改進(jìn)的混合下降法在麥克風(fēng)陣列設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

孟曉莉

江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，南京 211170

改進(jìn)的混合下降法在麥克風(fēng)陣列設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

孟曉莉

江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，南京 211170

寬帶波束形成器因在無線通信、聲吶、雷達(dá)、演講和聲學(xué)[1-3]的應(yīng)用而受到廣泛的研究。文獻(xiàn)[4-7]中提到目前發(fā)展了很多基于模型的方法來設(shè)計(jì)波束形成器濾波器系數(shù)。除了最優(yōu)濾波器系數(shù)，麥克風(fēng)陣列陣元布置同樣在波束形成器的整體性能中起著重要的作用，不同的麥克風(fēng)陣列配置的效果明顯不同。因此，為麥克風(fēng)陣列陣元尋求一個(gè)好的布置在加強(qiáng)寬帶波束形成器性能方面很重要。

麥克風(fēng)陣列定位問題主要通過陣列稀疏技術(shù)[8]解決。它嘗試降低陣元個(gè)數(shù)和調(diào)整剩余陣元的位置以保持性能。因?yàn)樵搯栴}是非線性的[9]，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展了不同的全局優(yōu)化方法，包括進(jìn)化編程[10]，遺傳算法[11]，模擬退火算法[12]和模式搜索算法[13]。但是，陣列稀疏技術(shù)本質(zhì)上是一維的，它更適于天線設(shè)計(jì)。在公式化多維設(shè)計(jì)問題中，文獻(xiàn)[14]提出了一個(gè)l2-norm下的非線性優(yōu)化問題，它允許麥克風(fēng)在多維解空間周圍移動(dòng)以搜尋更好的解。但是，目標(biāo)函數(shù)是高度非線性和關(guān)于位置變量是非凸性的，所以很難用傳統(tǒng)的基于梯度的方法來解決[15]。不同濾波器長度的影響使得該問題更加復(fù)雜化，其中不同的濾波器長度決定不同的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)濾波器長度很長時(shí)，該問題可以通過考慮性能極限來避免[16]。隨著濾波器長度限制的無限大，文獻(xiàn)[17]表明濾波器系數(shù)由一系列約束一維最優(yōu)圖問題定義，該系數(shù)可以通過一種特殊陣列配置高效地搜尋到。通過將該問題作為一個(gè)子問題，可以將原來的混合最優(yōu)問題簡(jiǎn)化為麥克風(fēng)陣列布置問題，即唯一決定量的定位問題。

針對(duì)上述問題，在研究二維中的最優(yōu)定位問題的基礎(chǔ)上，提出一種結(jié)合了梯度方法的遺傳算法來解決定位過程中的非凸性。遺傳算法可以跳出局部最小化同時(shí)保持原來的有用信息；梯度方法可以迅速地下降到最近的局部最小值。該方法具有很好的下降特征，它的目標(biāo)函數(shù)是單調(diào)遞增的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法在實(shí)際使用中可以找到更好的位置。

1 問題公式化

對(duì)于一個(gè)有N個(gè)陣元的麥克風(fēng)陣列，假設(shè)每個(gè)陣元是一個(gè)L-tap的有限沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器。定義麥克風(fēng)位置為ri，i=1，2，…，N，第i個(gè)傳輸函數(shù)可定義為：

其中r是聲音源的位置，c是聲音在空氣中的速度。如果由該麥克風(fēng)陣列收到的信號(hào)在頻率為fs的樣本同步，則這些FIR濾波器的頻率響應(yīng)是：

其中hi是第i個(gè)FIR濾波器的系數(shù)，d0(f)是克羅內(nèi)科頻率響應(yīng)，定義為：

假設(shè)期望響應(yīng)是Gd(r，f，L)，F(xiàn)IR濾波器寬帶波束形成器設(shè)計(jì)問題是尋找一系列系數(shù)h=[h1，h2，…，hN]T，如波束形成器輸出：

