“通性通法”教學重在“回歸自然”——從兩則教學案例談起

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

所謂通性通法是指具有某種規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學解題方法.在數(shù)學解題教學中要“淡化特殊技巧，注重通性通法”的觀點也得到越來越多教師的共識.在這種教學觀的指導下，學生不僅可以跳出“題?！保芯υ诶斫鈹?shù)學的本質上下功夫，而且可以實現(xiàn)“練一題，學一法，會一類，通一片”的目的.但我們也看到由于很多教師對“通性通法”認知存在不足，因此在開展“通性通法”教學時難免出現(xiàn)偏差.

一、兩則教學案例

案例1：已知f（2x+1）=x2－2x，求f（x）與f（2x－1）的解析式.

這是一堂關于函數(shù)表達式習題課，教學對象是高一學生.

生1解法：設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），則

f（2x+1）=4ax2+（4a+2b）x+a+b+c=x2－2x.

易得4a=1，4a+2b=－2，a+b+c=0.

師：為什么可以“設（fx）=ax2+bx+c（a≠0）”？

生1：因為可以推測（fx）一定是二次函數(shù)，如果（fx）不是二次函數(shù)，則（f2x+1）的解析式也不會是二次函數(shù).

師：你證明過你的推測嗎？

生1：我想應該是的.

師：想的不一定都對，數(shù)學是嚴密的，要證明的.而且你這種方法過于煩瑣，盡管答案是正確的，但我們不提倡.下面我介紹一下這道題目的標準解法.

生2：為什么要設2x+1=t？求出的是（ft），為什么就變成了（fx）？

……

案例2：已知（fx）的定義域為R，當x＜0時，（fx）=x2+x－2.

（1）若（fx）是偶函數(shù)，求當x＞0，（fx）的解析式；

（2）若（fx）是奇函數(shù)，求（fx）的解析式.

這是一堂函數(shù)奇偶性的習題課，教學對象也是高一學生.教師出示問題后，讓生3板演，其他學生在下面解答.

生3解法：先畫出（fx）=x2+x－2（x＜0）的圖像（如圖1、圖2所示），然后根據(jù)對稱性再畫出x＞0部分的圖像，最后觀察圖像求出相應的解析式.

圖1

圖2

教師發(fā)現(xiàn)幾乎所有學生的都是采用先畫圖，再求解析式的方法，臉上露出了失望的神情.于是他讓學生抬起頭，集中注意力，聽他講解這類題目的標準解法.

師：我發(fā)現(xiàn)大家采用的都是先畫圖，后求解析式的方法解決這道題目的，但顯然這種方法不夠嚴密，并且有相當大的局限性.若求的是陌生函數(shù)的解析式，你能做出它的圖像嗎？

生3：不能.

師：下面我就為大家講述這道題目的標準解法.

教師解法：（1）設x＞0，則－x＜0，所以f（－x）=（－x）2－x－2=x2－x－2.因為f（x）是偶函數(shù)，則f（x）=f（－x）=x2－x－2，所以f（x）=x2－x－2（x＞0）.

師：大家清楚了沒有？

學生一臉茫然，不知所措，開始紛紛提出疑問.

生4：老師“設x＞0，則－x＜0”什么意思，為什么要這么做？

生5：怎么一會是f（x），一會是f（－x），搞不清楚.

……

以上兩則通性通法的教學只能用“簡單、粗暴”來形容.“簡單”主要體現(xiàn)在教授通性通法時不注重方法，偷工減料，省去了必要的鋪墊和引導；“粗暴”體現(xiàn)在教師無視學生的認知規(guī)律和原有的知識水平，強行推銷所謂的通性通法置學生心理感受于不顧，使得通性通法的教學異化為對標準解法追逐.

二、急功近利，欲速不達

通性通法教學為何出現(xiàn)如此匪夷所思的現(xiàn)象呢？若深究其背后的原因，無非是教師在教學中追求速成，急功近利的心態(tài)使然.為了追求所謂的高效，讓學生快速達到掌握標準解法的目的，教師對教學的處理是“精打細算”，能省則省.以上述二則案例為例，由于高一學生數(shù)學思維不夠成熟，知識儲備不夠豐富，在解題中難免會走“彎路”，冒出教師眼中那種“不合時宜”的解法.而教師卻沒有耐心仔細審視學生的思路和解法，利用“簡單而粗暴”的手段“快刀斬亂麻”，希望快速規(guī)范和強化高一學生的解題思路，從而使所謂的通性通法成為了學生唯一的選擇.但事實上如此的速成之道嚴重阻礙了通性通法的教學，使得教學效果大打折扣.眾所周知，數(shù)學教學不是一蹴而就的“經(jīng)營模式”，而是一種長期的“經(jīng)營策略”，數(shù)學教學是一種“潛移默化”，“螺旋上升”的過程.課堂不僅是教師傳授知識的地方，還應該是激發(fā)學生的求知欲，展現(xiàn)學生自我風采的舞臺.通過課堂中學生表現(xiàn)出的迷茫和疑惑，我們完全有理由斷定教師這種“只重結果，不重過程”的短視行為根本無助于提升學生對通性通法的認同感，不僅使得通性通法在學生是眼里成了“怪法”，成了“天外來物”，而且嚴重抑制了學生數(shù)學思維的發(fā)展.

