數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

蘇學(xué)中

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維的重要途徑之一，初中階段，學(xué)生的思維已經(jīng)開始逐漸由形式思維向辯證思維過渡，而初中數(shù)學(xué)相較于小學(xué)數(shù)學(xué)更加抽象，數(shù)學(xué)思想方法的滲透更加應(yīng)該得到重視，它不僅是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要溝通紐帶，它直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，能促進(jìn)學(xué)生思維活動(dòng)中的不斷創(chuàng)新。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想是十分重要的。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；重要意義；分類

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的作用，既能提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，又能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的根本思想和方法，是學(xué)生打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)中，又產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，教師要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力?？梢姡跀?shù)學(xué)教學(xué)中既要重視對(duì)知識(shí)的傳授，更要重視數(shù)學(xué)新思想方法的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展。那么如何看待數(shù)學(xué)思想方法呢？

一、數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的重要意義

1.有利于學(xué)生數(shù)學(xué)理解力的增強(qiáng)

數(shù)學(xué)思想方法具有相對(duì)穩(wěn)定的特征，是在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展中提煉出的思想，因此，只有讓學(xué)生懂得最基本的原理，才能使學(xué)生更加深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，亦即數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中有著至關(guān)重要的作用，它能使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，

提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

2.有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可使學(xué)生具有數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)思維意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。初中時(shí)期的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)直接影響著學(xué)生的思維水平發(fā)展和數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀念，為學(xué)生打下良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。不難發(fā)現(xiàn)，生活中有些數(shù)學(xué)知識(shí)甚至沒什么用的機(jī)會(huì)，但是數(shù)學(xué)思想方法卻長期存在于生活中，并發(fā)揮著獨(dú)特的作用，而新課改又十分強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力，可見，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是勢在必行的教學(xué)改革。

3.有利于教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變

由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)過于繁多，導(dǎo)致教學(xué)中仍有一些教師以“傳授”方法為主，過于強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的識(shí)記和技能的訓(xùn)練，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想方法不能得到很好的訓(xùn)練，忽略了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)思想方法的提煉，使得數(shù)學(xué)教學(xué)不能得到本質(zhì)的提高。而今新課程要求教師必須轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，堅(jiān)持以學(xué)生為本，關(guān)注教學(xué)實(shí)施過程，積極地把數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用于教學(xué)中的重難點(diǎn)掌握中，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。這種教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變是新課程的要求，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求，它能促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)，會(huì)探究，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。

二、數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)中常用的幾種形式

1.數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念就是“數(shù)”與“形”，是學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的重要方法。華羅庚先生說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”而在數(shù)學(xué)思維形成的過程中，形象思維是先驅(qū)，邏輯思維是中心，只有將二者結(jié)合起來，才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成具體的數(shù)學(xué)思維?？梢?，在教學(xué)中重視數(shù)形結(jié)合的思想方法既有利于提高學(xué)生的形象和邏輯思維，又能促使學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法去解決問題。其作用有以下幾點(diǎn)：

（1）有利于幫助學(xué)生理解知識(shí)

如，求不等式的解集尤其是不等式組的解集時(shí)，用數(shù)軸表示解集，能使學(xué)生更加直觀地去理解，也較容易獲得答案。

（2）有利于幫助學(xué)生識(shí)記知識(shí)

如，數(shù)軸可以表示每一個(gè)有理數(shù)，借助數(shù)軸上每個(gè)有理數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以比較其大小，也可以借助數(shù)學(xué)引導(dǎo)學(xué)生去理解絕對(duì)值和相反數(shù)的概念，利于數(shù)軸表示不等式解集等，這樣可以使學(xué)生獲得更多直觀的形象感知，便于學(xué)生識(shí)記和理解。

（3）有利于學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題

如題：如果∠A是銳角，那么sinA+cosA的值可以是：（________

①等于1；②小于1；③大于1；④不確定）

此題是通過構(gòu)造直角三角形使數(shù)量關(guān)系明顯化，進(jìn)而尋求解題的思路。

可見，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題，不僅能使復(fù)雜化的數(shù)學(xué)問題得以簡單化、抽象的問題得以具體化，更能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。通過對(duì)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用可以幫助學(xué)生尋求更多角度、層次的解題方法和途徑，有利于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2.化歸思想方法