其中，AT(r，f)=[A1(r，f)，A2(r，f)…，AN(r，f)]T是定義在式（1）中的轉(zhuǎn)移函數(shù)向量，

是定義在式（2）中的頻率濾波器響應(yīng)向量。

存在很多目標(biāo)準(zhǔn)則評(píng)估G(r，f，L)和Gd(r，f，L)之間的錯(cuò)誤，如l∞-norm[14]和l1-norm最小值。但是，這些設(shè)計(jì)技術(shù)通常比l2-norm的使用花費(fèi)更高。接下來，采用l2-norm準(zhǔn)則設(shè)計(jì)寬帶波束形成器。對(duì)于給定位置的麥克風(fēng)陣列，波束形成器設(shè)計(jì)問題可以表示為尋找濾波器參數(shù)h，如最小化目標(biāo)函數(shù)：

其中Ω是特定的空間頻率域，Gd(r，f，L)和ρ(r，f)的定義域是正權(quán)重函數(shù)。通常，域Ω=Ωp∪Ωs由通頻帶區(qū)域Ωp和阻帶區(qū)域Ωs組成。然后，對(duì)于一個(gè)給定位置的麥克風(fēng)陣列，波束形成器設(shè)計(jì)問題可以表示為：

其中

Γ表示為：

其中u(f)和v(f)是連續(xù)絕對(duì)可積分，左右導(dǎo)數(shù)都存在，

需要注意的是性能極限由一個(gè)給定位置的麥克風(fēng)陣列計(jì)算出。不同的位置會(huì)產(chǎn)生不同的性能極限。因此定位設(shè)計(jì)是尋找相應(yīng)的性能極限是最小化的麥克風(fēng)陣列的位置。為了表示這個(gè)特征，讓?duì)?(r1，r2，…，rN)∈Λ??3×N表示麥克風(fēng)位置，其中Λ是所有可能λ的集合，定位問題可以表示為：

它滿足‖ri-rj‖2≥εd，…，i，j=1，2，…，N，i≠j，其中，與式（8）相同，但是考慮λ作為新的決策向量。約束條件‖ri-rj‖2≥εd，…，i，j=1，2，…，N，i≠j是實(shí)用的，這樣麥克風(fēng)陣元集應(yīng)該為特征函數(shù)互相保持適當(dāng)?shù)淖钚【嚯x，εd是兩個(gè)不同麥克風(fēng)陣元之間最小距離的平方。

2 混合下降方法

通常，聯(lián)合的非凸性最優(yōu)化問題式（10）的兩種變量很難作為一個(gè)整體解決。注意目標(biāo)函數(shù)式（11）關(guān)于位置變量λ是非凸的和高度非線性的，但是該函數(shù)關(guān)于濾波器系數(shù)變量H~是凸的。對(duì)于一個(gè)給定的位置向量，最優(yōu)頻率響應(yīng)可以通過解決式（7）二次方程而獲得，它可以通過二次編程技術(shù)很快地解決。將位置設(shè)計(jì)問題式（10）重新表示為：

滿足‖ri-rj‖2≥εd,…，i,j=1,2,…，N,i≠j。其中是一個(gè)給定位置向量λ子問題式（7）的解。

離散化可以應(yīng)用到轉(zhuǎn)化上面式（8）和式（11）的半無限編程問題為大規(guī)模約束優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)式（8）關(guān)于變量是凸的，因此產(chǎn)生了一個(gè)凸優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)（11）有內(nèi)嵌在AT(λ，r，f)和的變量λ，它們關(guān)于λ是非凸的，因此問題式（10）是非凸的，并且需要一個(gè)好的策略來尋找更好的位置。所提的混合下降方法總結(jié)如下：

（1）產(chǎn)生一個(gè)初始位置點(diǎn)λ0，通過使λ=λ0來解決簡(jiǎn)化的最優(yōu)化問題式（10）以得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值E(λ0) ，設(shè)k=0。

（2）將λk作為遺傳算法的一個(gè)候選點(diǎn)，執(zhí)行N次迭代計(jì)算直到得到的點(diǎn)滿足

（3）通過采用一個(gè)梯度最小化方法將作為輸入點(diǎn)解決局部以得到λk+1，目標(biāo)函數(shù)有一個(gè)適度程度的下降，

（4）設(shè)置k:=k+1，返回到第2步直到收斂。

在混合下降方法的第2步中，將遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)值設(shè)為子問題式（7）的最優(yōu)值，遺傳算法由5個(gè)關(guān)鍵步驟組成：

