基于Arnold變換的改進圖像加密算法研究

第二炮兵工程學院 四系，西安 710025

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1 引言

數(shù)字圖像置亂是將一幅圖像經(jīng)過變換，使其成為面目全非的另一幅沒有明顯意義的混亂圖像。置亂是在信息隱藏中對數(shù)字圖像所做的預處理，也叫做信息偽裝。圖像置亂所依賴的信息隱藏技術不僅提供了非密碼的安全途徑，更引發(fā)了信息戰(zhàn)尤其是網(wǎng)絡情報戰(zhàn)的革命，產(chǎn)生了一系列新穎的作戰(zhàn)方式，引起了許多國家的重視。網(wǎng)絡情報戰(zhàn)是信息戰(zhàn)的重要組成部分，其核心內(nèi)容是利用公用網(wǎng)絡進行保密數(shù)據(jù)傳送。經(jīng)過置亂算法加密的圖像是混亂無序的，攻擊者無從下手來破解這些加密文件。

隨著數(shù)字水印技術的興起，置亂技術在通過置亂來分散錯誤比特的分布從而提高數(shù)字水印的魯棒性方面又有了新的應用。其中Arnold置亂算法簡單且具有周期性，所以在數(shù)字水印方面得到了很好的應用[1]（Arnold置亂是V.J. Arnold在研究環(huán)面上的自同態(tài)時提出的，后來把它應用到數(shù)字圖像上）。Arnold置亂的周期性是一個很好的性質(zhì)，當反復應用Arnold置亂時，在某一時刻就能恢復原圖。因為Arnold置亂的周期性與圖像大小有關，可以利用它的周期性來恢復原圖，勢必要等很長時間。一般圖像階數(shù)與Arnold變換的周期并不成正比[2]。

目前，大多數(shù)文獻資料所舉出來的Arnold置亂算法是在正方形數(shù)字圖像上進行的，這些圖像多數(shù)是N×N像素的數(shù)字圖像。然而現(xiàn)實中，多數(shù)的數(shù)字圖像都是非方形的，這樣一來就限制了Arnold置亂算法的應用范圍[3]。為了彌補這方面的不足，要改進原來的Arnold置亂算法，讓Arnold置亂算法應用到M×N像素的非方形數(shù)字圖像，即該圖像的長度和寬度不相等的數(shù)字圖像[4]。

2 基于Arnold變換的圖像置亂

2.1 Arnold置亂算法原理

有單位正方形上的點(x，y)如圖1[5]。

圖1 圖像坐標分布

將點 (x，y)變到另一點 (x′，y′)的變換為：

此變換稱作二維Arnold置亂，具體到數(shù)字圖像，把式（1）中的二維Arnold置亂改寫為：

以后所說的Arnold置亂即式 2。其中，x，y∈{0，1，2，…，N-1}，而N是數(shù)字圖像矩陣的階數(shù)。記式（2）中的變換矩陣為A，右端 (x，y)T為輸入，左端 (x′，y′)T為輸出，考慮其反饋，由此可做迭代程序如下：

式中，n代表迭代的次數(shù)，n=0，1，2，…。圖像信息（如灰度值）伴隨離散點陣的置換進行移植，當原圖像中所有的點均遍歷一遍后，便生成了一幅新的圖像[6-7]。

2.2 基于Arnold變換的數(shù)字圖像置亂

對于數(shù)字圖像，可以看作一個二維矩陣，圖像的階數(shù)即是圖像的尺寸若為N，則I有 N×N個元素，下標 x，y表示像素所處的位置，x，y∈{0，1，2，…，N-1}。將 x，y對應于Arnold置亂中的 x，y，對每一對 x，y都做Arnold置亂之后得到 x′，y′，相當于將原圖像中的點從 (x，y)移動到 (x′，y′)從而實現(xiàn)了對圖像中像素點的移動，用Arnold置亂遍歷圖像中所有點，就完成了一次圖像的Arnold置亂。

Arnold置亂的周期性與圖像的大小有關系，但是不成正比。如大小為128×128像素的圖像的Arnold置亂的周期為96，大小為240×240像素的圖像的Arnold置亂的周期為60。表1給出了不同N值與Arnold置亂的周期T之間的關系。