化歸思想廣泛地應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題中，主要是通過轉(zhuǎn)化把復(fù)雜難懂的問題變成簡單易理解的過程，讓學(xué)生通過化歸提高對(duì)知識(shí)的認(rèn)知，提高解題能力。如，化歸思想方法在代數(shù)方程求解中被廣泛應(yīng)用，是解決方程或是方程組的基本數(shù)學(xué)思想?；瘹w思想在幾何中也處處存在，如，在斜三角形中，通過做其中一個(gè)邊上的高，把問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的解。這樣的例子數(shù)不勝數(shù)，通過化歸思想有利于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化難為易，提高學(xué)生的解題能

力，但要注意的是轉(zhuǎn)化的問題一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化。

3.方程思想方法

方程思想是初中數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中考解題中處處可見。

例1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∠ADC=130°，那么∠CAB的大小是（ ）

①80° ②20° ③50° ④30°

解：設(shè)∠CAB=x，∵DA是∠BAC的平分線，

∴∠CAD=■x

∵AB=AC

∴∠ACD=■（180°-x）

由此得出方程■x+■（180°-x）+130°=180°

解方程得x=20°，即∠CAB=20°，故選④。

分析：通過把數(shù)學(xué)問題抽象為方程，也就是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，有利于培養(yǎng)學(xué)生的建模思想。滲透方程思想，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。

4.函數(shù)思想方法

運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化、解決問題是函數(shù)思想的核心。運(yùn)用函數(shù)形式去關(guān)聯(lián)各個(gè)數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，從而尋求問題的解題途徑，善于挖掘題目中的隱含條件是靈活運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。函數(shù)所涉及的知識(shí)點(diǎn)非常多、面非常廣，而一些學(xué)生對(duì)函數(shù)思想總是無法靈活運(yùn)用，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思想需要教師不斷地加強(qiáng)教學(xué)。

例2.某商場銷售一批玉鐲，平均每天銷售20只，每只的盈利是40元，商場為了獲得更大的利益，減少庫存量，開始進(jìn)行降價(jià)促銷。在促銷中發(fā)現(xiàn)，每只降價(jià)1元，可以多銷售2只。（1）如果每天的平均盈利是1200元，那么應(yīng)該降價(jià)多少？（2）每只降價(jià)多少時(shí)，其平均每天的盈利最多？

分析：此題第一個(gè)小問題可以直接運(yùn)用方程思想方法，把問題轉(zhuǎn)化成方程進(jìn)行求解，又可以通過函數(shù)思想，通過建立兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成方程求解，進(jìn)行解答。第二個(gè)問題則必須通過函數(shù)關(guān)系的建立進(jìn)行求解。通過本題的分析，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過二者的結(jié)合來解決實(shí)際問題，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

5.分類討論思想方法

分類討論是初中數(shù)學(xué)中一種重要的解題策略，在初中數(shù)學(xué)中被廣泛地應(yīng)用，它可以讓學(xué)生在解決問題的時(shí)候化抽象為具體，

化整為零，讓學(xué)生把受制約的數(shù)學(xué)問題各個(gè)擊破。分類討論思想屬于邏輯劃分范疇，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的分類討論，有利于提高學(xué)生的分析和解決問題的能力。

例3.如果一等腰三角形一腰上的中線周長為9 cm和12 cm，求此等腰三角形底和腰的長。

討論：在已知條件中并沒有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此存在著兩種結(jié)果：若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長是xcm，底邊長為ycm，可得x+■x=9

