陳勝華
摘 要:錯位相減法適用范圍明確,解法步驟簡單,思維也很清楚,學生容易理解,可實際操作中他們卻屢用屢錯?,F(xiàn)通過對錯位相減法應用構造等差數(shù)列、等比數(shù)列,導數(shù)求和等另類解法的探討,體會數(shù)列求通項、求和的思想。
關鍵詞:通項公式;數(shù)列求和;構造;等差數(shù)列;等比數(shù)列
蘇教版必修5第56頁探究拓展題為:求和:Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.
教參解答為錯位相減法:
方法一:即(1)當x=1時,Sn=1+2+3+…+n=,
(2)當x≠1時,Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,xSn=x+2x2+3x3+…+nxn,(1-x)Sn=1+x+x2+x3+…+xn-1-nxn=-nxn.
Sn=-故Sn=(x=1)
-(x≠1)
這就是“錯位相減法”的問題,即:若an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,對于Sn=a1b1+a2b2+…anbn的求和問題。錯位相減法適用范圍明確,解法步驟簡單,思維也很清楚,學生容易理解,可實際操作中他們卻屢用屢錯。通過對錯位相減法應用構造等差數(shù)列、等比數(shù)列,導數(shù)求和等另類解法的探討,體會數(shù)列求通項、求和的思想。
現(xiàn)對x≠1時應用其他方法
方法二:由a1=1,通項公式an=Sn-Sn-1=nxn-1(n≥2)構造
等差數(shù)列Sn-(An+B)xn=Sn-1+(A(n-1)+B)xn-1,
即Sn+n+xn=Sn-1+(n-1)+xn-1,
又S1++x=1++x=+,
故Sn=+-n+xn=++=
-+.
在求和時,一定要認真觀察數(shù)列的通項公式,如果它能拆分成幾項的和,而這些項分別構成等差數(shù)列或等比數(shù)列,我們就可以用相應的方法求和。
(作者單位 廣東省深圳市松崗中學)