含有絕對值的二次函數(shù)最值求解問題

夏良娟

2009年江蘇省高考題最后一題考了含參帶有絕對值的二次函數(shù)，本質是含有絕對值的二次函數(shù)最值求解問題，重點考查了分類討論、數(shù)形結合的思想。此類題目有一定的綜合性與靈活性，學生解決此類問題往往感到有一定的困難。在教學過程中，我對這類題目進行了小結，總結了兩種方法。

二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)之一，它有著豐富的內(nèi)容，對近代數(shù)學乃至現(xiàn)代數(shù)學影響深遠，與二次函數(shù)有關的含有絕對值不等式的證明問題有一定的綜合性與靈活性，學生解決此類問題往往感到有一定的困難。本文通過幾個例子，歸納解決這類問題的一些常見題型與基本方法。

例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。

解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a

3x2-2ax+a2，x≥a

注意函數(shù)在x=a處相接，分段時兩側都取閉區(qū)間，以防止有一側無最值。

法一：分段求各部分的最小值，再比較。

當x≥a時，如圖1所示。若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a處取得，f（x）min=f（a）=2a2；若a<，即a<0，f（x）的最小值在

x=處取得，f（x）min=f（）=a2；

當x≤a時，如圖2所示。若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在

x=-a處取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a<-a，即a<0，f（x）的最小值在x=a處取得，f（x）min=f（a）=2a2。

這種方法是大部分學生所喜歡采用的方法，可是做到這里之后就結束了，不知道或不會綜合，難以寫出最終答案。由于f（x）分段，故需比較各段上的最小值，可以通過畫數(shù)軸的方法得出最后的結論。

當a<0時，a2<2a2，f（x）min=f（）=a2；

當a≥0時，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.

綜上，f（x）min=a2，a<0

-2a2，a≥0

法二：討論a的位置，畫出完整的對接圖形，由圖直接得出最小值。由于對稱軸是，-a，它們與a的分界點為a=0。若不能直接得到，則令=a，-a=a，找到分界點a=0。一般有兩個，此題較特殊，只有一個。

當a≥0時，

當a<0時，

由圖3可知，當a≥0時，f（x）min=f（-a）=-2a2；當a<0時，f（x）min=

f（）=a2.

（a的取值范圍與對稱軸比較大小時，可在范圍內(nèi)任取一個看大?。?/p>

這兩種方法各有優(yōu)缺點，各位同學可以根據(jù)自己掌握的情況選擇一種方法重點掌握。利用你所掌握的方法試著解這道題目：求g（x）=x2+x-a+1的最小值。

（作者單位 江蘇省鎮(zhèn)江中學）