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    圓錐曲線“準(zhǔn)點”性質(zhì)的應(yīng)用

    2013-07-29 15:46:40胡世雄
    新課程學(xué)習(xí)·中 2013年5期
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)點應(yīng)用

    胡世雄

    摘 要:圓錐曲線是高考必考的內(nèi)容,其中圓錐曲線的性質(zhì)更是考試的熱點。就圓錐曲線中的焦點、頂點、準(zhǔn)點來說明曲線中的特殊點是中學(xué)考試和研究的重點和熱點。由于它們?nèi)菁{了圓錐曲線的基本屬性,因而也倍受高考命題者的青睞和關(guān)注。從高考圓錐曲線試題來看,涉及這方面內(nèi)容的考題不勝枚舉,圓錐曲線中的“三點”有著深厚的文化底蘊(yùn)和廣泛的知識背景,但是中學(xué)教材只有圓錐曲線的焦點、頂點的定義,下面就此來研究一下圓錐曲線“準(zhǔn)點”性質(zhì)在解決一些圓錐曲線問題中的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)點;準(zhǔn)焦三角形;橫向型圓錐曲線;應(yīng)用

    一、相關(guān)的定義及性質(zhì)

    定義1:圓錐曲線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點叫準(zhǔn)點。

    定義2:過圓錐曲線的準(zhǔn)點作一直線與圓錐曲線交于兩點,這兩點與其準(zhǔn)點相對應(yīng)的焦點所組成的三角形叫準(zhǔn)焦三角形。

    定義3:焦點在橫軸上的圓錐曲線叫橫向型圓錐曲線。

    通過探究我們很快發(fā)現(xiàn)橫向型圓錐曲線的準(zhǔn)點具有如下性質(zhì):

    定理1:已知l是經(jīng)過橫向型圓錐曲線的準(zhǔn)點E(m,0)所作的斜率為k或傾斜角為θ的直線,且直線l與圓錐曲線交于A,B兩點,F(xiàn)(n,0)是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點,焦準(zhǔn)距為p,離心率為e(m,n≠0),則:

    (1)AB= = (e2≥k2或e2≥tan2θ);

    (2)若( , )=β則當(dāng)k

    上時取負(fù));

    (3)S△ABF= ;

    (4) · = ;

    (5) · = .

    證明過程詳見文

    由定理中(1)、(2)又可以分別得到如下推論:

    推論1:若E是離心率為e的橫向型圓錐曲線Γ的準(zhǔn)點,經(jīng)過E作斜率為k的直線l,則:

    (1)l與Γ相離的充分必要條件是e2

    (2)l與Γ相切的充分必要條件是e2=k2;

    (3)l與Γ相交的充分必要條件是e2>k2.

    推論2:設(shè)F是離心率為e的橫向型圓錐曲線Γ的焦點,E是與焦點F相對應(yīng)的準(zhǔn)點,經(jīng)過E點作斜率為k的直線與圓錐曲線交于A,B兩點,則 · =0的充分必要條件是e2=2k2.

    通過進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),過準(zhǔn)點的直線與過對應(yīng)焦點的直線斜率存在如下關(guān)系:

    定理2:經(jīng)過離心率為e的橫向型圓錐曲線準(zhǔn)點E的直線與圓錐曲線的一個交點是Q,F(xiàn)是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點,若直線QE的斜率為k1(或傾斜角為θ1),直線QF的斜率為k2(或傾斜角為θ2),則 - =1或tan2θ1·csc2θ2=e2.

    證明:可設(shè)QE的方程為y=k1(x-m),直線QF的方程為y=k2(x-n),將兩個方程聯(lián)立得點Q的橫坐標(biāo)為 .

    代入(1+k2-e2)x2+(2me2-2n-2mk2)x+m2k2+n2-m2e2=0中并化簡:

    e2k22(m-n)2-k12(m-n)2=k12k22(m-n)2,e2k22-k12=k12k22.

    兩邊同時除以k12k22得:

    - =1或e2cot2θ1-cot2θ2=1?圯e2cot2θ1=csc2θ2?圯tan2θ1·csc2θ2=e2.

    又當(dāng) · =0時,kQF=- ?圳k2=- ,因而 -k12=1?圯k14+k12=e2.

