淺議在“利用均值不等式求最值問題”時(shí)的變形

肖千里

摘 要：利用均值不等式可以求解函數(shù)最值問題。有些題目可以觀察出能直接運(yùn)用公式求解，但是有些題目必須通過必要的變形才能利用均值不等式求解。此外，還得要注意均值不等式的重要條件：一正二定三等。

關(guān)鍵詞：均值不等式；最值；變形

利用均值不等式 ≥ （a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）求最值問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。它不僅要考查學(xué)生的邏輯思維能力，還要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，加之它運(yùn)用的廣泛性，如在解析幾何中求有關(guān)的最值問題就可以將其轉(zhuǎn)化為“用均值不等式求最值問題”。如：題“經(jīng)過點(diǎn)P（1，4）的直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線l的方程為

________”本題就是利用直線方程形式，把本問題轉(zhuǎn)化為“若 + =1（a>0，b>0），則a、b取何值時(shí)a+b有最小值？”來解決即可。由此可見，“利用均值不等式求最值”也將成為高考運(yùn)用的熱點(diǎn)。

“利用均值不等式求最值問題”主要的解答途徑是：

一、觀察所求函數(shù)式是否具有“和、積”的形式；

二、進(jìn)一步確定是否具備均值不等式的條件“正、定、等”；

三、通過對所求函數(shù)式進(jìn)行變形構(gòu)造均值不等式的結(jié)構(gòu)形式（“和或積”的形式），再利用其條件進(jìn)行判斷求值。

當(dāng)然第一個(gè)條件尤其重要，我今天在這里要說明的不是第一步，直接能運(yùn)用均值不等式求解的問題，而是我們不能直接運(yùn)用均值不等式時(shí)，可以通過將解析式變形后且滿足均值不等式的條件時(shí)的問題。下面我就談?wù)劇袄镁挡坏仁角笞钪怠睍r(shí)常用的一些變形方法。

一、配湊

（一）湊系數(shù)

例1.若0

解析：由00，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到3x+（6-3x）=6為定值，故只需將y=x（6-3x）湊上一個(gè)系數(shù)即可。

y=x（6-3x）= [3x·（6-3x）]≤ 2=3

所以，當(dāng)且僅當(dāng)3x=6-3x，即x=1時(shí)取等號(hào)。y=x（6-3x）的最大值為3。

點(diǎn)評：當(dāng)然，本題從解析式可知它是二次函數(shù)，也可以用二次函數(shù)求最值來解決，其條件也是非常重要的。

例2.若正數(shù)x，y滿足2x+y=8，求xy的最大值。

解析：由x>0，y>0，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，已知2x+y=8即和為定值，但不直接是變量x和y的形式，故只需將目標(biāo)式xy湊上一個(gè)系數(shù)后變形即可。

即，xy= ·2x·y≤ 2= ·16=8

點(diǎn)評：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可以利用均值不等式求最大值。

（二）湊項(xiàng)

例3.已知x< ，求函數(shù)f（x）=2x-1+ 的最大值。

解析：由題意知2x-5<0，首先要調(diào)整符號(hào)，又（2x-1）· 不是定值，故對2x-1進(jìn)行湊項(xiàng)才能得到定值。

∵x< ，5-2x>0

∴f（x）=2x-1+ =-（5-2x+ ）+6≤-2 +6=-2+6=4

當(dāng)且僅當(dāng)5-2x= ，即x=2時(shí)等號(hào)成立。

點(diǎn)評：本題既要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。分式求最值，通?；蓎=Ag（x）+ +C，（A>0，B>0），g（x）恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。

例4.當(dāng)x>3時(shí)，求 的最小值。

解析：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，其實(shí)只需將分子配方湊出含有（x-3）的項(xiàng)，再將含（x-3）的項(xiàng)分離。