表1 Arnold置亂算法周期

2.3 Arnold置亂算法的置亂恢復

Arnold置亂恢復方法有兩種：一種是利用其周期性，另一種是求其逆矩陣的方法從而進行反變換[8]。利用Arnold置亂周期性恢復的方法是很自然的，前面通過研究Arnold置亂的周期性，已經(jīng)得出了這樣的結(jié)論：對于N×N像素的數(shù)字圖像，只要滿足N為非1正整數(shù)，則Arnold置亂均具有周期。推廣到任意置亂次數(shù)n，則需要繼續(xù)進行(mN-nmod mN)次Arnold置亂變換。但是，Arnold置亂的次數(shù)與階數(shù)N有關，一般來說，如果是階數(shù)N比較高的情況下，周期也比較長。

另外，在實際應用中，應盡可能地減少Arnold置亂的恢復時間，希望Arnold置亂的周期越短越好，這樣就限制了圖像的選擇，所以，使用求逆矩陣的方法可能效果會更好。比如周期為100次，之前已經(jīng)置亂了30次，那么，使用逆向置亂的方法，就只需要運行30次，而傳統(tǒng)的方法就需要把剩下的70次置亂運行完畢。

兩種方法各有優(yōu)缺點，需要根據(jù)置亂的周期和已經(jīng)置亂的次數(shù)選擇。

3 一種改進的Arnold算法模型

3.1 改進Arnold置亂算法的基本原理

在一幅非方形數(shù)字圖像中選擇L×L像素區(qū)域，進行Arnold變換，從而實現(xiàn)部分區(qū)域置亂。圖2展示了利用改進的Arnold置亂算法進行圖像中單個區(qū)域置亂的思路。

部分區(qū)域置亂的思想：把選定區(qū)域的最左上角像素的坐標 (x1，y1)設定為（1，1），這個區(qū)域轉(zhuǎn)換后的坐標為(X-(x1-1)，Y-(y1-1))， 那么原來的 Arnold置亂公式（1）、（2）變換為式（4）、（5）：

其中(x1，y1)是在一幅圖像中任意選擇的正方形區(qū)域的最左上角的坐標，x，y∈{0 ，1，2，…，N-1} ，而N是數(shù)字圖像矩陣的階數(shù)。

對于單幅非正方形圖像單個區(qū)域的Arnold置亂，即在非正方形內(nèi)隨意取一個同大小的正方形區(qū)域，所選區(qū)域變換的只有基準點的坐標，其運算原理是和Arnold運算是相同的。Arnold置亂算法在這里仍然可用。

對于多個區(qū)域的Arnold置亂，其道理就是把圖像進行分割成不相等的多個方形區(qū)域，每個區(qū)域進行Arnold不同次數(shù)的置亂。置亂過程是像素點的物理位置變化，在選取區(qū)域時可以重疊。加密后的重疊區(qū)域出現(xiàn)未加密狀況的機率很小，因為兩個區(qū)域的置亂順序是有先后的，第一塊置亂的區(qū)域置亂后，重疊區(qū)域的像素點應是第一塊區(qū)域非重疊區(qū)域的像素點，第二塊置亂的區(qū)域置亂后，又把重疊區(qū)域的像素點變換到第二塊區(qū)域的非重疊區(qū)域。

3.2 置亂程度原理

由置亂變換的概念可以看出，位置空間的置亂實質(zhì)上是原圖像像素位置發(fā)生了移動，置亂圖像的像素相對于原圖像的像素移動的距離越遠，其置亂程度越大。置亂雖然不改變原圖像像素的灰度值，但是可以改變圖像的視覺效果。置亂圖像相對于原始圖像越“亂”，表明該置亂算法越有效。一幅較“亂”的圖像應該是直觀視覺感到“雜亂無章”，整體灰度分布比較均勻的圖像。由前面分析可知，衡量圖像置亂程度不僅要考慮圖像像素移動的距離，還要考慮圖像的直觀視覺效果。可用下式的Ds客觀地表示圖像的置亂程度[9]。

其中DSF（Distance Scrambling Factor）通過計算像素移動距離來確定；GSF（Gray Scrambling Factor）通過量化直觀視覺效果來計算。

