一種基于FDTD算法的局域?qū)Рǘ丝诩?lì)

游檢衛(wèi) 張劍鋒 崔鐵軍

(東南大學(xué)毫米波國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210096)

1 引言

Yee[1]在 1966年提出一種在 Yee式網(wǎng)格上直接求解時(shí)域麥克斯韋微分方程的時(shí)域有限差分(Finite Difference Time Domain Method, FDTD)技術(shù)，其特有的時(shí)域性、穩(wěn)定性、非線性等優(yōu)點(diǎn)[2]，使其在近幾十年里飛速發(fā)展，研究對(duì)象也從傳統(tǒng)的電磁領(lǐng)域擴(kuò)展到受控核聚變、生物醫(yī)學(xué)、量子學(xué)以及多物理量耦合等諸多科學(xué)領(lǐng)域。

FDTD在電磁領(lǐng)域中的應(yīng)用主要包括電磁散射分析，電磁輻射分析，傳輸線不連續(xù)性分析等。該算法常采用的激勵(lì)源可以分為平面波激勵(lì)，線源激勵(lì)和導(dǎo)波端口激勵(lì)。對(duì)于電磁輻射和傳輸線不連續(xù)性的分析，最常采用的激勵(lì)方式是導(dǎo)波端口激勵(lì)。傳統(tǒng)的研究方法[2,3]認(rèn)為導(dǎo)波端口僅僅是一層 RF/TF(Reflect Field/Total Field Boundary, RF/TF)邊界網(wǎng)格。為了防止導(dǎo)波端口的二次反射，傳統(tǒng)方法需要將導(dǎo)波端口插入到吸收邊界當(dāng)中。對(duì)于傳輸線不連續(xù)性問題，該方法是適用的，但對(duì)于天線輻射問題，該方法會(huì)引起較大誤差。

在過(guò)去的十幾年里，對(duì)于導(dǎo)波端口激勵(lì)的研究不是很多，而且大部分研究都是基于頻域算法，其中以有限元法為主，對(duì)于基于FDTD方法的研究很少，這主要是由于時(shí)域算法對(duì)于模式提取的復(fù)雜性引起的。近幾年隨著等離子體源研究的不斷深入[4,5]以及天線/天線罩一體化時(shí)域全波分析的需求，此類問題的解決顯得更為急迫和重要，而且隨著FDTD與有限元混合算法越來(lái)越成熟，基于FDTD方法的導(dǎo)波端口激勵(lì)越來(lái)越引起了人們的注意。

針對(duì)以上問題，本文基于FDTD算法首次提出了一種通用有效的局域?qū)Рǘ丝?，該?dǎo)波端口由一層PEC邊界，多層UMPL吸收邊界和單層RF/TF邊界構(gòu)成。這種配置方式可以解決輻射問題中，導(dǎo)波端口后向泄漏，后向二次污染和遠(yuǎn)場(chǎng)外推面截?cái)鄬?dǎo)致的輻射方向圖失真等問題。

本文首先詳細(xì)論述局域?qū)Рǘ丝诘脑O(shè)計(jì)方法和端口邊界的參數(shù)配置，隨后再利用此加載方式分別對(duì)矩形波導(dǎo)的不連續(xù)性問題、角錐喇叭天線，微帶貼片天線和波導(dǎo)縫隙天線陣這些實(shí)際輻射問題進(jìn)行了計(jì)算仿真，并通過(guò)結(jié)果比較分析，論證了算法的準(zhǔn)確性和通用性，此外算法的穩(wěn)定性也在大量的實(shí)際工程應(yīng)用中得到了驗(yàn)證。

2 局域?qū)Рǘ丝诘脑O(shè)計(jì)

利用FDTD處理輻射問題時(shí)，需引入封閉吸收邊界包圍盒來(lái)模擬無(wú)限大自由輻射空間，且用封閉的遠(yuǎn)場(chǎng)外推邊界(Output Boundary, OB)來(lái)實(shí)現(xiàn)近場(chǎng)到遠(yuǎn)場(chǎng)的轉(zhuǎn)化。

