分?jǐn)?shù)指數(shù)和數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)的標(biāo)本意義——《分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)注

☉河南省許昌市普通教育教學(xué)研究室 張 蘊(yùn)

前不久筆者有幸參加我市“名師”的評(píng)選活動(dòng)，其中評(píng)課環(huán)節(jié)的課題為必修一《分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》.初看這節(jié)內(nèi)容似乎很淺顯，只是初中知識(shí)的簡(jiǎn)單延伸，但細(xì)細(xì)品味，始覺其意蘊(yùn)豐厚.她簡(jiǎn)直就是一部數(shù)學(xué)符號(hào)史的縮影，不僅展示了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔與美觀，而且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)創(chuàng)立的艱辛與曲折、數(shù)學(xué)“規(guī)定”的合理與兼容，處處閃爍著人類文明的智慧之光.從這個(gè)角度講，分?jǐn)?shù)指數(shù)是數(shù)學(xué)符號(hào)的標(biāo)本，探究此類課型的設(shè)計(jì)與教學(xué)具有標(biāo)本意義.

鑒于以上理解，筆者以數(shù)學(xué)符號(hào)史為背景，以指數(shù)范圍的擴(kuò)充為主線，以“規(guī)定”的合理性為點(diǎn)綴，設(shè)計(jì)了一堂別開生面的數(shù)學(xué)文化課.現(xiàn)將該教學(xué)設(shè)計(jì)整理成文，供大家探討.

一、初中知識(shí)回顧

初中我們學(xué)習(xí)了an，其中a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)，an的結(jié)果稱為冪（冪）.請(qǐng)問同學(xué)們知道冪的含義嗎？

這一簡(jiǎn)潔明快的符號(hào)從1484年至1637年，前后花了153年，最終由笛卡兒創(chuàng)立，并不斷深化.

評(píng)注：（1）在無疑處質(zhì)疑，一石激起千層浪，旨在提高學(xué)生的興趣.

“冪”的解釋，加深了學(xué)生對(duì)符號(hào)an的理解，可謂古今互通，中西合璧，為學(xué)生講述了一個(gè)富有情趣的數(shù)學(xué)故事.另外著名演員楊冪姓名的解釋也令學(xué)生情緒高漲.（據(jù)說楊冪的母親也姓楊，一家三口都姓楊，即楊的三次方，故名楊冪）

（2）讓學(xué)生關(guān)注這一數(shù)學(xué)符號(hào)，感受她的簡(jiǎn)潔，理解她的內(nèi)涵，了解她的歷史，期待她的發(fā)展.

二、新課探究

1.根式

an運(yùn)算的幾種形式：

（1）計(jì)算34的值；（2）解方程：x2=2；（3）解方程：2x=3.

評(píng)注：an運(yùn)算的形式主要有三種，從整體上把握知識(shí)的結(jié)構(gòu).

以下研究（2）：

解下列方程：x2=2、x2=0、x2=-2；x4=2、x4=0、x4=-2.

解下列方程：x3=3、x3=0、x3=-3；x5=3、x5=0、x5=-3.

解方程：xn=a（n＞1，n∈N*）.

一般地，如果一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足xn=a（n＞1，n∈N*），那么稱x為a的n次實(shí)數(shù)方根.

規(guī)定：0的n次實(shí)數(shù)方根等于0.

評(píng)注：（1）由特殊到一般，利用類比的方式將二次根式、三次根式推廣至n次實(shí)數(shù)方根.

（2）以解方程的形式讓學(xué)生理解a的約束條件、n分奇偶性討論的必要性！

（3）初步體會(huì)“規(guī)定”的合理性.

例1求下列各式的值：

評(píng)注：（1）概括兩個(gè)重要結(jié)論：

（2）適當(dāng)改編和組織教材例題，使選題更具典型性，為學(xué)生概括一般結(jié)論做好應(yīng)有的鋪墊.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

初中學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪，易知運(yùn)算法則為如下四條：

am·an=am+n；am÷an=am-n；（am）n=amn；（ab）m=ambm.

其中m，n∈N*，m＞n，a＞0，b＞0.

規(guī)定：a0=1（a≠0）.

問題1：這一規(guī)定合理嗎？為什么一定要a≠0這一限制？

問題2：你會(huì)解釋a-2的含義嗎？

規(guī)定：a-n=（a≠0，n∈N*）.

至此，實(shí)現(xiàn)了正整數(shù)指數(shù)冪向整數(shù)指數(shù)冪的擴(kuò)充，運(yùn)算法則也從四條精簡(jiǎn)為三條，即：

am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）m=ambm.

其中m，n∈Z，a＞0，b＞0.