■x+y=12或x+■x=12

■x+y=9解得x=6

y=9或x=8

y=5

即：當(dāng)腰長是6 cm時(shí)，底邊長是9 cm；當(dāng)腰長是8 cm時(shí)，底邊長是5 cm。

分析：此分類討論是等腰三角形中求邊的分類討論，此題給出兩個(gè)已知條件，但是并沒有明確指出條件的指向，因此，進(jìn)行分類討論是全面解題的要求。在解題中還要考慮三角形的性質(zhì)（兩邊之和大于第三邊）來進(jìn)行分類討論，不僅使學(xué)生更加主動(dòng)地去聯(lián)系各個(gè)知識(shí)，而且提高了學(xué)生分析問題的能力，更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化的掌握。

通過上述思想方法的舉例總結(jié)，不難發(fā)現(xiàn)每種思想方法都不是孤立存在的，它們之間都有著千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系，如運(yùn)用函數(shù)思想解題的時(shí)候，往往可以借助數(shù)形結(jié)合和函數(shù)圖象進(jìn)行求解?？梢姡跀?shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，不僅能提高學(xué)生的解題能力，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)

素養(yǎng)。

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑

1.在探索知識(shí)形成的過程中滲透

數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程亦是數(shù)學(xué)思想的形成過程，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)必須讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)獲得知識(shí)的思想形成，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不但要讓學(xué)生知其然，更要讓學(xué)生知其所以然，促

使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。如，在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，概念的顯著特征就是高度的抽象，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的核心。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概念教學(xué)的有效性直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，它是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，是促使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、提高學(xué)生數(shù)學(xué)思想理解能力的前提。因此，在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的先決條件。

例4.（絕對(duì)值概念教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透）

非零有理數(shù)a、b、c、d、e滿足abcde=-abcde，

求S=■+■+■+■+■的最大值。

解析：由已知條件可以知：abcde<0

∴可分為三種情況：①四個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)；②兩個(gè)正數(shù)三個(gè)負(fù)數(shù)；③五個(gè)都是負(fù)數(shù)

又∵對(duì)于任意非零的有理a，有■=1，（a>0）

-1，（a<0）

故S的最大值是四個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)得出的，也就是S最大值=4-1=3。

分析：上述例題中主要是運(yùn)用了分類數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生更加全面的解題，不遺漏任何情況。通過分類討論，讓學(xué)生獲得更加直觀的感受，一定程度上又降低了難度，有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，促進(jìn)學(xué)生實(shí)際解題能力的提高。

2.在問題解決中滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教學(xué)中問題是核心，在問題解決的過程中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的實(shí)際運(yùn)用。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化所遵循的方向，是解問題的觀念性成果，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要滲透思想方法，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思想方法去解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

例5.如下圖，已知半圓的直徑AB=4 cm，點(diǎn)C、D是半圓上的三等分，試求AC、AD和弧CD所圍成的圖形的面積S。

■

解析：初看圖形的時(shí)候，很多學(xué)生覺得很難，但是細(xì)看，是否可以運(yùn)用等級(jí)變形的思想，把要求的圖形面積轉(zhuǎn)化成與它等積的圖形進(jìn)行計(jì)算呢？那么把OC、OD連接起來，就可以得出：CD//AB

？圯S△ACD=S△OCD？圯S△陰影ACD？圯S△陰影OCD

通過這樣的轉(zhuǎn)化，所求的面積就是扇形S陰影OCD的面積，問題也就迎刃而解。

分析：通過在問題的求解中引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方

法，更能讓學(xué)生深層地認(rèn)識(shí)其作用，并促進(jìn)學(xué)生不斷強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力。

3.在知識(shí)歸納總結(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)是提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度的重要方法，也是讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的重要途徑，而數(shù)學(xué)思想方法融于每一章節(jié)的知識(shí)中，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中比較零散，很多學(xué)生不能靈活地運(yùn)用，因此，進(jìn)行單元小結(jié)或是總復(fù)習(xí)是必要的教學(xué)手段。通過對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)歸納、總結(jié)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生整體把握，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行系統(tǒng)的掌握，并提高學(xué)生對(duì)其靈活運(yùn)用的能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)思想方法貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它隱含于數(shù)學(xué)知識(shí)中，需要教師在教學(xué)中不斷地滲透，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法去思考問題，獲得問題的解決途徑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意識(shí)。

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（作者單位 河北省南宮市高村學(xué)區(qū)）