為實(shí)現(xiàn)上述邊界條件的配置，本文提出一種通用有效的局域端口加載方式(如圖1(b)所示)，由圖1可知，傳統(tǒng)導(dǎo)波端口引入一層連接邊界(RF/TF)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)波端口激勵(lì)，為防止反射波的后向泄漏，將導(dǎo)波端口插入吸收邊界，但輸出邊界會(huì)被波導(dǎo)截?cái)?，遠(yuǎn)場(chǎng)外推條件不再精確成立，導(dǎo)致仿真結(jié)果存在較大誤差。局域?qū)Рǘ丝诳梢院芎玫亟鉀Q這個(gè)問題。

如圖2所示，與傳統(tǒng)建模方法不同，局域?qū)Рǘ丝谟?部分組成：?jiǎn)螌覲EC邊界，多層UPML吸收邊界和單層RF/TF邊界。單層PEC邊界有兩個(gè)作用，一是將未被吸收邊界(UPML)吸收完全的反射波二次反射實(shí)現(xiàn)二次衰減吸收，且能防止反射波通過(guò)開放端口向外界泄露，影響計(jì)算精度；二是能防止前端輻射產(chǎn)生的爬行波從導(dǎo)波端口繞射進(jìn)入天線的傳輸通道，影響天線的前端輻射。PEC邊界的實(shí)現(xiàn)方法是令邊界上的切向電場(chǎng)和法向磁場(chǎng)為零。多層 UPML的設(shè)置是吸收傳輸線不連續(xù)性產(chǎn)生的反射波，而單層 RF/TF邊界目的是將入射信號(hào)定向的引入和激勵(lì)模式的調(diào)制。

圖1 輻射問題中局域?qū)Рǘ丝谶吔鐥l件的分配

圖2 局域?qū)Рǘ丝诘慕Y(jié)構(gòu)組成

通過(guò)引入上述3種邊界，遠(yuǎn)場(chǎng)外推面可完全包裹天線結(jié)構(gòu)，外推條件精確成立，天線輻射方向圖可準(zhǔn)確計(jì)算獲得。

2.1 局域?qū)Рǘ丝赨PML參數(shù)的配置

為實(shí)現(xiàn)文獻(xiàn)[6]提出的場(chǎng)分裂數(shù)學(xué)模型，Sacks等人[7]提出了基于單軸各向異性媒質(zhì)(即UPML)。其本構(gòu)關(guān)系可以表示為

其中，參數(shù)為一個(gè)對(duì)角張量：

且張量中的各方向乘積分量可以表示為

其中參數(shù)σζ，以及κζ，配置是實(shí)現(xiàn)UPML的關(guān)鍵。對(duì)于局域?qū)Рǘ丝?，由于?dǎo)波結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁場(chǎng)傳播的單向性，不存在棱邊和鄰角UPML的重疊現(xiàn)象，所以能夠嚴(yán)格地按照單軸各向異性媒質(zhì)的參數(shù)進(jìn)行參數(shù)配置。

圖3表示的是電磁波沿坐標(biāo)軸傳播時(shí)，各方向上局域?qū)Рǘ丝赨PML的參數(shù)配置方案。設(shè)電磁波沿z軸方向傳播，沿z軸方向變化的單軸各向異性媒質(zhì)的參數(shù)可以表示為

圖3 局域?qū)Рǘ丝赨PML參數(shù)的配置方案

圖4 m =4, σz,max=1/(30 π·Δ z)時(shí) σz(z)的曲線分布

對(duì)于其它方向的參數(shù)，可配置為σx=σy=0,κx=κy=1 ，這樣配置可以保證σz(z0)=0 ，從而減少由于電導(dǎo)率不連續(xù)性產(chǎn)生的反射誤差[6-8]。

2.2 局域端口加載中RF/TF邊界的設(shè)置

與 SF/TF(Scatter Field/Total Field)邊界不同，利用導(dǎo)波結(jié)構(gòu)內(nèi)部電磁傳播的定向特性，可以將SF/TF邊界簡(jiǎn)化為RF/TF邊界。