評(píng)注：（1）在一個(gè)司空見慣的“規(guī)定”處設(shè)問，大大出乎學(xué)生的意料，而恰恰這一看似不經(jīng)意的設(shè)問，為負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的出場(chǎng)準(zhǔn)備了必要的條件.并讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“規(guī)定”的合理性和兼容性.

（2）對(duì)運(yùn)算法則的精簡(jiǎn)體現(xiàn)了思維的簡(jiǎn)約性，其中隱隱透著公理化思想.

問題3：你會(huì)合理規(guī)定的含義嗎？呢？呢？

規(guī)定=（a＞0，m，n∈N*，n＞1）；

（a＞0，m，n∈N*，n＞1）.

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

至此，建立了完整的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的符號(hào)系統(tǒng)及運(yùn)算法則.

1676年牛頓將正整數(shù)指數(shù)冪一下擴(kuò)充到有理指數(shù)冪，并創(chuàng)立了科學(xué)的負(fù)指數(shù)與分?jǐn)?shù)指數(shù)符號(hào)，可謂“天衣無縫”，把有理數(shù)指數(shù)的表示演繹得完美無缺！

評(píng)注：（1）從歷史上看，由整數(shù)指數(shù)冪向分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的跨越是思維的一大障礙，其表示方法也經(jīng)歷了諸多變遷，本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)正是基于這一思考.

①由正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪，再到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其過程與數(shù)系的擴(kuò)充相貼合，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

②由于教學(xué)時(shí)間限制，不可能也沒必要全面再現(xiàn)分?jǐn)?shù)指數(shù)符號(hào)的形成過程，因此只選擇了一個(gè)已成定論的符號(hào)，讓學(xué)生去揣摩其含義，去體會(huì)“規(guī)定”的合理性和兼容性.

（2）學(xué)生對(duì)符號(hào)的解釋為.這一解釋令人興奮，它將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式有機(jī)聯(lián)系起來，徹底溝通了兩個(gè)概念，是一個(gè)突破性的思維，極具創(chuàng)新意味.

（3）簡(jiǎn)要說明負(fù)指數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)的歷史，旨在表達(dá)該符號(hào)的歷史淵源和美學(xué)價(jià)值.

3.數(shù)學(xué)理論

（2）運(yùn)算法則：

a·ras=ar+s；（a）rs=ars；（ab）r=arbr.

其中r，s∈Q，a＞0，b＞0.

評(píng)注：以言簡(jiǎn)意賅的形式給學(xué)生提供完整的知識(shí)框架.正如布魯納所說：任何知識(shí)都可以用一種簡(jiǎn)單明了的形式呈現(xiàn)出來，使每個(gè)學(xué)生都能理解.任何一門學(xué)科也都有它的基本的知識(shí)結(jié)構(gòu).學(xué)生學(xué)習(xí)的主要任務(wù)是掌握該學(xué)科基本的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在頭腦中形成相應(yīng)的知識(shí)體系或編碼系統(tǒng).

4.應(yīng)用

例2 求下列各式的值：

評(píng)注：（1）熟悉分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單運(yùn)算.

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（a＞0）.

評(píng)注：（1）本題著眼于根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化.

通過用不同方法計(jì)算，使運(yùn)算法則的運(yùn)用落到實(shí)處.

（3）本題是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的絕好素材，各步運(yùn)算宜慢不宜快，每一步應(yīng)讓學(xué)生“說”出運(yùn)算的依據(jù)?。此憷砻鞔_）

三、歸納總結(jié)提高

1.邏輯的角度

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其相互轉(zhuǎn)化；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.

（2）體會(huì)數(shù)學(xué)規(guī)定的合理性與兼容性.

2.歷史的角度

探尋數(shù)學(xué)符號(hào)創(chuàng)立的歷史足跡，展示了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔與美觀，彰顯了數(shù)學(xué)符號(hào)創(chuàng)立的艱辛和智慧.

評(píng)注：數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩種“為什么”：一種是邏輯上的“為什么”，此類“為什么”用邏輯推理的手段解決；另一種是歷史上的“為什么”，此類“為什么”只有通過歷史知識(shí)才能解決.

綜上，分?jǐn)?shù)指數(shù)是數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)的標(biāo)本，這一標(biāo)本不是躺在塵封的歷史中，而是活在富含文化意味兒的課堂中，存在于學(xué)生鮮活的記憶中，從分?jǐn)?shù)指數(shù)的教學(xué)中可以一窺數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)的規(guī)律和價(jià)值，有利于確立學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

1.徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

2.汪曉勤.為什么稱未知數(shù)為“元”［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2012.8.