一般來說，圖像像素位置移動得越遠，其置亂程度越大，因此可用移動距離來表示其置亂程度。此處采用像素移動距離的均值和方差來計算DSF。

定義 1 假定圖像 AM×N，經(jīng)置亂后變?yōu)閳D像 A′M×N，某像素位置 (x，y)映射為置亂后圖像的 (x′，y′)位置，則像素移動距離為：

則整幅圖像移動距離的均值為：

顯然，當圖像中每個像素都不移動，即圖像沒有置亂時E(d)為最小值Emin(d)=0；當圖像中每個像素都移動對角線距離時E(d)為最大值：

像素移動距離的均值越大表示置亂后像素移動的程度越大，圖像置亂的程度越大。故DSF可以用下式計算：

由前面分析可知，若將圖像分成大小相同互不重疊的子塊，則置亂圖像各子塊的灰度均值越接近，圖像“亂”的程度越大。由此，可用下面的方法計算GSF。

將原始圖像和置亂圖像分成k×k像素大小的互不重疊子塊，設子圖像 Bm×n(i，j)表示圖像的第(m，n)個子塊，則子圖像 Bm×n(i，j)的灰度均值 E(Bm×n)為：

由于方差描述的是隨機變量相對于均值的波動程度，方差越小波動程度越小，方差越大，波動程度越大。因此可用子圖像灰度均值的方差來描述圖像的置亂程度。方差越小，則各塊之間灰度均值相差越小，即灰度分布越均勻，即圖像“亂”的程度越大。

由上式可見，GSF越大，圖像相對于原始圖像越“亂”，置亂效果越好。

置亂度Ds值的計算結(jié)果還與圖像分塊有關。圖像子塊不能太小或太大，例如當子塊大小為4×4像素時，數(shù)量級約為10－2，子塊為8×8像素時為10－1數(shù)量級。由于圖像置亂程度只與Ds值的相對大小有關。不取決于Ds值的數(shù)量級，因此在具體應用中只要對圖像的分塊尺寸相同，總是可以利用Ds值表示圖像的里亂程度，用來評價置亂方法。

4 仿真實驗及分析

4.1 多區(qū)域圖像置亂仿真實驗

在Matlab 7.1上，分別對單幅圖像的單個區(qū)域和不同區(qū)域進行了Arnold置亂，如圖3所示。

圖3 單區(qū)域不同次數(shù)圖像置亂效果圖

經(jīng)過了上面的單個區(qū)域置亂得出一幅圖像進行多次的部分區(qū)域置亂，那么這個區(qū)域就會全部被置亂。從而使這幅圖像的置亂度更高，安全性也就越高。圖3（d）所示是由Arnold置亂的周期性恢復得到的原始圖像。

兩個區(qū)域或者多個區(qū)域的置亂與一個區(qū)域的置亂類似。圖像分割如圖4（a）：把564×642像素圖像總共分成如下6個部分：紅色線條：396×396；綠色線條：342×342；藍色線條：342×342；白色線條：360×360；黃色線條：564×564；褐色線條：564×564。存在重疊區(qū)域。圖4為對Matlab 7.1環(huán)境下，對多區(qū)域置亂的實驗結(jié)果分析。

通過單幅圖像多個區(qū)域Arnold置亂，置亂后的圖像從主觀視覺上看不出分割區(qū)域的分界線，更找不到隱藏在內(nèi)部的分割區(qū)域的分界線。這樣就達到了讓非法攻擊者無從下手的目的。

圖4 多區(qū)域置亂效果圖

4.2 攻擊實驗

為了驗證加密圖像在傳輸過程中受到攻擊時是否有數(shù)據(jù)丟失，進行如下兩種攻擊實驗。

4.2.1 部分區(qū)域剪切實驗

利用Photoshop CS4.0軟件把置亂后的圖像部分區(qū)域剪切處理，如圖5。

圖5 置亂后圖像部分區(qū)域剪切圖

通過恢復程序恢復出來的圖像如圖6。

圖6 部分區(qū)域剪切后恢復的圖像

經(jīng)過圖像部分區(qū)域剪切攻擊實驗得出：圖像雖然經(jīng)過了部分區(qū)域剪切的處理，但是經(jīng)過圖像恢復，所得圖像與原圖像比較接近。

