五元函數(shù)全微分求積

張勇軍

(海南大學信息科學技術學院，?？?570228)

全微分是多元函數(shù)微分學中的一個非常重要的概念，它反映了多元函數(shù)值的增量、各自變量的增量以及偏導數(shù)之間的關系。通過多元函數(shù)的全微分，在一定條件下可以求得滿足一定關系的函數(shù)解析式，從而得出各變量之間的關系，這對于求解全微分方程所建立的數(shù)學模型是一種行之有效的方法。文獻［1－5］中已給出二、三、四元函數(shù)全微分求積的概念、定義、條件、定理和方法;文獻［6－12］中分別對二、三、四元函數(shù)的全微分求積問題進行了進一步的演繹、推理、歸納、總結，并給出了關于二、三、四元函數(shù)全微分求積的幾種具體方法。本文在二、三、四元函數(shù)全微分求積問題的基礎上，對五元函數(shù)的全微分求積問題進行研究。

1 五元函數(shù)全微分求積

1.1 五維空間曲線積分與路徑無關的定義

定義 1 設 G 是一個五維空間區(qū)域:P(x，y，z，h，l)，Q(x，y，z，h，l)，R(x，y，z，h，l)，H(x，y，z，h，l)、L(x，y，z，h，l)。對于在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，滿足下列條件之一都成立:

① 如果對于G內(nèi)任意指定的2點A，B以及G內(nèi)從A到B的任意2條曲線Γ1、Γ2，則等式

成立。

②如果沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分(C在G內(nèi))有

成立，則稱空間曲線積分∫ΓPdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl在G內(nèi)與路徑無關，否則與路徑有關。

1.2 定理及證明

定理 1 設空間區(qū)域 G 是一個五維單連通域，函數(shù) P(x，y，z，h，l)，Q(x，y，z，h，l)，R(x，y，z，h，l)，H(x，y，z，h，l)和 L(x，y，z，h，l)在區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，則下面的 4 個命題等價:

①對于G內(nèi)的任意一條光滑(或者分段光滑)閉曲線C，滿足

② 曲線積分∫ΓPdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl與路徑無關;

③ 存在 G 上的可微函數(shù) U(x，y，z，h，l)，使得 dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl，即 Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl為 U(x，y，z，h，l)的全微分;

證明 ①?②

設A，B為G內(nèi)任意2點，Γ1和Γ2是G中從A到B的任意2條路徑，則C=Γ1+(－Γ2)就是G中的一條封閉曲線。因此

于是有

即曲線積分與路徑無關。

證明 ②?③

取一定點(x0，y0，z0，h0，l0)∈G，作函數(shù)

這里，沿從(x0，y0，z0，h0，l0)到(x，y，z，h，l)的任意路徑積分。由于曲線積分與路徑無關，因此 U(x，y，z，h，l)有確定意義。根據(jù)積分中值定理有

其中0＜θ＜1。因此有

同理有

因此，在G內(nèi)dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl成立。

證明 ③?④

因存在G上的可微函數(shù)U，使得dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl，那么

又由于函數(shù) P(x，y，z，h，l)、Q(x，y，z，h，l)、R(x，y，z，h，l)、H(x，y，z，h，l)和 L(x，y，z，h，l)在 G 內(nèi)具有 1 階連續(xù)的偏導數(shù)，那么

證明 ④?①

對于包含在G內(nèi)的光滑(或分段光滑)閉合曲線Γ，設它所包圍的區(qū)域為～D。根據(jù)在R5中的Stokes公式得:

2 定理1成立下的五元函數(shù)解求法

2.1 空間曲線積分解求法

當定理1成立時，此函數(shù)(不計常數(shù)之差)可用下式求出

或用定積分表示為

其中 M0(x0，y0，z0，h0，l0)為 G 內(nèi)某一定點，M(x，y，z，h，l)∈G。

2.2 不定積分原函數(shù)法

將式(1)～(4)聯(lián)立方程組，可得:

又設

將式(9)分別代入式(6)～(8)，化簡可得:

再設

將式(13)分別代入式(11)、(12)，化簡得:

聯(lián)立式(14)、(15)解出 φ3(h，l)，然后依次回代解出 φ2(z，h，l)，從而得出 φ1(y，z，h，l)，進而得出 U(x，y，z，h，l)。

2.3 全微分方程的分部微分法

2.3.1 湊微分法(分項組合法)

因dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl，若存在有限個函數(shù)Ui(i=1，2，…，n)屬于dU=dU1+dU2+…+dUn時，則必有

其中 Pi、Qi、Ri、Hi、Li，i=1，2，…，n 為函數(shù)。

2.3.2 拆微分法(拆項微分法)

將等式dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl右邊的各微分式拆開分別積分，劃去相同項(相同項只取1項)即可。

3 結束語

推導了五元函數(shù)全微分求積的4種不同方法，這些方法對于一般題目的求解都可行。實際解答時，可根據(jù)題目具體特點來選擇較為簡潔的方法進行求解。

［1］同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學:下冊［M］.6版.北京:高等教育出版社，2007.

［2］同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學:下冊［M］.5版.北京:高等教育出版社，2002.

［3］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析:下冊［M］.2版.北京:高等教育出版社，1991.

［4］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析:下冊［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001.

［5］陳紀修，於崇華，金路.數(shù)學分析:下冊［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［6］張勇軍.基于四元函數(shù)全微分求積研究［J］.海南大學學報:自然科學版，2011，29(4):309－312.

［7］張勇軍，智霞.基于三元函數(shù)全微分求積研究［J］.海南大學學報:自然科學版，2010，28(4):294－297.

［8］張勇軍.二元函數(shù)的全微分求積［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2010(5):111－114.

［9］劉浩榮.關于二元函數(shù)全微分求積中積分路徑的選取問題［J］.高等數(shù)學研究，1997(1):18－19.

［10］馮錄祥，閻恩讓.二元函數(shù)求積的一個簡單方法［J］.高等數(shù)學研究，2009，12(2):48－50.

［11］資治科.全微分方程不定積分解法及其證明［J］.高等數(shù)學研究，2002(2):20－21.

［12］吳緒權.二元函數(shù)的全微分求積問題［J］.大眾科學，2007(4):25.