基于全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋的多軸轉(zhuǎn)向極點(diǎn)配置

王吉華 魏民祥 杜言利 李玉芳

1.南京航空航天大學(xué)，南京，210016 2.山東理工大學(xué)，淄博，255049

0 引言

多軸形式越來越多地被公路運(yùn)輸、工程和軍用等用途的車輛所采用，多軸轉(zhuǎn)向是關(guān)鍵技術(shù)之一，多軸轉(zhuǎn)向車輛的操縱穩(wěn)定性控制已成為國內(nèi)外專家學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)。對(duì)于已生產(chǎn)的多軸轉(zhuǎn)向車輛，其總質(zhì)量、長寬高、軸距、輪距和輪胎等結(jié)構(gòu)和參數(shù)已確定，動(dòng)力學(xué)模型及其穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性等也已基本確定，如想獲得某些特定性能或?qū)ο到y(tǒng)性能進(jìn)行改善，則需對(duì)設(shè)計(jì)車輛進(jìn)行附加控制。由于狀態(tài)反饋包含了豐富的系統(tǒng)內(nèi)部信息，在系統(tǒng)特征配置、系統(tǒng)鎮(zhèn)定等方面具有很大優(yōu)越性，故對(duì)多軸轉(zhuǎn)向車輛采用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法進(jìn)行控制能有效改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)多軸轉(zhuǎn)向的控制進(jìn)行了大量研究，并獲得了一定的成果。An等［1］對(duì)三軸六輪獨(dú)立轉(zhuǎn)向采用理想橫擺角速度跟蹤、輸出反饋和誤差二次型目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行控制；高秀華科研團(tuán)隊(duì)［2－3］對(duì)多軸轉(zhuǎn)向車輛提出了基于降維觀測(cè)器的最優(yōu)控制和H2/H∞控制等，觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)用于最優(yōu)控制；陳南科研團(tuán)隊(duì)［4－7］對(duì)四輪轉(zhuǎn)向（4WS）提出了基于狀態(tài)觀測(cè)器的最優(yōu)控制、μ綜合魯棒控制和滑膜魯棒控制等；Hiraoka等［8］和Kazemi等［9］采用狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)并進(jìn)行狀態(tài)反饋，設(shè)計(jì)了滑膜控制器；Du等［10］和杜峰等［11］利用狀態(tài)反饋分別進(jìn)行H∞魯棒控制和最優(yōu)控制；范晶晶等［12］和李一染等［13］在轉(zhuǎn)向控制研究中采用了輸出反饋，分別進(jìn)行包含PID的雙重控制和自抗擾控制，但都沒有提及極點(diǎn)配置。綜上所述，目前專家學(xué)者對(duì)多軸轉(zhuǎn)向提出很多控制算法，針對(duì)不同問題達(dá)到了很好效果，但均沒有討論極點(diǎn)配置控制問題。

基于狀態(tài)反饋對(duì)極點(diǎn)進(jìn)行任意配置，總能根據(jù)性能要求的希望極點(diǎn)得到相應(yīng)控制器，適用范圍廣，算法簡單，在離線求出控制器后的實(shí)際應(yīng)用中只有加法和乘法運(yùn)算，便于嵌入式編程，實(shí)時(shí)性好，實(shí)用性強(qiáng)?；诖?，本文利用狀態(tài)反饋的優(yōu)越性，并考慮側(cè)偏角難以測(cè)量的問題，提出基于全狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置，從而改善多軸轉(zhuǎn)向的性能。

1 問題描述

控制系統(tǒng)的建模和仿真采用多軸轉(zhuǎn)向車輛二自由度線性單軌模型，理論和試驗(yàn)證明，在正常車速、小側(cè)向加速度和小轉(zhuǎn)向角下，基于該模型設(shè)計(jì)的控制器能正常工作［11］。建立單軌模型需作如下假設(shè)［14－15］：忽略懸架和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)作用，直接以各軸車輪轉(zhuǎn)角為輸入，車輛只做平行于地面的運(yùn)動(dòng)，且前進(jìn)速度視為不變；由于正常行駛時(shí)側(cè)向加速度均在0.4g以下，故輪胎側(cè)偏特性為線性；不考慮車輪縱向力對(duì)輪胎側(cè)偏特性的影響；忽略空氣動(dòng)力和輪胎回正力矩作用；各軸左右車輪均等效為軸中間單車輪，忽略左右車輪載荷轉(zhuǎn)移及特性變化。經(jīng)假設(shè)，車輛具有側(cè)向和橫擺兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度。