4.2.2 加入噪聲實驗

原來的圖像加入椒鹽噪聲處理如圖7。

利用Matlab 7.1軟件把置亂后的圖像加入椒鹽噪聲處理并恢復如圖8。

經(jīng)過噪聲攻擊實驗得出：置亂的數(shù)字圖像受到噪聲攻擊后，恢復得到的圖像，和原圖像受到噪聲攻擊的圖像幾乎是一樣的。說明這種置亂算法抗噪聲攻擊比較弱。

圖7 原圖像和加入噪聲的圖像

圖8 置亂后圖像加入噪聲和恢復

4.2.3 進行多次置亂攻擊對比

對原圖像分別進行6、12、18個區(qū)域的置亂，如圖9。

圖9 原圖不同區(qū)域個數(shù)置亂

分別對6次、12次、18次置亂的圖像進行剪切部分區(qū)域攻擊，并且進行恢復。剪切區(qū)域大小為250×250像素，如圖10。

圖10 不同次數(shù)置亂的圖像被剪切并恢復

通過以上三種攻擊性實驗得出結(jié)論：Arnold置亂算法在置亂圖像部分區(qū)域剪切后，進行恢復時，能基本還原初始圖像。置亂圖像在噪聲攻擊后，進行恢復得到的圖像與原來圖像受到噪聲攻擊時幾乎一樣，說明Arnold置亂算法與噪聲攻擊之間不會相互影響，圖像即使被噪聲攻擊之后，仍然可以用該算法對圖像進行恢復性處理。

5 結(jié)束語

本文研究了圖像置亂算法，并通過圖像置亂來給圖像加密，提高圖像的安全性。在傳統(tǒng)Arnold置亂算法中，都是對方形圖像進行置亂，本文提出的多區(qū)域置亂方法不僅可以用于方形圖像，更適用于任何非方形圖像，通過多區(qū)域的置亂，更能有效提高圖像的安全性，使破譯難度難上加難，并通過Matlab 7.1下的仿真實驗，驗證了這一點。實驗數(shù)據(jù)表明，該改進后的算法是切實可行的。

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基于Arnold變換的改進圖像加密算法研究

梁 婷，李 敏，何玉杰，黃克宇

LIANG Ting,LI Min,HE Yujie,HUANG Keyu

Department of 4th,Second Artillery Engineering University,Xi’an 710025,China

With the development of information security,the traditional scrambling algorithm based on Arnold transformation is only applied to the square area,which is a big limitation.It has been far from to ensure the security of images in the transmission process.This paper presents a new image encryption algorithm,which can improve the security of image during transmission more effectively.Focus on this,a multi-region algorithm for image scrambling encryption model is proposed,which splits the non-square image to multiple square regions,and scrambles each region.Experimental results show that the new algorithm improves the image security effectively to avoid decipher,and it also can restore the image almost as same as the original image, which reaches to the purposes of image safe and reliable transmission.

image scrambling;Arnold transformation;multi-regional;scrambling degree;image encryption

隨著現(xiàn)在圖像破譯技術的提高，傳統(tǒng)的基于Arnold變換的置亂算法僅適用于正方形區(qū)域，存在很大的局限性，已經(jīng)遠遠不能保證圖片在傳送過程中的安全性了。提出了一種新的多區(qū)域置亂算法的圖像加密模型，即對于非正方形圖像采用劃分多區(qū)域，分別對每個區(qū)域進行置亂的思想。實驗數(shù)據(jù)顯示，新算法不僅有效地提高了圖像的安全性，使破譯起來無從下手，而且對置亂后的圖像恢復，與原圖幾乎是一樣的，達到了圖像安全、可靠傳輸?shù)哪康摹?/p>

圖像置亂；Arnold變換；多區(qū)域；置亂程度；圖像加密

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1110-0100

LIANG Ting,LI Min,HE Yujie,et al.Method of improved image scrambling based on Arnold transform.Computer Engineering and Applications,2013,49（11）：204-207.

梁婷（1989—），女，碩士研究生，主要研究方向為信息安全；李敏（1971—），女，博士后，教授，博導，主要研究領域為智能圖像信息處理。E-mail：lt_aries@126.com

2011-10-09

2011-12-09

1002-8331（2013）11-0204-04

CNKI出版日期：2012-03-08 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120308.1520.022.html

◎工程與應用◎