環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法及應(yīng)用研究

韓瑩瑩 袁 茹 鄭鈺祺

西北工業(yè)大學(xué)，西安，710072

0 引言

可展機(jī)構(gòu)具有展開(kāi)后面積大、收攏時(shí)占用空間小且便于收放和運(yùn)輸?shù)忍攸c(diǎn)，在航天、航空、建筑等領(lǐng)域的應(yīng)用廣泛。為了滿(mǎn)足收放空間和形狀要求，這種機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)分析研究受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的普遍重視，特別是對(duì)空間過(guò)約束單自由度可展機(jī)構(gòu)的研究已成為目前機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

Gan等［1－2］分析并制作了能緊密收攏的多桿環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)模型，采用預(yù)估校正的方法求得機(jī)構(gòu)在展開(kāi)過(guò)程中夾角的關(guān)系，并用奇異值分解法分析了機(jī)構(gòu)的奇異性。Chen等［3］研究了Bennett機(jī)構(gòu)的幾何特性并設(shè)計(jì)制作了能夠緊密收攏的Bennett機(jī)構(gòu)的另一種形式的模型。在此基礎(chǔ)上Chen等［4－5］又進(jìn)一步研究了特殊線面對(duì)稱(chēng) Bricard機(jī)構(gòu)的分叉點(diǎn)和三面對(duì)稱(chēng)Bricard機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性。楊毅等［6－7］設(shè)計(jì)了一種新型六面體可展機(jī)構(gòu)和一種新型四棱錐單元機(jī)構(gòu)。羅堯治等［8］結(jié)合四面體旋轉(zhuǎn)環(huán)機(jī)構(gòu)和三向?qū)ΨQ(chēng)六連桿機(jī)構(gòu)的基本原理，設(shè)計(jì)了一種向外翻轉(zhuǎn)開(kāi)啟式可展機(jī)構(gòu)，并詳細(xì)闡述了該可展機(jī)構(gòu)的形式和設(shè)計(jì)原理。

現(xiàn)有研究主要集中在可展機(jī)構(gòu)的幾何構(gòu)型方面，而對(duì)可展機(jī)構(gòu)單元本身的設(shè)計(jì)及其展開(kāi)運(yùn)動(dòng)的研究不多，目前對(duì)于可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析，比較常用的一種方法是采用商業(yè)軟件進(jìn)行仿真，對(duì)于可展桁架組合成的可展機(jī)構(gòu)，一般采用幾何約束建立約束方程分析其運(yùn)動(dòng)；對(duì)于復(fù)雜的可展機(jī)構(gòu)，采用影響系數(shù)法分析其運(yùn)動(dòng)。本文采用D－H傳遞矩陣法建立可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)約束方程，并設(shè)計(jì)了四桿全鉸鏈可展機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)是一類(lèi)滿(mǎn)足收攏緊密且能展開(kāi)成平面模型的單自由度過(guò)約束環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)。

1 線性方程組的 Moore＿Penrose廣義逆解法

設(shè)A∈Cm×n，對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解可得

其中，U是m×m階的正交矩陣，S是m×n階的廣義對(duì)角陣，V是n×n階的正交矩陣。由式（1）求得矩陣A的Moore－Penrose廣義逆為A＋＝VS＋UT，式中

其中，σ1≥σ2≥…≥σr＞0，且矩陣A的秩為r，求解線性方程組Ax＝b，當(dāng)系數(shù)矩陣A是非奇異方陣時(shí)方程組的唯一解為x＝A－1b，而當(dāng)系數(shù)矩陣A是奇異陣或長(zhǎng)方陣時(shí)需采用廣義逆來(lái)求解該方程組。① 當(dāng)rank（A）＝rank（A∶b）時(shí)，方程組相容，方程的極小范數(shù)解與通解分別為

式中，z為任意n維向量；I為n階單位矩陣。

②當(dāng)rank（A）≠rank（A∶b）時(shí)，方程組不相容，方程組的最小二乘解及最小二乘通解分別為

2 多桿閉環(huán)連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程

由n個(gè)連桿組成的閉環(huán)機(jī)構(gòu)能夠運(yùn)動(dòng)的充分必要條件是所有連桿的變換矩陣依次相乘的結(jié)果為單位矩陣［8］，即

其中，變換矩陣Ti－1，i是桿i－1上的坐標(biāo)系Oi－1Xi－1Yi－1Zi－1與桿i上的坐標(biāo)系OiXiYiZi間的變換矩陣。如圖1所示，每個(gè)鉸鏈上固定一坐標(biāo)系，對(duì)于鉸鏈i，Zi軸沿該鉸鏈的軸線向上，鉸鏈i的軸線與鉸鏈i＋1的軸線的公垂線即為Xi軸，方向由Zi指向Zi＋1，Xi軸與鉸鏈i軸線的交點(diǎn)為坐標(biāo)系OiXiYiZi的原點(diǎn)Oi，Yi軸由右手螺旋法則確定，桿長(zhǎng)ai－1，i是由被連接的兩鉸鏈軸線Zi－1和Zi的公垂線決定的；兩軸間的扭角αi－1，i是由軸線Zi－1繞公垂線Xi－1轉(zhuǎn)至軸線Zi轉(zhuǎn)過(guò)的角度，依據(jù)右手螺旋法則確定其方向，兩連桿間的夾角θi為Xi－1軸繞Zi軸轉(zhuǎn)到Xi軸的角度，其方向依據(jù)右手螺旋法則確定，Xi－1軸沿Zi軸到Xi軸的距離為相鄰兩桿間的偏置。

圖1 由鉸鏈連接的連桿之間的參數(shù)