= =2（x-3）+ +12≥2 +12=24

∴當(dāng)2（x-3）= 時(shí)，即x=6時(shí)，有最小值24。

例4推廣：當(dāng)x>3時(shí)，求f（x）= 的最大值。

解析：本題和上例一樣，只是直接不好變形，可設(shè)g（x）= ，由上例可知：當(dāng)x=6時(shí)，g（x）有最小值24，而f（x）= 在定義上是減函數(shù)。所以，當(dāng)x=6時(shí)，f（x）有最大值 。

點(diǎn)評：本題是典型的分式求最值（或求值域）的問題，且這種分式結(jié)構(gòu)均能用多項(xiàng)式的除法，分離其整式部分后，再如例3配湊項(xiàng)化成y=Ag（x）+ +C（A>0，B>0），g（x）恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。當(dāng)不能分離整式項(xiàng)時(shí)（這時(shí)分子的最高項(xiàng)次數(shù)小于分母最高項(xiàng)次數(shù)），可先求其倒數(shù)的最值，再求所求式子的最值。

二、整體代換

例5.已知x>0，y>0，2x+y=1求 + 的最小值。

解析：不妨將 + 乘以1，而1用2x+y代換。

（ + ）·1=（ + ）·（2x+y）=2+ + +1=3+ + ≥3+2 =3+2

當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)取等號(hào)，由 =

2x+y=1得y= -1

x=1-

∴當(dāng)y= -1

x=1- 時(shí)， + 的最小值為3+2 。

點(diǎn)評：本題巧妙運(yùn)用“1”的代換，得到 + =3+ + ，而

與 的積為定值，即可用均值不等式求得 + 的最小值。

當(dāng)然，“代換”也是“換元法”之說，在求函數(shù)的最值、值域等相關(guān)問題時(shí)常用到，特別是在一些與解析幾何相關(guān)的問題當(dāng)中用得到，與這里的“整體代換”是將特別的“1”用“式”進(jìn)行代換，它們有異曲同工之用處。

三、消元

例6.已知x>0，y>0，2x+y=1求 + 的最小值。

解析：由2x+y=1得y=1-2x ∴ + =

又∵ = =2（x-1）+ +3

由2x+y=1可知x<1

∴ =2（x-1）+ +3≤-2 +3=3-2

∴ + = ≥ =3+2

點(diǎn)評：此類問題可由已知條件消元代入拼湊成y=ax+ （a>0，b>0）求最值。當(dāng)然，這類變形相對來說比較復(fù)雜，但它的實(shí)用性是比較強(qiáng)的。比較此題和例5，方法上看，例5要簡單，例6要復(fù)雜，但對于大多數(shù)學(xué)生來說有一定的難度。如：把本題條件“x>0，y>0，2x+y=1，”變?yōu)椤皒>0，y>0，2x+y=2”就難以想到用“1”進(jìn)行“整體代換”了，那這時(shí)采用“消元法”相對來說是可以行得通的。當(dāng)然，若真融會(huì)貫通當(dāng)然是可以解決的，只需把“x>0，y>0，2x+y=2”轉(zhuǎn)化為“x>0，y>0，x+ =1”來解決問題。

再如以上的例2，“若正數(shù)x，y滿足2x+y=8，求xy的最大值”也可用此“消元法”來解。

解析：由2x+y=8得y=8-2x xy=x（8-2x）=-2（x-2）2+8

因?yàn)閤>0，所以xy在x=2時(shí)有最大值8。

總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，大家都注意到它滿足的三點(diǎn)：（1）“正”即兩項(xiàng)必須都是正數(shù)；（2）“定”即求兩項(xiàng)和的最小值，它們的積應(yīng)為定值；求兩項(xiàng)積的最大值，它們的和應(yīng)為定值；（3）“等”即用均值不等式求最值時(shí)，一定要使和（或積）的各項(xiàng)相等且等號(hào)成立的條件必須存在。但是我們的問題并不是能直接運(yùn)用得上“均值不等式”，它都需要我們進(jìn)行分析后才能考慮在什么情況下能用，所以我們在解決此類問題時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。因此，我們要想掌握好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，只要多加觀察、靈活變通，我們就能做到“事半功倍”。

（作者單位 甘肅省甘南州合作藏族中學(xué)）