二次函數(shù)在求解幾何最值問題中的應(yīng)用

甘曉波

二次函數(shù)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，通常把它與最值問題聯(lián)系在一起進(jìn)行考查.下面以中考題為例說明二次函數(shù)在幾何最值問題中的應(yīng)用.

一、求線段長(zhǎng)的最值

例1 （2012年江蘇揚(yáng)州）如圖1，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是 .

圖1

解析：設(shè)AC=x，則BC=2-x.

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∴∠DCE=90°.

∴DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■·（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

∴當(dāng)x=1時(shí)，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

例2 （2012年寧夏）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過點(diǎn)P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.

（1）連接AE，當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

（2）若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng).

圖2

分析：（1）由△APE≌△ADE，可得AP=AD=3.在Rt△ABP中，運(yùn)用勾股定理即可求得BP的長(zhǎng).

（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽R(shí)t△PCE. 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)x=■時(shí)，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式求得BP的長(zhǎng).

解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3.

在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=■=■=■.

（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCE.

∴■=■，即■=■.

∴y=-■x2+■x.

∵y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

∴當(dāng)x=■時(shí)，y的值最大，最大值是■.

（3）設(shè)BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD.

∴■=■， 即■=■.

將上式化簡(jiǎn)，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合題意，舍去）.

∴當(dāng)PE∥BD時(shí)， BP=■.

二、求線段積的最值

例3 （2012年江蘇蘇州）如圖3，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2

（1）當(dāng)x=■時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PD·CD的值最大？最大值是多少？

圖3

分析：（1）由直線l與圓相切于點(diǎn)A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l.又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行. 根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似可得出△PCA與△APB相似.由相似得比例式，將PC及直徑AB的長(zhǎng)代入比例式求出PA的長(zhǎng).在Rt△APB中，由AB及PA的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出PB的長(zhǎng).

（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點(diǎn)E，由垂徑定理得到E為PD的中點(diǎn).再由有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OACE為矩形.根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的長(zhǎng)表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時(shí)x的取值.

解：（1）∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.

∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.

∴■=■，即PA2=PC·AB.

∵PC=x=■，AB=4，∴PA=■=■.

∴在Rt△APB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）過O作OE⊥PD，垂足為E.

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

∴PE=ED=x-2.

∴CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

∴PD·CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

∵2

∴當(dāng)x=3時(shí)，PD·CD有最大值，最大值是2.

三、求周長(zhǎng)的最值

例4 （2012年四川南充）如圖4，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn).把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.

（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖4

分析：（1）連接OM，證明△PMA和△OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，則在Rt△AOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）證明：連接OM .

∵ 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，

∴PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∴∠PMA=∠OMB.

∴△PMA≌△OMB（ASA）.∴ MA=MB.

（2）△AOB的周長(zhǎng)存在最小值.理由如下：

∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB.

∴OA+OB=OA+PA=OP=4.

設(shè)OA=x， AB=y，則y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

∴當(dāng)x=2時(shí)，y2有最小值8，從而 y的最小值為2■.

∴△AOB的周長(zhǎng)存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面積的最值

例5 （2012年四川自貢）如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.

圖5

解析：設(shè)BM=xcm，則MC=（1-x）cm.

∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

∴△ABM∽△MCN，∴■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

∴S四邊形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

∵-■<0，

∴當(dāng)x=■cm時(shí)，S四邊形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如圖6，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值.

圖6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程，求出t值即可.

（2）作NH⊥AC于H，證明△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計(jì)算△AMN的面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)，最后求出最值即可.

解：（1）∵M(jìn)點(diǎn)從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴AM=12-t，AN=2t.

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

∴當(dāng)t為4秒時(shí)，∠AMN=∠ANM.

（2）如圖6，作NH⊥AC于H，∴∠NHA=∠C=90°.∴NH∥BC.

∴△ANH∽△ABC.

∴■=■，即■=■.∴NH=■t.

∴S△AMN=■·（12-t）·■t=-■t2+■t=-■（t-6）2+■.

∴當(dāng)t=6秒時(shí)，△AMN的面積最大，最大值為■平方米.