一類帶有擴(kuò)散的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的共存態(tài)

陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

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1 引言

運(yùn)用反應(yīng)擴(kuò)散方程研究種群動(dòng)力學(xué)行為是目前人們關(guān)注的一個(gè)基本問題。在過去的幾十年中，人們應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究了帶有各種邊界條件的物種相互作用的許多反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)，比如 Lotka-Volterra系統(tǒng)[1-6]，Leslie-Gower系統(tǒng)[7-8]，Sel'kov系統(tǒng)[9-10]以及Brusselator系統(tǒng)[11-12]等。在這些文獻(xiàn)中，作者運(yùn)用不同的方法分析了相關(guān)模型的動(dòng)力學(xué)行為，包括模型解的存在性、不存在性、有界性、分歧、穩(wěn)定性以及漸近性等性質(zhì)，并獲得了許多有價(jià)值的經(jīng)典結(jié)果。

在眾多關(guān)于Lotka-Volterra模型的文獻(xiàn)中，反應(yīng)項(xiàng)是二次的相對(duì)來講比較常見。本文討論下面帶有三次反應(yīng)項(xiàng)的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)：

其中Ω??N為帶有光滑邊界?Ω的有界開區(qū)域，u=u(x,t)，v=v(x，t)表示兩競(jìng)爭(zhēng)物種的數(shù)量；d1，d2表示 u，v 的擴(kuò)散率；a，e表示u，v的出生率；b，g表示u，v的自我調(diào)節(jié)率；c，f描述的是u，v之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。所有的參數(shù)都是正常數(shù)，齊次邊界條件意味著兩物種在棲息地邊界的種群密度為零。考慮到實(shí)際意義，只關(guān)心系統(tǒng)（1）的非負(fù)解。關(guān)于反應(yīng)函數(shù)是3次項(xiàng)的Lotka-Volterra型競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的其他研究結(jié)果可參見文獻(xiàn)[13-16]等。

從生物學(xué)上來講，可對(duì)系統(tǒng)（1）作如下解釋：函數(shù)a-bu2，fu2以及 e-gv2，cv2描述的是物種 u與 v之間以及同一物種內(nèi)部不同個(gè)體間的相互作用的關(guān)系。首先，f＞b且c＞g表示兩不同物種之間的相互作用強(qiáng)于同一物種內(nèi)部個(gè)體之間的相互作用。因此，當(dāng) f＞b且c＞g時(shí)系統(tǒng)（1）是一個(gè)強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)。其次，當(dāng) f＜b且c＜g時(shí)表示兩不同物種之間的相互作用弱于同一物種內(nèi)部的相互作用。因此，當(dāng) f＜b且c＜g時(shí)系統(tǒng)（1）是一個(gè)弱競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)。再次，當(dāng) f=b且c=g時(shí)，表示兩不同物種間的相互作用與同一物種內(nèi)部的相互作用的強(qiáng)弱程度幾乎相同。

如果考慮u，v只與x有關(guān)的情形，那么尋求系統(tǒng)（1）的平衡態(tài)解就是很自然的。同時(shí)，如果這樣的解是嚴(yán)格正的，則通常被稱為共存態(tài)。本文的主要目的是討論系統(tǒng)（1）共存態(tài)的存在性，也就是討論下面橢圓型系統(tǒng)：

的古典解的存在性。

為方便起見，先給出一些已知結(jié)果。

用λ1(q)表示特征值問題

的主特征值，則 λ1(q)關(guān)于 q 遞增。記 λ1(0)= λ1，則 λ1＞ 0[3]?？紤]下面的非線性邊值問題：

眾所周知[1，3]，如果 a＜λ1(q)，那么 u≡0 是式（3）的唯一非負(fù)解；反之，如果a＞λ1(q)，那么式（3）存在唯一正解。

2 共存態(tài)的存在性

利用文獻(xiàn)[2]中的主要結(jié)果考慮系統(tǒng)（2）共存態(tài)的存在性。為簡(jiǎn)單起見，不妨取d1=d2=1（事實(shí)上，如果適當(dāng)調(diào)整系統(tǒng)中的參數(shù)，那么兩物種的擴(kuò)散系數(shù)就可轉(zhuǎn)化為1）。

給定廣義Lotka-Volterra橢圓系統(tǒng)：

其中 Ω，u，v的含義與第1章相同，函數(shù) h1，h2，h3，h4滿足：

（1）h1，-h2，h3，-h4∈C(Ω)是 [0，∞)上的非增函數(shù)且h1(0)＞0，h3(0)＞0，h2(0)=h4(0)=0 。

（2）存在常數(shù) c1，c2使得當(dāng) u＞c1時(shí) h1(u)＜0，v＞c2時(shí)h3(v)＜0。

引理2.1[2]設(shè)h(u)為[0，∞)上的嚴(yán)格遞減光滑函數(shù)且存在常數(shù) c0＞0使得當(dāng) u≥c0時(shí) h(u)≤0。若 h(0)＞λ1，則邊值問題：