三、只見樹木，不見森林

單純從字面上看，通性通法無非是指解決具有相同性質數(shù)學問題所用的通用的思想方法.但在實際操作中，總結和發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的通性通法其實并不是一件容易的事，很多教師經(jīng)常會陷入“只見樹木，不見森林”的尷尬境地.以上述二則教學案例為例，在教師眼里似乎只有兩道題的解法屬于通性通法的范疇，而根本沒有認識到在教學過程中所展現(xiàn)的其他數(shù)學思想方法實際上也是通性通法，而它們的價值和地位有時卻遠遠高于這兩道題本身的解法.

在案例1中，其實我們不得不佩服學生的解題直覺，一看到f（2x+1）=x2－2x，馬上聯(lián)想已學過的幾個函數(shù)，并且大膽的推測f（x）是二次函數(shù)，這正是合情推理思想在數(shù)學解題中的具體體現(xiàn)，這難道不是我們在整個高中階段所倡導的通性通法嗎？合情推理的實質是“發(fā)現(xiàn)——猜想”，在解決問題時的合情推理的特征是不按邏輯程序去思考，但實際上是學生把自己的經(jīng)驗與邏輯推理的方法有機地整合起來的一種跳躍性的表現(xiàn)形式.合情推理在高中階段通常不會像演繹推理那樣受到師生的重視，教師本可以借此喚醒學生對合情推理的認知，盡管學生在應用的過程中存在著“忽視嚴密”的瑕疵，但完全可以在教師的引導下證明猜想的正確性.但令人遺憾的是，教師完全無視學生的思維成果，抱守題目的標準解法，固步自封.

在案例2中，數(shù)學結合的思想是高中數(shù)學解題的最基本的思想之一，當然也是重要的通性通法之一.學生能夠想到從圖形入手，經(jīng)過觀察、分析等思維過程圓滿解決問題對高一新生來說已是難能可貴，盡管這種思想方法存在著較大的局限性.作為教師首先應該對學生的解法給予高度的評價，強化學生思維中的數(shù)形結合的意識.

四、回歸自然，螺旋上升

鑒于對通性通法的種種認知不足和教學偏差，那么我們應該如何把握通性通法的教學？

首先我們在通性通法的教學上應該回歸自然.通性通法之所以稱為通性通法是因為它常常從基本概念、原理出發(fā)，以基礎知識為依托、以基本方法為技能，按照既定的步驟，逐步推出問題和解答，解法思想順乎一般思維規(guī)律，其具體操作過程易于為多數(shù)學生所掌握.因此在教學中應注意講清通法的概括過程，并通過啟發(fā)和引導，向學生提示每種通法產(chǎn)生的過程，這樣更有利于學生對通法本質，對數(shù)學思想的理解，從而使學生感到通性通法自然、流暢、易于理解、易于掌握和運用的.以案例2的問題為例，學生的解法確實有其局限性，教師的解法確實是學生應該掌握的通性通法，但這種方法涉及到了一些對高一新生來說很陌生的數(shù)學思想方法，如“設x＞0”，然后通過轉換成“－x＜0”，代入已知解析式求出未知的解析式，這種設未知——變已知——代已知——求未知的解題思路實際上是化歸思想一種具體表現(xiàn)，對剛剛接觸函數(shù)不久的學生來說在理解上確實有很大的困難.這就需要教師加強引導，幫助學生理清解題思路，讓學生感受到解題方法是自然合理的.比如，教師不妨把這種解題思路形象概括為“移花接木”法，這樣就會有助于學生對解題思路的理解.

其次我們在通性通法的教學上要遵循螺旋上升原則.中學數(shù)學中常用的數(shù)學解題通性通法有換元法、配方法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、消元法、特殊值法等，涉及的數(shù)學思想包括：轉化思想、方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、合情推理等.由此可見，通性通法涉及的內(nèi)涵是既豐富又煩瑣，因此我們在教學中切勿急功近利，而要遵循學生的認知規(guī)律，采取由易到難，由具體到抽象的策略.比如，高一學生剛剛開始接觸數(shù)學，抽象思維相對薄弱，讓學生形成從具體圖形入手解決數(shù)學問題的思維習慣應該就是這個階段最為重要的通性通法.然后通過學生思維的不斷完善，數(shù)學視野的不斷拓展，教師再引領學生探索更為抽象的數(shù)學思想方法，從而逐步擺脫具體圖形的束縛，最終實現(xiàn)數(shù)與形的完美融合，領悟數(shù)形結合思想的精髓.又比如，求函數(shù)值域思想方法多達十余種，但其中學生容易掌握的最主要的通性通法就是利用函數(shù)的單調性求值域；在判斷函數(shù)單調性的方法中，高一新生應該掌握的通性通法是利用單調性的定義直接判定；隨著函數(shù)學習的不斷深入，利用復合函數(shù)的性質判斷函數(shù)單調性就成為了又一個需要學生掌握的通性通法；到了高二學生接觸到導數(shù)的知識后，那么利用求導判定函數(shù)的單調性就成為了學生今后的主要通性通法.這就是我們數(shù)學教學中要遵循的螺旋上升策略.

日本教育家米山國藏認為：“成功的數(shù)學教學，應當是數(shù)學精神，思想方法深深地、永遠地、銘刻在學生的頭腦里，長久地活躍于他們?nèi)粘５臉I(yè)務中，雖然那時數(shù)學的知識已經(jīng)淡忘.”通過上述分析，通性通法教學只有回歸自然，才能讓學生銘記于心.

1.肖瑞元.教學豈能急功近利［J］.陜西教育，2011（6）：12.

2.蘇翠林.“合情推理”應貫穿教材的始終［J］.新課程研究（基礎教育），2012（3）：15.

3.齊威娜.對中學數(shù)學解題通法的研究［D］.長春：東北師范大學，2008.