反函數(shù)問題的逆向思維處理法

張建新

摘 要：在反函數(shù)問題的解題中，若利用原函數(shù)與反函數(shù)的性質(zhì)，逆向思維可以很簡便地解決問題。

關(guān)鍵詞：反函數(shù)；函數(shù)；逆向思維

反函數(shù)問題是高考的考點之一，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，

考查反函數(shù)的求法以及互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系等問題。在反函數(shù)問題中，先求出反函數(shù)的解析式，再來解決問題屬通性通法，但并不是所有的與反函數(shù)相關(guān)的問題都要求出反函數(shù)。若不求反函數(shù)的解析式，利用函數(shù)與反函數(shù)之間的性質(zhì)，采用逆向思維法可迅速、簡便、清晰地處理問題。

例1：設(shè)f（x）=，g（x）=f-1（x+1）的圖像與h（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則h（3）的值為（ ）

A.3 B. C.5 D.

解析：解法1（直接對照法）：由y=得x=，

∴f-1（x）= ∴g（x）=f-1（x+1）=

又因為g（x）與h（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱，∴h（x）是g（x）的反函數(shù).由x=解得h（x）= ∴h（3）==.故選B.

解法2（逆向思維法）：設(shè)h（3）=t，則點（3，t）在函數(shù)h（x）的圖像上，由于g（x）與h（x）互為反函數(shù)，∴點（t，3）在g（x）的圖像上，點（t+1，3）在f-1的圖像上，∴點（3，t+1）在y=f（x）=的圖像上，∴t+1=，∴t=故選B.

例2設(shè)f（x）=4x-2x+1，則f-1（0）=_____

解析：解法1（直接對照法）：令y=4x-2x+1，則22x-2.2x-y=0，∵

2x>0，∴2x=1+，∴x=log2（1+），∴f-1（0）=1.

解法2（圖像法）：利用原函數(shù)與它的反函數(shù)圖像之間的關(guān)系，設(shè)f-1（0）=m，則（0，m）是反函數(shù)圖像上的點，因此，（m，0）是原函數(shù)圖像上的點，得4m-2m+1=0，解得m=1，∴f-1（0）=1.

例3：設(shè)f-1（x）是函數(shù)f（x）=（ax-a-x）（a>1）的反函數(shù)，則使f-1（x）>1成立的x的取值范圍是（ ）

A.（，+∞） B.（-∞，）

C.（，a） D.[a，+∞）

解析：解法1（直接對照法）：由f（x）=（ax-a-x）（a>1）得f-1（x）=loga（x+）（x∈R），代入不等式f-1（x）>1，得x+>a，解此不等式得x>.故選A.

解法2（逆向思維法）：∵f（x）為增函數(shù)，由f-1（x）>1得f[f-1（x）]>f（1）∴x>（a-a-1）=

即x>（a-a-1）=故選A.

例4：函數(shù)y=（x∈（-1，+∞）的圖象與其反函數(shù)的圖像的交點為__________.

解析：解法1（直接對照法）：由y=（x>-1）解得x=，由x>-1得x=>-1，解得y<2，∴反函數(shù)為y=（x<2）.

由y=（x>-1）

y=（x<2）解得x=0，

y=0.或x=1，

y=1.

∴所求交點為（0，0）和（1，1）.

解法2（逆向思維法）：由于y=在x∈（-1，+∞）遞增，其圖象與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，并且兩圖象的交點必在直線y=x上.∴由y=，

y=x.解得x=0，

y=0.或x=1，

y=1.

從而兩個函數(shù)圖象的交點就是（0，0）和（1，1）.

反思：比較以上各例的兩種解法可知：先求出反函數(shù)的解析式，再來解決問題，此種解法運算量大且費時費力，若在解題中利用逆向思維法，充分利用原函數(shù)與其反函數(shù)之間的性質(zhì)，將問題靈活轉(zhuǎn)化，可達到事半功倍效果。

（作者單位 甘肅省臨澤縣第一中學）