圖5給出局域端口加載中RF/TF邊界的實(shí)現(xiàn)方法，當(dāng)電磁波沿k軸正向傳播時(shí)，需將入射磁場(chǎng)Hinc耦合到Eu的迭代，并將入射電場(chǎng)Einc耦合到Hv的迭代，且Hv比Eu沿傳播方向少半個(gè)網(wǎng)格；當(dāng)電磁波沿k軸負(fù)向傳播時(shí)，入射場(chǎng)的耦合方式相同，但此時(shí)Hv比Eu沿傳播方向多半個(gè)網(wǎng)格。具體的FDTD迭代公式可以表示為

圖5 沿k軸傳播時(shí)，RF/TF邊界的設(shè)置

上述的迭代過(guò)程可以滿足場(chǎng)迭代的一致性原理[2]，可定向無(wú)反射地引入激勵(lì)源。此外，模式激勵(lì)需對(duì)Einc和Hinc在空間上進(jìn)行位置調(diào)制，位置調(diào)制的優(yōu)點(diǎn)在于可以不需要額外的開辟一個(gè)虛擬空間迭代計(jì)算激勵(lì)模式，提高計(jì)算效率。

3 算法檢驗(yàn)

首先利用局域?qū)Рǘ丝诩夹g(shù)對(duì)不連續(xù)矩形波導(dǎo)進(jìn)行激勵(lì)和仿真，驗(yàn)證該方法對(duì)波導(dǎo)傳輸問題的有效性。此外還對(duì)幾類實(shí)際天線[8-10]和天線陣[4,11]進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證本方法對(duì)導(dǎo)波端口激勵(lì)輻射問題的有效性和準(zhǔn)確性。

3.1 不連續(xù)矩形波導(dǎo)

如圖 6(a)所示，不連續(xù)性矩形導(dǎo)波端口尺寸為22.86 mm×10.16 mm，中間介質(zhì)塊的尺寸為12 mm×14.05 mm×6 mm，激勵(lì)模式為TE10模，激勵(lì)信號(hào)為調(diào)制高斯脈沖，頻率范圍為8.2～12.5 GHz，基本剖分尺寸為空氣波長(zhǎng)λ0/20。

圖6 不連續(xù)性矩形波導(dǎo)的幾何模型和剖分結(jié)果

采用局域?qū)Рǘ丝谶M(jìn)行激勵(lì)，并將計(jì)算結(jié)果與基于有限積分方法(FIT)商業(yè)軟件的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。

圖7 主模激勵(lì)下不連續(xù)波導(dǎo)的S11計(jì)算結(jié)果

圖7中S參數(shù)的計(jì)算采用了模式提取的方法[5]，與傳統(tǒng)導(dǎo)波端口吻合的結(jié)果表明局域?qū)Рǘ丝诩夹g(shù)保持了傳統(tǒng)方法在分析波導(dǎo)不連續(xù)性問題中的有效性，后續(xù)的例子將表明本方法還修正了傳統(tǒng)方法在輻射問題中的計(jì)算誤差，驗(yàn)證了此方法的通用性和準(zhǔn)確性。此外，圖中結(jié)果與FIT結(jié)果的誤差主要是由于本方法暫未使用共形技術(shù)，因而會(huì)有一定的階梯近似誤差。

3.2 角錐喇叭天線

如圖 8(a)所示，角錐喇叭天線的矩形導(dǎo)波端口的尺寸為5 mm×2.4 mm ，輻射端口的尺寸為16.55 mm×14.05 mm，局域?qū)Рǘ丝诘膱?chǎng)型調(diào)制為TE10模，采用升余弦調(diào)制時(shí)諧信號(hào)激勵(lì)，工作頻率為35 GHz，基本剖分尺寸為空氣波長(zhǎng)λ0/20。

圖8 角錐喇叭天線的物理模型及剖分結(jié)果

同樣采用本文提出的局域?qū)Рǘ丝谶M(jìn)行激勵(lì)模擬，并與其他方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖9所示。圖中實(shí)線表示的是基于FIT的商業(yè)軟件計(jì)算結(jié)果，星線是傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果，上三角是本文方法計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，傳統(tǒng)方法由于外推面的不合理截?cái)?，?dǎo)致計(jì)算結(jié)果存在較大誤差，局域?qū)Рǘ丝诩夹g(shù)可以妥善解決這一問題，驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性。