有唯一正解。若h(0)≤λ1，則0是唯一非負(fù)解。

由引理2.1知，當(dāng) h1(0)＞λ1，h3(0)＞λ1時(shí)，系統(tǒng)（4）存在半平凡解 (u*，0)與 (0，v*)，其中 u*，v*分別滿足問題：

在文獻(xiàn)[2]中，(u*，0)與 (0，v*)在討論系統(tǒng)（4）的正解的存在性時(shí)，起著相當(dāng)重要的作用，相關(guān)的主要結(jié)論為：

引理2.2[2]設(shè) h1(0)＞λ1，h3(0)＞λ1。若主特征值 λ1(Δ+ (h1(0)-h2(v*)))與 λ1(Δ+(h3(0)-h4(u*)))有相同的符號(hào)，則系統(tǒng)（4）存在正解。

比較系統(tǒng)（2）與（4），對(duì)于系統(tǒng)（2）來說，很顯然：

定理2.1 設(shè) a＞λ1，e＞λ1。若主特征值 λ1(Δ+(a-cv*2))與 λ1(Δ+(e-fu*2))有相同的符號(hào)，則系統(tǒng)（2）存在正解。

定理2.2 設(shè) a＞λ1，e＞λ1。若：

則系統(tǒng)（2）存在正解。

因此，由定理2.1知系統(tǒng)（2）存在正解。證畢。

定理2.3設(shè)下面條件成立：

則系統(tǒng)（2）存在正解。

證明由引理2.1知，系統(tǒng)（2）存在解 (u*，0)，(0，v*)。

首先，有：

于是，λ1(Δ+(a-cv*2))與 λ1(Δ+(e-fu*2))有相同的符號(hào)，從而式（2）存在正解。證畢。

定理2.4若a=e，則系統(tǒng)（2）存在正解當(dāng)且僅當(dāng)下面條件之一成立：

證明 考慮情形（1）。顯然，式（2）存在解 (u*，0)，(0，v*)。由于 u*滿足式（5）且 u*＞0，因此 λ1(Δ+(a-bu*2))=0。類似地，λ1(Δ+(e-gv*2))=0. 由 b＞f，c＜g可得：

同樣，對(duì)情形（2），（3）可得：

由定理2.1知，系統(tǒng)（2）存在正解。

反過來，設(shè) (u，v)是式（2）的正解，則

給式（2）的兩個(gè)方程分別同乘v和u然后相減，再在Ω上積分可得：

由于u，v＞0，于是該等式表明要么(f-b)u2+(g-c)v2在 Ω上恒為零，要么在 Ω上改變符號(hào)。這意味著b=f，c=g 或 b＞f，c＜g 或 b＜f，c＞g 。這說明若系統(tǒng)（2）有正解，那么條件（1），（2），（3）中必有一個(gè)成立。證畢。

3 結(jié)語

反應(yīng)擴(kuò)散方程遍及許多學(xué)科，可以說反應(yīng)擴(kuò)散方程是刻畫自然界各種現(xiàn)象及運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本方程之一。本文著眼于反應(yīng)擴(kuò)散方程在生態(tài)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，考慮處于同一環(huán)境中不同種群間的共存問題。對(duì)于生活在同一生態(tài)環(huán)境中的不同種群來說，物種間的共存與滅絕問題是人們研究生態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)永恒的主題。物種間競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的強(qiáng)弱直接影響著物種適應(yīng)環(huán)境變化的能力。文中考慮的是帶有高次功能反應(yīng)項(xiàng)的擴(kuò)散模型，運(yùn)用非線性分析方法和二階橢圓型偏微分方程理論著重考察了具有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩種群能夠共存的條件，得到了一些有益的結(jié)果。

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一類帶有擴(kuò)散的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的共存態(tài)

賈云鋒，王 瑩

JIAYunfeng,WANG Ying

College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

The steady-state solutions of a Lotka-Volterra competition ecological system with cubic functional responses and diffusion are concerned.With the assistance of the spectrum analysis and the upper-lower solutions,a few sufficient conditions for the existence on coexistence of the system are presented.

Lotka-Volterra competition system;coexistence;principal eigenvalue;upper-lower solution

考慮了一類帶有三次功能反應(yīng)項(xiàng)和擴(kuò)散的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)生態(tài)系統(tǒng)的平衡態(tài)解。運(yùn)用譜分析的方法，通過構(gòu)造上下解，給出了系統(tǒng)存在共存態(tài)的一些充分性條件。

Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)；共存態(tài)；主特征值；上下解

A

O175.2

10.3778/j.issn.1002-8331.1203-0402

JIA Yunfeng,WANG Ying.Coexistence of Lotka-Volterra competition system with diffusion.Computer Engineering and Applications,2013,49（11）：35-37.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.11001160）；陜西師范大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目（No.GK201002046）。

賈云鋒（1972—），男，博士，副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)槲⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用、數(shù)值計(jì)算；王瑩（1988—），女，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)槲⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用。E-mail：jiayf@snnu.edu.cn

2012-03-19

2012-07-03

1002-8331（2013）11-0035-03