模型如圖1所示，o為車輛質(zhì)心，oxy為固定于車輛質(zhì)心的車輛坐標(biāo)系；o″為車輛轉(zhuǎn)向中心到縱軸線的垂足；β為質(zhì)心側(cè)偏角；ωr為橫擺角速度；u為質(zhì)心前進(jìn)速度；v為質(zhì)心側(cè)向速度；V為質(zhì)心處的速度；Li為第i軸相對(duì)于質(zhì)心的位移；δi為第i軸車輪轉(zhuǎn)角；αi為第i軸車輪側(cè)偏角；FYi為第i軸受到的側(cè)偏力，i＝1，2，…，n。

圖1 多軸轉(zhuǎn)向車輛二自由度動(dòng)力學(xué)模型

取橫擺角速度ωr和側(cè)偏角β為狀態(tài)變量，又由于橫擺角速度易測(cè)，故取ωr為輸出，從以上車輛運(yùn)動(dòng)微分方程可得其狀態(tài)空間表達(dá)式為

上述表達(dá)式中，δ1是前輪轉(zhuǎn)角輸入，δ2，δ3，…，δn是各后軸車輪轉(zhuǎn)角。為了減小輪胎磨損，各軸車輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系滿足阿克曼原理，即

本文采用全后軸主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制，于是駕駛者在前輪輸入一定轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)控制量輸入就可由各后軸轉(zhuǎn)角δ2，δ3，…，δn經(jīng)過線性變化（式（3））等價(jià)為δ2。

多軸轉(zhuǎn)向車輛基于全狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)如圖2所示，v為整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)外部輸入。為得到側(cè)偏角β實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，設(shè)計(jì)全狀態(tài)觀測(cè)器，令多軸轉(zhuǎn)向車輛的輸入r＝［δ1；δ2］和輸出y＝［ωr］作為其輸入，系統(tǒng)重構(gòu)狀態(tài)作為其輸出；再利用觀測(cè)器輸出的重構(gòu)狀態(tài)，設(shè)計(jì)控制律K進(jìn)行狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)配置。

圖2 基于狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋功能框圖

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 全狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

假設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中，狀態(tài)x∈ Rn×1，輸出y∈ Rq×1，輸入r∈Rp×1，系統(tǒng)矩陣A∈ Rn×n，控制矩陣B∈ Rn×p，輸出矩陣C∈Rq×n，x（0）為零時(shí)刻狀態(tài)。

式（4）的全狀態(tài)觀測(cè)器如圖3虛線框內(nèi)所示［16］為估計(jì)狀態(tài)，x為系統(tǒng)狀態(tài)，則估計(jì)誤差為＝x－，根據(jù)式（4），利用系統(tǒng)的輸入r和輸出y構(gòu)造式（4）的模型系統(tǒng)，使估計(jì)誤差滿足：

圖3 基于全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖

利用y和模型系統(tǒng)輸出之差進(jìn)行反饋修正，形成閉環(huán)系統(tǒng)，即構(gòu)造反饋陣G，得全狀態(tài)觀測(cè)器方程為

聯(lián)立式（4）和式（6）得誤差方程為

由式（5）可知，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器就是設(shè)計(jì)反饋控制律G，使得：