    由此,又可以得到如下推論:

    推論3:經(jīng)過離心率為e的橫向型圓錐曲線準(zhǔn)點E的直線與圓錐曲線的一個交點是Q,F(xiàn)是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點,若直線QE的斜率為k, · =0,則k4+k2=e2.

    又因為kQF=- 所以我們又可得到:

    推論4:經(jīng)過離心率為e的橫向型圓錐曲線準(zhǔn)點E的直線與圓錐曲線的一個交點是Q,F(xiàn)是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點,若直線

    QF的斜率為k, · =0,則 + =e2.

    由于圓錐曲線的“三點”蘊(yùn)含著豐富的性質(zhì),因而其應(yīng)用就相當(dāng)廣泛,為此下面就舉幾個例子.

    二、性質(zhì)的應(yīng)用

    例1.經(jīng)過雙曲線 -y2=1的左準(zhǔn)點E,作雙曲線的切線L,求直線L的方程.

    解:∵a= ,b=1,c=2,e= , = ,∴左準(zhǔn)點E(- ,0),由推論1得直線L的斜率k=±e=± ,故所求切線L的方程為y=± (x+ ).

    例2.經(jīng)過橢圓= + =1(a>b>0)的左準(zhǔn)點,作斜率為 的直線與橢圓相交于A,B兩點,F(xiàn)是在橢圓的左焦點,若( , )=60°且橢圓過點A(3, ),求橢圓的方程.

    解:由題易知: + =1,再由定理1中cosβ= 可得:cos60°= ?圯e2=

    ∴c2= a2,b2= a2代入 + =1中得:a2=18,b2=10

    所以所求橢圓方程為 + =1.

    例3.E是雙曲線 - =1的左準(zhǔn)點,F(xiàn)是左焦點,P是雙曲線上的一點,若直線PF的斜率為 ,求直線PE的方程.

    解:由題知:a=2,b= ,c=3,e= ,由定理2得 -

    =1,解得kPE=± ,而E( ,0),所以直線PE的方程為y=± (x- ).

    例4.已知橢圓 + =1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),過點E( ,0)的直線與橢圓相交與A,B兩點,且F1A∥F2B,F(xiàn)1A=2F2B.

    (1)求橢圓的離心率;(2)求直線AB的斜率;

    (3)設(shè)點C與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,直線F2B上有一點

    H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圓上,求 的值.

    解:(1)由F1A∥F2B且F1A=2F2B,得 = =

    ,從而 = ,故離心率e= = .

    (2)由(1)知a2=3c2,b2=2c2,e2= ,∴準(zhǔn)點E(3c,0),所以橢圓的方程可寫為2x2+3y2=6c2,再由推論1可知:直線AB與橢圓相交的充分必要條件是e2>k2,∴-

    設(shè)直線AB的方程為y=k(x-3c),由已知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則它們的坐標(biāo)滿足方程組y=k(x-3c)

    2x2+3y2=6c2,消去y整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.

    而x1+x2= ①

    x1x2= ②

    由題設(shè)知,點B為線段AE的中點,所以

    x1+3c=2x2 ③

    聯(lián)立①③解得:

    x1= ,x2= ,將x1,x2代入②中,解得k=± 滿足題意.

    (3)略.

    評注:在此基礎(chǔ)上可根據(jù)定理1,求出△ABF1的面積和線段AB的長等。

    以上就是與圓錐曲線準(zhǔn)點有關(guān)的幾個性質(zhì)及其應(yīng)用.實際上圓錐曲線奧妙無窮,他有著豐富的性質(zhì),只要認(rèn)真去研究,總會得出一些“蹊蹺”,因而我們要在不斷的探索中去發(fā)現(xiàn)、去認(rèn)識圓錐曲線。

    以上的性質(zhì)和推論還可以用參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程來探究,有興趣的讀者不妨試一試。

    參考文獻(xiàn):

    [1]玉邴圖.圓錐曲線“準(zhǔn)點弦”的幾個性質(zhì).數(shù)學(xué)通報,2006(3).

    [2]郭旭炯.圓錐曲線的焦點、準(zhǔn)點性質(zhì)初探.中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2009(1).

    (作者單位 江西省贛州市定南縣定南中學(xué))

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