①種群表示：將實(shí)值化位置變量λ初始化來構(gòu)造染色體，存儲(chǔ)全部種群到一個(gè)單矩陣，所有的染色體長度是一樣的。

②適應(yīng)度分配：適應(yīng)度值由式（10）的最優(yōu)值通過排列或縮放而得到。

③選擇：選擇函數(shù)從目前的種群中選擇一個(gè)給定位置號(hào)，根據(jù)它們的適應(yīng)度，返回一個(gè)列向量到它們的目錄里。

④交叉：交叉算子按照給定概率重新聯(lián)合個(gè)體組以產(chǎn)生子代。

⑤突變：突變算子對(duì)個(gè)體雙親采用隨機(jī)變化以產(chǎn)生子代。

所有的步驟概述如下：

①通過最后局部最優(yōu)位置λk產(chǎn)生初始位置染色體Λk，對(duì)所有個(gè)體采用式（10）求值得到E(λ)，λ∈Λk。

②對(duì)E(λ)，λ∈Λk進(jìn)行排列，如果停止；否則，轉(zhuǎn)向③。

③通過適當(dāng)選擇函數(shù)作為雙親選擇個(gè)體。

④通過使用交叉算子聯(lián)合兩個(gè)雙親產(chǎn)生子代作為下一代。

3 實(shí)驗(yàn)

將給出一個(gè)數(shù)值實(shí)例來驗(yàn)證所提的混合下降算法，所有的實(shí)驗(yàn)均在2.53 GHz的Inter?、CoreTMi5CPU計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，所用編程環(huán)境為MATLAB7.0，運(yùn)用遺傳算法的工具箱對(duì)凸最優(yōu)子問題使用約束非線性最小化函數(shù)。

3.1 參數(shù)設(shè)置

在所用實(shí)例中，設(shè)計(jì)的響應(yīng)函數(shù)對(duì)于一個(gè)適合多媒體或手機(jī)應(yīng)用的區(qū)域是特定的，包括人類聲音的頻率變化，麥克風(fēng)陣元應(yīng)該直接朝向的一組位置。為了允許聲音到達(dá)麥克風(fēng)的延遲，設(shè)計(jì)的通頻帶區(qū)域的響應(yīng)函數(shù)定義如下：

實(shí)驗(yàn)將位置布置問題認(rèn)為是2維的，麥克風(fēng)陣列由9個(gè)陣元組成。說話者站在平面z=0上，這樣通頻帶和阻帶都定義在該平面上。這些麥克風(fēng)安裝在平面z=1上，即離說話者所在平面1 m遠(yuǎn)（如圖1）。

圖1 問題設(shè)計(jì)

特別的，位置可行區(qū)域Λ，通頻帶區(qū)域Ωp和阻帶區(qū)域Ωs定義如下：

通頻帶區(qū)域：

阻帶區(qū)域：

可行性布置區(qū)域：

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

對(duì)于Ω=Ωp∩Ωs的離散化，每個(gè)頻域區(qū)域參數(shù)60個(gè)點(diǎn)，空間域區(qū)域取0.2 m為單位，通過采用所提混合下降方法，可以發(fā)現(xiàn)麥克風(fēng)陣元的最優(yōu)定位λ*為：

它在圖2中展示，采用該定位配置可以獲取最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 -41.163 5 dB。

圖2 最優(yōu)布局

為了更好地體現(xiàn)所提方法的有效性及優(yōu)越性，將使用所提方法得到的定位結(jié)構(gòu)與采用模擬退火粒子群優(yōu)化算法（SA-PSO[12]）、基于模糊回歸的粒子群優(yōu)化算法（FR-PSO[14]）得到的定位結(jié)構(gòu)、遺傳算法形成的波束（BF-GA[15]）、近場(chǎng)寬帶聲源定位麥克風(fēng)陣列（MA-NBB[17]）進(jìn)行對(duì)比，將每?jī)蓚€(gè)麥克風(fēng)之間的距離設(shè)定為0.2 m，如此，四種定位結(jié)構(gòu)均可以產(chǎn)生9個(gè)麥克風(fēng)點(diǎn)，SA-PSO[12]、FR-PSO[14]、BF-GA[15]、MA-NBB[17]的定位結(jié)構(gòu)分別如圖3（a）～（d）所示。

圖3 采用各個(gè)方法所得位置結(jié)構(gòu)