狀態(tài)觀測(cè)器響應(yīng)時(shí)間應(yīng)比系統(tǒng)（式（4））快，對(duì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)也采用極點(diǎn)配置方法；因在保持系統(tǒng)阻尼比不變情況下，增加固有振蕩頻率可縮短系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，所以取觀測(cè)器希望極點(diǎn)是系統(tǒng)（式（4））希望極點(diǎn)的n′（n′＞1）倍，n′經(jīng)調(diào)試確定，這不僅使觀測(cè)器滿足響應(yīng)時(shí)間上的動(dòng)態(tài)性能要求，也使式（8）得以成立。

定理1［16］全狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置。對(duì)于式（4）線性定常系統(tǒng)（A，B，C），全狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)可任意配置的充要條件是（A，C）完全可觀測(cè)。

2.2 全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

重構(gòu)狀態(tài)后，系統(tǒng)（式（4））將利用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)反饋控制，見圖3虛線框外部分，即設(shè)計(jì)線性狀態(tài)反饋控制律r＝Kx＋v。

定理2［16］基于全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)任意配置。對(duì)于式（4）的線性定常系統(tǒng)（A，B，C）可利用全狀態(tài)觀測(cè)器的重構(gòu)狀態(tài)和線性狀態(tài)反饋律r＝Kx＋v進(jìn)行任意極點(diǎn)配置的充要條件是（A，B）完全可控。

由于系統(tǒng)的觀測(cè)器和狀態(tài)反饋具有分離特性［16］，故狀態(tài)反饋控制律K和觀測(cè)器反饋增益陣G的設(shè)計(jì)可分別單獨(dú)進(jìn)行，這樣易知定理2的充要條件和系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法。綜合定理1和定理2，圖3的整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)可任意配置充要條件是系統(tǒng)（式（4））完全可控和完全可觀測(cè)。因本文對(duì)多軸轉(zhuǎn)向車輛采用全后軸主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制，又由式（3）知只含有一個(gè)控制量δ2和一個(gè)輸出變量ωr，故可采用單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法。

由性能要求可以確定車輛希望配置的極點(diǎn)，即狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)，進(jìn)一步可得全狀態(tài)觀測(cè)器希望極點(diǎn)，于是可按式（9）來求取K和G，G的求取應(yīng)按模型系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)極點(diǎn)配置來進(jìn)行。

當(dāng)考慮側(cè)傾運(yùn)動(dòng)時(shí)，多軸轉(zhuǎn)向車輛為三自由度線性模型，并采用全輪主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制，需進(jìn)行多變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置，配置條件仍需滿足定理1和定理2。但對(duì)多變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置需分兩步，先求取狀態(tài)反饋陣K1，對(duì)某一輸入ui，找到對(duì)應(yīng)（A＋BK1，bi）可控對(duì)；然后針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)（A＋BK1，bi），按單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置求取K2，總配置矩陣為K1＋K2。同樣，由分離特性［16］，全狀態(tài)觀測(cè)器可根據(jù)其對(duì)偶系統(tǒng)來進(jìn)行相應(yīng)的極點(diǎn)配置。

3 仿真驗(yàn)證

對(duì)某五軸轉(zhuǎn)向車輛進(jìn)行控制器求解和仿真試驗(yàn)，采用的主要參數(shù)如下：L1＝4379.3mm，L2＝1749.3mm，L3＝－0.7332mm，L4＝ －1860.7mm，L5＝－3720.7mm，k1＝－276.4k N/rad，k2＝k3＝k4＝k5＝ －360k N/rad，m＝39 280kg，Iz＝311 760 kg·m2。

對(duì)于式（4），δ2控制矩陣為B2，δ1控制矩陣為B1，可得：A＝ ［－1.8234 0.5433；－0.9913－1.9663］，B1＝ ［15.7683 －1.3817］，B2＝［－16.3116 3.3480］，B＝ ［B1；B2］，C＝［1 0］，直接傳遞矩陣D＝ ［0］。經(jīng)計(jì)算，系統(tǒng)式（4）的極點(diǎn)為：［－1.8949＋0.7304j －1.8949－0.7304j］，系統(tǒng)（A，B2，C）可控性和可觀性矩陣均滿秩，完全可控和可觀測(cè)，滿足定理1和定理2，希望極點(diǎn)為λ＊＝［－3＋2j －3－2j］，觀測(cè)器希望極點(diǎn) 為λ＊′＝2λ＊， 通 過 計(jì) 算，K＝ ［－0.0745 0.2973］，G＝ ［8.2102 58.4049］。

