具超線性增長非線性項(xiàng)的擬線性橢圓型方程共振問題

黃　晨,　賈　高,　黃利娜

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上?！?00093)

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具超線性增長非線性項(xiàng)的擬線性橢圓型方程共振問題

黃晨,賈高,黃利娜

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

摘要：在非線性項(xiàng)具有超線性增長條件下,研究了擬線性橢圓型方程的共振問題.通過建立擬線性算子與線性算子的一種關(guān)系,依據(jù)Shapiro在加權(quán)Sobolev空間中建立的緊嵌入定理和推廣的Brouwer定理,運(yùn)用截?cái)喾椒ㄗC明了近似方程的解存在;借助Sobolev理論、Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理證明了上述近似解一致有界;利用投影技巧和Galerkin方法得到共振問題的非平凡解的存在性.

關(guān)鍵詞：加權(quán)Sobolev空間; 擬線性橢圓型方程; 超線性增長

1問題的提出

在現(xiàn)實(shí)生活中,共振現(xiàn)象是常見的.在工程技術(shù)中,人們利用或者試圖避免共振現(xiàn)象的發(fā)生.關(guān)于橢圓型方程共振問題有較多的研究,并取得了一系列重要成果[1-8].

1981年Berestycki等[1]用強(qiáng)極大值原理討論了Dirichlet問題

弱解的存在性.其中，Δ是Laplacian算子，λ1是Laplacian算子的第一特征值，u-是函數(shù)u的負(fù)部.

弱解的存在性,T是線性算子.

(1)

非平凡解的存在性.其中,算子

非線性項(xiàng)f(x,u)具有超線性增長.

本文所討論的理論模型來源于研究飛機(jī)、汽車、電站的設(shè)計(jì)和建造，以及環(huán)境污染分析等實(shí)際背景[3,5].

2假設(shè)與引理

設(shè)Ω是RN中的有界區(qū)域,設(shè)Γ??Ω是一個(gè)閉集(可能為空集),pi(x),q(x),ρ(x)∈C0(Ω)是權(quán)函數(shù),其中,q(x)是非負(fù)的,記p(x)=(p1(x),p2(x),…,pN(x))為向量函數(shù).

考慮準(zhǔn)希爾伯特空間

(3)

記

(4)

線性算子

擬線性算子M的二形式分別為

定義1如果滿足下面的條件a-e,稱區(qū)域Ω和算子L滿足Simple-VL條件.

且在Ω上,φ1>0;

c.Ω=Ω1×Ω2×…×ΩN,其中,Ωi?R,i=1,2,…,N,是開區(qū)域;

其中

滿足以上5個(gè)條件的區(qū)域和算子的例子有很多,見文獻(xiàn)[9-10].

對于算子M和算子L中的aij(x),a0(x),bij(x),b0(x)(i,j=1,2,…,N)作如下假設(shè):aij(x),a0(x)滿足條件f-h (bij(x)和b0(x)也滿足類似的條件):

f.a0(x),aij(x)∈C0(Ω)∩L(Ω),aij(x)=aji(x),?x∈Ω,i,j=1,2,…,N;

g.a0(x)≥β0>0,?x∈Ω;

h. 存在常數(shù)c0,c1>0,使得對所有x∈Ω,ξ∈RN,有

對于算子M中的σi(u),假設(shè)滿足條件i,j:

假設(shè)問題(1)中的非線性項(xiàng)f(x,s)滿足條件k-m:

k.f(x,s)滿足Caratheodory條件;

對于加權(quán)Sobolev空間,Shapiro在文獻(xiàn)[10]中給出并證明了嵌入定理(引理1).

3主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)論如定理1.

(7)

為了證明主要結(jié)果,先證明命題1和命題2.

命題1假設(shè)定理1的條件都成立,則當(dāng)n≥2時(shí),存在un∈Sn使得

且

(9)

利用定義1的條件f-h,得到

(10)

其中,l=min{c0,β0,1}>0.結(jié)合式(9)和式(10),可得

(11)

對于任意正整數(shù)m≥2,定義輔助函數(shù)

(12)

根據(jù)定義1的條件l可知

式中,Tm為與m有關(guān)的正常數(shù).

現(xiàn)分兩部分證明.

(14)

設(shè)

那么,有

其中

對于式(16),利用式(8)得到

(17)

采用反證法.不失一般性,假設(shè)

(18)

(19)

即

另一方面,對于任意s≥m,由定義1的條件m可得

(21)

類似地,當(dāng)-m≤s≤m和s≤-m時(shí),可以得到同樣的結(jié)論.因此

根據(jù)式(20)和式(22)可以得到

(23)

(24)

(25)

因此，由式(25)可得

(26)

運(yùn)用引理1,有

(27)

由H?lder不等式,定義1的條件i,m和Lebesgue控制收斂定理,有

將式(14)中的m替換為mj,并且令j→,兩邊取極限可得式(7)成立.

