiàn)分解，則由注1 得

是正合的.其中每個(A#σH)?APi都是投射A#σH-模，且顯然(A#σH)?APn+1，(A#σH)?APn是有限生成的.由此可得f.p.dimA#σH(A#σH)?AM≤n.引理3 證畢.

引理4［4］設H 是有限維半單Hopf 代數(shù)，A#σH 為交叉積，則對任意左A#σH-模M，M 為(A#σH)?AM 的A#σH-直和項.

命題1 設H 是有限維半單Hopf 代數(shù)，A#σH 為交叉積，則對任意左A#σH-模M，f.p.dimAM=f.p.dimA#σHM.

證明 由引理3 知，f.p.dimAM≤f.p.dimA#σHM.反之，因H 是有限維半單Hopf 代數(shù)，故由引理4知，M 為(A#σH)?AM 的A#σH-直和項，由此易知f.p.dimA#σHM≤f.p.dimA#σH(A#σH)?AM.再由引理3知，f.p.dimA#σH(A#σH)?AM≤f.p.dimAM，可得f.p.dimA#σHM≤f.p.dimAM.命題1 證畢.

由命題1 可直接得出本節(jié)的主要結果:

定理1 設H 是有限維半單Hopf 代數(shù)，A#σH 為交叉積，則f.p.dim A#σH≤f.p.dim A.

因Smash 積為交叉積的一種特殊情況，故有以下推論:

推論1 設H 是有限維半單Hopf 代數(shù)，A#H 為Smash 積，則f.p.dim A#H≤f.p.dim A.

3 n-Gorenstein 代數(shù)A#σH

本節(jié)將討論交叉積A#σH 成為n-Gorenstein 代數(shù)的條件.

首先回顧n-Gorenstein 代數(shù)的定義.設R 是環(huán)，若它是左右Noether 環(huán)，且其左右正則模的內射維數(shù)有限，即inj.dimRR ＜∞，inj.dim RR＜∞，則稱R 為Gorenstein 環(huán).設R 是一個Gorenstein 環(huán)，若inj.dimRR≤n(此時inj.dim RR≤n)，則稱R 為n-Gorenstein 的.一個代數(shù)若作為環(huán)是Gorenstein 的，則稱此代數(shù)為Gorenstein 代數(shù)［8］.

定理2 設H 是有限維Hopf 代數(shù)，A#σH 為交叉積，則A#σH 為n-Gorenstein 代數(shù)當且僅當A 也為n-Gorenstein代數(shù).

證明 因為A#σH 為有限生成A-模，故若A 是左Noether 的，則A#σH 也是左Noether 的.反之，因A#σH可通過以下作用為左H*-模代數(shù):

所以就有Smash 積代數(shù)(A#σH)#H*.從而，如果A#σH 是左Noether 的，那么(A#σH)#H*顯然也是左Noether 的.由Blattner-Montgomery 對偶定理［3］知，(A#σH)#H*?Mn(A)，這里dim H=n.因此，它與A 是Morita 等價的，從而A 也是左Noether 的.

類似可證A 是右Noether 的當且僅當A#σH 也是右Noether 的.

因A#σH 為自由A-模，故可得inj.dimAA=inj.dimAA#σH≤inj.dimA#σHA#σH.

下證inj.dimA#σHA#σH≤inj.dimAA.不妨設inj.dimAA=n ＜∞，且

為左正則模AA 的長為n 的內射分解.由注1 知，序列

為(A#σH)?AA 作為左A#σH-模的一個內射分解.又因有左A#σH-模同構:(A#σH)?AA?A#σH，從而

類似可證inj.dim A#σHA#σH=inj.dim AA.定理2 證畢.

在代數(shù)學中，有著名的Gorenstein 對稱猜想［9］仍未解決.

Gorenstein 對稱猜想(Gorenstein Symmetric Conjecture):設A 為Artin 代數(shù)(有限維代數(shù)).若inj.dimAA有限，則inj.dim AA亦有限.

由定理2 立得以下推論:

推論2 設H 是有限維Hopf 代數(shù)，A#σH 為交叉積，則Gorenstein 對稱猜想對A#σH 成立當且僅當Gorenstein 對稱猜想對A 也成立.

［1］Blattner R，Cohen M，Montgomery S.Crossed product and inner actions of Hopf algebras［J］.Trans Amer Math Soc，1986，298(2):671-711.

［2］Doi Y，Takeuchi M.Cleft comodule algebras for a bialgebra［J］.Comm Algebra，1986，14(5):801-817.

［3］Blattner R，Montgomery S.Crossed product and Galois extensions of Hopf algebras［J］.Pacific J Math，1989，137(1):37-53.

［4］Li Fang，Zhang Mianmian.Invariant properties of representations under cleft extensions［J］.Sci China Ser A，2007，50(1):121-131.

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［8］Enochs E E，Jenda O M G.Relative homological algebra［M］.Berlin:Walter De Gruyter Co，2000:152-180.

［9］Auslander M，Reiten I，Smal? S O.Representation theory of Artin algebras［M］.Cambridge:Cambridge Univ Press，1995:115-180.