利用MATLAB/Simulink平臺(tái)，分別建立五軸轉(zhuǎn)向車輛開環(huán)、狀態(tài)反饋閉環(huán)、基于全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋閉環(huán)以及輸出反饋PID閉環(huán)系統(tǒng)的模型。圖4所示是δ2＝0和δ1分別為1°、2°、3°、4°時(shí)開環(huán)階躍響應(yīng)，圖5所示是δ1＝0和δ2分別為1°、2°、3°、4°時(shí)開環(huán)階躍響應(yīng)，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但圖4中穩(wěn)態(tài)ωr/δ1約為5（°/s）/（°），穩(wěn)態(tài)β/δ1約為－4，圖5中穩(wěn)態(tài)ωr/δ2約為 －5（°/s）/（°），穩(wěn)態(tài)β/δ2大于4，±5% 誤差范圍調(diào)節(jié)時(shí)間約為3s，難以滿足工程應(yīng)用［14］。為了加快轉(zhuǎn)向響應(yīng)和調(diào)節(jié)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)值，需對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)進(jìn)行配置。

圖4 開環(huán)系統(tǒng)前輪角階躍輸入響應(yīng)

圖5 開環(huán)系統(tǒng)后輪角階躍輸入響應(yīng)

圖6所示是δ1＝10°和u＝80km/h時(shí)，開環(huán)和狀態(tài)反饋控制仿真對(duì)比，狀態(tài)反饋±5%誤差范圍調(diào)節(jié)時(shí)間小于0.25s，比開環(huán)的3s縮短很多，轉(zhuǎn)向響應(yīng)迅速；ωr和β穩(wěn)態(tài)輸出分別約為2.3°/s和－0.043°，比開環(huán)要小很多；穩(wěn)態(tài)β/δ1≈0，穩(wěn)態(tài)ωr/δ1≈0.23（°/s）/（°），轉(zhuǎn)向平穩(wěn)；圖7所示是狀態(tài)反饋控制量δ2曲線，其最大值約為－2.8°（負(fù)號(hào)表方向），工程易實(shí)現(xiàn)；綜合可知，狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置滿足工程應(yīng)用要求，達(dá)到控制效果。

圖6 開環(huán)系統(tǒng)和狀態(tài)反饋前輪角階躍輸入響應(yīng)

圖7 狀態(tài)反饋控制量曲線

圖8所示是δ1＝10°和u＝80km/h時(shí)，對(duì)狀態(tài)反饋和基于全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋進(jìn)行仿真的曲線，兩者狀態(tài)響應(yīng)完全重合，說明基于全狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋仍保持原狀態(tài)反饋的控制品質(zhì)，也證明了觀測(cè)器和狀態(tài)反饋的分離特性。

圖8 前輪角階躍輸入重構(gòu)狀態(tài)和實(shí)際狀態(tài)

圖9所示是δ1＝10°和u＝80km/h時(shí)，觀測(cè)器估計(jì)狀態(tài)和車輛實(shí)際狀態(tài)曲線，圖10所示是估計(jì)狀態(tài)和實(shí)際狀態(tài)誤差曲線。ωr和β穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差分別是0.08°/s和－0.0022°，相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為3.48%和5.12%，狀態(tài)估計(jì)曲線比實(shí)際狀態(tài)曲線略有提前到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，說明全狀態(tài)觀測(cè)器跟蹤實(shí)際狀態(tài)精度較高，誤差為5%左右，跟蹤穩(wěn)態(tài)值速度比實(shí)際狀態(tài)響應(yīng)快。