圖9 角錐喇叭天線的局域端口加載及計(jì)算結(jié)果

3.3 同軸端口微帶貼片天線

同軸饋電微帶貼片天線的物理模型如圖 10(a)所示，同軸饋線外直徑0.5 mm，內(nèi)直徑0.2 mm，激勵(lì)模式為 TEM 模，采用升余弦調(diào)制時(shí)諧信號(hào)激勵(lì)，工作頻率為35 GHz，基本剖分尺寸為λ0/20，其中λ為介質(zhì)波長(zhǎng)。

圖10 微帶同軸饋電貼片天線物理模型及剖分結(jié)果

采用本文提出的局域?qū)Рǘ丝谶M(jìn)行激勵(lì)計(jì)算，并與其他方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，如圖 11所示。從圖11可以看出，局域?qū)Рǘ丝谠谕S饋電的天線輻射問題中也有很高的計(jì)算精度，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的有效性。

圖11 同軸饋電微帶天線的局域?qū)Рǘ丝诩虞d及計(jì)算結(jié)果

3.4 波導(dǎo)縫隙天線陣

如圖12所示，波導(dǎo)縫隙陣的單個(gè)矩形導(dǎo)波端口的尺寸為22.86 mm×10.86 mm，矩形輻射縫隙的尺寸為 1 mm×16 mm，局域?qū)Рǘ丝诘膱?chǎng)型調(diào)制為TE10，采用升余弦調(diào)制時(shí)諧信號(hào)激勵(lì)，工作頻率為10 GHz，基本剖分尺寸為空氣波長(zhǎng)λ0/20。

采用局域?qū)Рǘ丝谶M(jìn)行FDTD迭代計(jì)算，并進(jìn)行如下的遠(yuǎn)場(chǎng)結(jié)果比較。從圖中可以看出，本文方法的結(jié)果(上三角)與有限積分方法(FIT)的結(jié)果(實(shí)線)吻合較好，驗(yàn)證了本文方法在多端口激勵(lì)下的正確性，其中，本文方法的副瓣誤差主要是由非共形剖分下的階梯近似引起。此外，由于本例中天線陣的主瓣指向與導(dǎo)波端口面平行，傳統(tǒng)導(dǎo)波端口插入PML包圍盒的激勵(lì)方式會(huì)比較明顯地干擾主瓣，因而傳統(tǒng)導(dǎo)波端口在本例中的失效性更為顯著。事實(shí)上，對(duì)于諸如天線陣/天線罩一體化電性能分析等實(shí)際工程問題，天線單元或者天線陣需要插入到封閉或者半封閉的天線罩內(nèi)，此時(shí)，傳統(tǒng)導(dǎo)波端口的激勵(lì)方法是無(wú)法解決此類問題的，而本文局域?qū)Рǘ丝诘木钟蚣虞d特性能很好的解決此類問題，此方法已經(jīng)被較多的應(yīng)用到實(shí)際工程當(dāng)中，其穩(wěn)定性也在實(shí)際應(yīng)用中得到了校證。

圖12 波導(dǎo)縫隙陣3×4的物理模型和剖分結(jié)果

圖13 θ=90°時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算結(jié)果比較

4 結(jié)束語(yǔ)

為解決傳統(tǒng)波導(dǎo)端口激勵(lì)在處理天線輻射問題時(shí)存在的問題，本文提出了一種通用有效的局域端口加載方式。通過(guò)對(duì)波導(dǎo)不連續(xù)性、天線與天線陣端口激勵(lì)輻射等實(shí)際問題的仿真校驗(yàn)，證明了基于FDTD算法的局域?qū)Рǘ丝诩虞d技術(shù)既可以有效地處理波導(dǎo)不連續(xù)性問題，又解決了傳統(tǒng)方法處理輻射問題時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)外推困難和輻射方向圖失真等問題，因而是一種通用有效的波端口加載方式。

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