坐標(biāo)系Oi－1Xi－1Yi－1Zi－1與 坐 標(biāo) 系OiXiYiZi之間的變換矩陣為

其中變換矩陣可分解成兩矩陣之積，即

由式（5）知變換矩陣T只依賴(lài)于4個(gè)參數(shù)α、a、θ、d，所以桿系需要用這樣的4個(gè)參數(shù)來(lái)描述，其中桿長(zhǎng)和扭角兩個(gè)參數(shù)描述連桿本身，他們是固定不變的；而偏置和轉(zhuǎn)角兩個(gè)參數(shù)描述相鄰兩桿的連接關(guān)系。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)副連接的桿系，轉(zhuǎn)角是變量，而偏置是固定不變的，故在桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中Ti－1是固定不變的，而Tθi是變化的。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中夾角有微小變化時(shí)，則有

假設(shè)轉(zhuǎn)角增量為Δθia，將式（6）代入式（4）并合并同類(lèi)項(xiàng)可得

式中，I為4階單位矩陣。

令

可推導(dǎo)得

其中，0為4階零矩陣，Qi的形式為

將式（8）代入式（7）可得如下方程組：

其中，Δθia＝ ［Δθ1aΔθ2a… Δθna］，雅可比矩陣K的表達(dá)式為

機(jī)構(gòu)自由度大于或等于1時(shí)機(jī)構(gòu)才能運(yùn)動(dòng)，故矩陣K為欠秩矩陣，對(duì)矩陣K進(jìn)行奇異值分解，同式（1），有

顯然該方程組是相容的，結(jié)合式（2）并將正交矩陣VK的最后一列代入其中，可求得線性方程組KΔθia＝0的解。估計(jì)值Δθb與Δθia成一定比例，將θib＝θi＋Δθib代入式（4）可得

若有θn＝θi＋Δθib＋Δθic滿(mǎn)足下式：

則稱(chēng)Δθic為校正值，展開(kāi)式（10），并將式（11）代入可得

整理得

且Qic和E的形式為

將式（12）寫(xiě)成方程組的形式：

其中，Kb為12×n的矩陣，Δθic為n×1的向量，Eb為12×1的向量，由式（2）與式（3）可知，不管方程組（13）相容與否，其最小二乘通解或相容時(shí)的通解為Δθic＝b＋（I－b）z，這里I為n階單位矩陣，z為任意的n維向量，z取為零向量，求得的Δθic即為校正值，從而可得θi＋1＝θi＋Δθib＋Δθic＝θi＋Δθi，將已知的夾角作為初始角度，這樣不斷迭代循環(huán)，直到夾角達(dá)到需求的角度從而可求出各桿之間夾角的關(guān)系。

3 算例

以四桿環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。圖2、圖3分別為四桿環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)的展開(kāi)圖與收攏圖，將坐標(biāo)系原點(diǎn)O取在點(diǎn)A，Y軸固定在邊AB上，X軸與Y軸垂直并固定在桿面ABEF上，由右手螺旋法則確定Z軸的方向。該機(jī)構(gòu)是由截面為三角形的完全相同的桿經(jīng)鉸鏈內(nèi)外交互鏈接而組成的，則同一個(gè)軸線上兩條公垂線的垂點(diǎn)重合。圖2中機(jī)構(gòu)展開(kāi)時(shí)軸線Z1與Z2的公垂線為U1U2，軸線Z2與Z3的公垂線為U2U3，由于4個(gè)構(gòu)件完全相同，可知夾角θ3與θ1的收攏角與展開(kāi)角相同，夾角θ4與θ2的收攏角與展開(kāi)角相同，且圖中各點(diǎn)在坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)可由機(jī)構(gòu)的幾何條件確定，則各個(gè)可展角θid與收攏角θif可由機(jī)構(gòu)的幾何尺寸計(jì)算出。

圖2 機(jī)構(gòu)展開(kāi)圖

圖3 機(jī)構(gòu)收攏圖

圖2所示構(gòu)件的截面夾角β變化時(shí)，機(jī)構(gòu)的收攏角與展開(kāi)角變化情況如圖4所示，機(jī)構(gòu)由收攏狀態(tài)到完全展開(kāi)過(guò)程中，夾角θ1由θ1f變?yōu)棣?d，夾角θ2由θ2f變?yōu)棣?d。

圖4 夾角對(duì)機(jī)構(gòu)收攏角與展開(kāi)角的影響

取β＝60°時(shí)，由圖4知夾角θ1在展開(kāi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是不斷減小的，夾角θ2在展開(kāi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是不斷增大的，故在循環(huán)過(guò)程中Δθ1＜0，Δθ2＞0總是成立的。用MATLAB編程計(jì)算可得運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各個(gè)夾角的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程中各個(gè)夾角的關(guān)系

4 結(jié)論

（1）分析了截面夾角β對(duì)四桿環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)夾角θ在收攏狀態(tài)與完全展開(kāi)狀態(tài)時(shí)的影響，如圖4所示，隨著β的增大，θ1d、θ1f增大，而θ2d、θ2f減小。

（2）由圖4可知，當(dāng)截面三角形底角β取允許范圍內(nèi)的任意值時(shí)，四桿環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)由收攏狀態(tài)到完全展開(kāi)相同時(shí)間內(nèi)夾角θ1與夾角θ2的變化范圍不同，由此可知機(jī)構(gòu)在展開(kāi)過(guò)程中，其原型機(jī)構(gòu)相鄰兩桿的加速度不同。

（3）將廣義逆理論與空間連桿機(jī)構(gòu)分析的標(biāo)準(zhǔn)方法相結(jié)合并采用預(yù)估校正循環(huán)迭代求得四桿環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)在展開(kāi)過(guò)程中各夾角的變化關(guān)系，如圖5所示，從圖中可知，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有θ1＝θ3，θ2＝θ4，由此可知四桿環(huán)狀可展機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)平面。

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