圖9 狀態(tài)估計(jì)值和實(shí)際狀態(tài)值比較

圖10 狀態(tài)估計(jì)誤差曲線圖

圖11所示是δ1＝10°和u＝80km/h時(shí)，車輛ωr輸出反饋PID控制和觀測(cè)器狀態(tài)反饋控制的仿真結(jié)果比較。給定PID希望輸入是ωr＝2.5°/s，經(jīng)反復(fù)調(diào)試，當(dāng)比例系數(shù)Kp＝0.001、積分系數(shù)Ki＝0.0001和微分系數(shù)Kd＝0.05時(shí)，PID控制效果相對(duì)最好，±5%誤差范圍調(diào)節(jié)時(shí)間約為1s，比開環(huán)控制有所減小，但比全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋大很多，穩(wěn)態(tài)ωr為5.6°/s，而且穩(wěn)態(tài)β值為－3.4°，比全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋大很多，均與工程應(yīng)用相違背，說明PID在響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)值上都難以對(duì)樣車達(dá)到希望的控制效果，對(duì)操縱穩(wěn)定性控制明顯比全狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋差。

圖11 PID和觀測(cè)器狀態(tài)反饋前輪轉(zhuǎn)角階躍輸入響應(yīng)

圖12所示是δ1分別為5°和10°、u＝80km/h且在δ2加入0.573sint干擾的輸出反饋PID控制響應(yīng)，說明在很小干擾下系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，抗干擾能力差。圖13所示是δ1＝10°、u＝80km/h以及輸出反饋PID控制δ2加入0.573sint干擾而觀測(cè)器狀態(tài)反饋δ2加入5.73sint干擾的狀態(tài)響應(yīng)比較，結(jié)合圖8，觀測(cè)器狀態(tài)反饋控制的ωr和β響應(yīng)均不發(fā)生改變，能抵抗±5.73°范圍內(nèi)的外界干擾。

圖12 外界干擾下PID控制不同前輪轉(zhuǎn)角階躍輸入響應(yīng)

圖13 外界干擾下PID和觀測(cè)器狀態(tài)反饋控制響應(yīng)

圖14所示是δ1分別為5°和10°、u＝80km/h和δ2加入5.73sint干擾的觀測(cè)器狀態(tài)反饋控制響應(yīng)，在此干擾下，ωr分別約為1.75°/s和2.3°/s，β≤0.05°，在不同前輪轉(zhuǎn)角下均具有抗干擾能力，滿足工程應(yīng)用要求。綜合可知，PID控制在不同前輪輸入下均很難抵抗外界干擾，魯棒性差，而觀測(cè)器狀態(tài)反饋控制在不同前輪輸入下均能在±5.73°范圍內(nèi)抵抗外界干擾，具有一定的魯棒性，能在側(cè)向風(fēng)、橫向斜坡和轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)變形等引起的較小外界干擾下保持系統(tǒng)控制性能。

圖14 外界干擾下觀測(cè)器狀態(tài)反饋不同前輪轉(zhuǎn)角輸入響應(yīng)

4 結(jié)論

根據(jù)多軸轉(zhuǎn)向車輛的橫擺角速度易測(cè)而側(cè)偏角不易測(cè)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了全狀態(tài)觀測(cè)器；在此基礎(chǔ)上，基于狀態(tài)反饋的優(yōu)越性，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器進(jìn)行極點(diǎn)配置。建立控制系統(tǒng)模型和求解控制器，通過對(duì)某五軸轉(zhuǎn)向車輛實(shí)例仿真，將全觀測(cè)器狀態(tài)反饋與開環(huán)系統(tǒng)、狀態(tài)反饋和PID控制進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明全狀態(tài)觀測(cè)器跟蹤實(shí)際狀態(tài)的效果好，設(shè)計(jì)的控制器在響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值上能有效改善多軸轉(zhuǎn)向開環(huán)系統(tǒng)的性能，能實(shí)現(xiàn)PID難以達(dá)到的控制效果，且具有一定的魯棒性，此方法極點(diǎn)可任意配置，用于改善的性能范圍廣，且易用嵌入式系統(tǒng)編程實(shí)現(xiàn)控制算法，實(shí)用性強(qiáng)，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

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