數(shù)列錯(cuò)位相減法求和新探

陳勝華

摘 要：錯(cuò)位相減法適用范圍明確，解法步驟簡(jiǎn)單，思維也很清楚，學(xué)生容易理解，可實(shí)際操作中他們卻屢用屢錯(cuò)?，F(xiàn)通過對(duì)錯(cuò)位相減法應(yīng)用構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列，導(dǎo)數(shù)求和等另類解法的探討，體會(huì)數(shù)列求通項(xiàng)、求和的思想。

關(guān)鍵詞：通項(xiàng)公式；數(shù)列求和；構(gòu)造；等差數(shù)列；等比數(shù)列

蘇教版必修5第56頁探究拓展題為：求和：Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.

教參解答為錯(cuò)位相減法：

方法一：即（1）當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+n=，

（2）當(dāng)x≠1時(shí)，Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，xSn=x+2x2+3x3+…+nxn，（1-x）Sn=1+x+x2+x3+…+xn-1-nxn=-nxn.

Sn=-故Sn=（x=1）

-（x≠1）

這就是“錯(cuò)位相減法”的問題，即：若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，對(duì)于Sn=a1b1+a2b2+…anbn的求和問題。錯(cuò)位相減法適用范圍明確，解法步驟簡(jiǎn)單，思維也很清楚，學(xué)生容易理解，可實(shí)際操作中他們卻屢用屢錯(cuò)。通過對(duì)錯(cuò)位相減法應(yīng)用構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列，導(dǎo)數(shù)求和等另類解法的探討，體會(huì)數(shù)列求通項(xiàng)、求和的思想。

現(xiàn)對(duì)x≠1時(shí)應(yīng)用其他方法

方法二：由a1=1，通項(xiàng)公式an=Sn-Sn-1=nxn-1（n≥2）構(gòu)造

等差數(shù)列Sn-（An+B）xn=Sn-1+（A（n-1）+B）xn-1，

即Sn+n+xn=Sn-1+（n-1）+xn-1，

又S1++x=1++x=+，

故Sn=+-n+xn=++=

-+.

在求和時(shí)，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，我們就可以用相應(yīng)的方法求和。

（作者單位 廣東省深圳市松崗中學(xué)）