(28)

由于

利用定義1的條件m,通過計(jì)算可得

G(un)+L(un,un)-M(un,un)

(30)

另一方面,根據(jù)定義1的條件b,可以找到常數(shù)η>0，使得ηλk≤λk-λ1,?k≥2.

這樣,利用引理1,存在常數(shù)K2,使得

(32)

(33)

運(yùn)用引理1,由式(32)和式(33)可得

(34)

再由式(28)以及算子M和算子L是Near-相關(guān)的,可得

(35)

結(jié)合式(34)可得

注意到

所以,存在正的常數(shù)K4,使得

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

利用式(34)還可以得到

(44)

(45)

由定義1的條件b可知:任意的x∈Ω,有φ1>0.利用式(28),(36),(39)可得

再利用式(35)和式(36),對于給定的ε>0,存在正的常數(shù)n0,當(dāng)n≥n0時(shí),有

(46)

由定義1的條件m和式(38)得

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

設(shè)vJ∈SJ,其中,J≥2為任意確定的正整數(shù).那么,對于n≥J,有

(54)

此外,利用定義1的條件k,l,式(48)和式(49),H?lder不等式和Lebesgue控制收斂定理,可以得到

(55)

再由式(47),有

(56)

對式(56)兩邊取極限n→,根據(jù)式(51),(54),(55),有

(58)

將式(55)中的vJ替換為PJv,并在等式兩邊取極限J→,從式(56)得到

因此,定理1成立.

參考文獻(xiàn)：

[1]BERESTYCKI H,DE FIGUEIREDO D G.Double resonance in semilinear elliptic problems[J].Communications in Partial Differential Equations,1981,6(1):91-120.

[2]SHAPIROVL.Quasilinearitybelowthe1steigenvalue[J].ProceedingsoftheAmericanMathematicalSociety,2001,129(7):1955-1962.

[3]RUMBOSAJ,SHAPIROVL.JumpingnonlinearitiesandweightedSobolevspaces[J].JournalofDifferentialEquations,2005,214(2):326-357.

[4]RUMBOSA.Asemilinearellipticboundaryvalueproblematresonancewherethenonlinearitymaygrowlinearly[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,1991,16(12):1159-1168.[5]LEFTONLE,SHAPIROVL.Resonanceandquasilinearparabolicpartialdifferentialequations[J].JournalofDifferentialEquations,1993,101(1):148-177.

[6]SHAPIROVL.Resonance,distributionsandsemilinearellipticpartialdifferentialequations[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,1984,8(8):857-871.

[7]趙美玲,賈高.加權(quán)Sobolev空間中奇異擬線性橢圓方程共振問題[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,34(6):598-603.

[8]JIAG,SUND.Existenceofsolutionsforaclassofsingularquasilinearellipticresonanceproblems[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,2011,74(10):3055-3064.[9]SHAPIROVL.Specialfunctionsandsingularquasilinearpartialdifferentialequations[J].SIAMJournalonMathematicalAnalysis,1991,22(5):1411-1429.

[10]SHAPIROVL.Singularquasilinearityandhighereigenvalues[M].RhodeIsland:AmericanMathematicalSociety,2001.

[11]KESAVANS.Topicsinfunctionalanalysisandapplications[M].NewYork:JohnWiley&Sons,1989.

(編輯:石瑛)

Resonance Problem of a Quasilinear Elliptic Quation with Superlinear Nonlinearities

HUANG Chen,JIA Gao,HUANG Lina

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：The resonance problem of a quasilinear elliptic equation with superlinear nonlinearities were focused.By establishing the relationship between the quasilinear operators and linear operators,according to the Shapiro-type compact embedding theorem and Brouwer’s theorem,the existence of solutions of the approximate equation was revealed.With the help of the Sobolev theory,Fatou’s Lemma and Lebesgue dominated convergence theorem,the uniform boundness of the approximate solutions was proved.By using the projection technique and the Galerkin method,the existence of nontrivial solutions of the resonance problem was revealed.

Keywords：weighted Sobolev space; quasilinear elliptic equation; superlinear growth

文章編號：1007-6735(2016)03-0205-06

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.03.001

收稿日期：2015-05-17

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171220);滬江基金資助項(xiàng)目(B14005)

通信作者：賈高(1960-),男,教授.研究方向:非線性分析及其應(yīng)用.E-mail:gaojia89@163.com

中圖分類號：O 175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

第一作者： 黃晨(1991-),男,碩士研究生.研究方向:非線性分析及其應(yīng)用.E-mail:1285612283@qq.com