從圖3可以看出，利用四種不同的定位方法，得到了四種不同的定位結(jié)果，圖3（a）中9個(gè)點(diǎn)以類正方形的結(jié)構(gòu)顯示，圖3（b）中9個(gè)點(diǎn)在一條豎線上，圖3（c）中9個(gè)點(diǎn)以十字形顯示，圖3（d）中9個(gè)點(diǎn)分布在同一圓上，然而，光從形狀上不能準(zhǔn)確地判斷各個(gè)定位方法的優(yōu)劣，因此，計(jì)算了各個(gè)定位方法所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)的性能極限，即最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值（以dB為單位），如表1所示。

表1 四種定位方法所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的性能極限 dB

從表1可以看出，四種定位方法中，以第一種方法的性能最為出色，第三種方法的性能次之，剩下的兩種方法的性能相當(dāng)，然后，將采用混合下降方法所得到的最優(yōu)定位配置的性能與采用這四種定位方法得到的性能極限進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，所提方法分別比SA-PSO[12]、FR-PSO[14]、BF-GA[15]、MA-NBB[17]的性能極限值低10.650 5 dB、20.650 5 dB、15.711 5 dB、19.606 5 dB，從這幾個(gè)數(shù)據(jù)可以看出所提方法明顯優(yōu)于采用SA-PSO[12]、FR-PSO[14]、BF-GA[15]、MA-NBB[17]得到的常用定位結(jié)構(gòu)，由此體現(xiàn)了所提方法的優(yōu)越性。

前面提到，將濾波器長度設(shè)為L=40可以得到最優(yōu)濾波系數(shù)和以上麥克風(fēng)陣列定位λ*的實(shí)際響應(yīng)，因此，為了顯現(xiàn)波束合成器的高效性，繪制了當(dāng)頻率為1 400 Hz時(shí)的實(shí)際響應(yīng)性能的(x，y)坐標(biāo)圖和空間頻率(x，f)坐標(biāo)圖(y= 0 m)，如圖4所示。

圖4 最優(yōu)定位下有限長度濾波器的性能

從圖4可以清晰地看出，即使頻率高達(dá)14 000 Hz，利用所提混合算法確定的定位結(jié)構(gòu)所設(shè)計(jì)的濾波器依然能夠取得如此優(yōu)越的性能，充分地表明了所設(shè)計(jì)波束合成器的高效性。

4 結(jié)語

針對(duì)在寬帶波束形成器設(shè)計(jì)中麥克風(fēng)陣列位置最優(yōu)化過程中的非凸性問題，利用可避免局部最小化的遺傳算法以及可改進(jìn)局部相鄰點(diǎn)的梯度方法，提出了一種基于遺傳算法的混合下降方法。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其他常用的幾種定位方法相比，所提的混合下降方法設(shè)計(jì)出的波束形成器具有更好的性能。

實(shí)驗(yàn)設(shè)定位置布置問題是二維的，作為未來拓展工作，波束形成器的更高維設(shè)計(jì)，將是進(jìn)一步研究的重點(diǎn)。

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MENG Xiaoli

Department of Information Engineering,Jiangsu Maritime Institute,Nanjing 211170,China

Due to the microphone array positioning non-convexity problems in the process of nonlinear optimization in beamformer design,local search techniques might not yield the best result.To address this problem,a hybrid descent method is proposed which consists of a genetic algorithm together with a gradient-based method.The gradient-based method can help to locate the optimal solution rapidly around the start point,while the genetic algorithm is used to jump out from local minima.Both of which will promote to find the optimal position for bean shaper design.Experimental results show that the beamformer designed by position determined by proposed hybrid descent method has better performance compared with several frequently-used positioning approaches.

beamformer design;microphone array;local search techniques;gradient-based method;Genetic Algorithm（GA）; hybrid descent method

在波束形成器設(shè)計(jì)中，由于麥克風(fēng)陣列定位優(yōu)化過程中的非凸性問題，傳統(tǒng)的局部搜索技術(shù)可能不會(huì)產(chǎn)生最優(yōu)的結(jié)果。為了解決這一問題，提出了一種聯(lián)合遺傳算法和梯度方法的混合下降法。通過使用梯度方法在啟動(dòng)點(diǎn)附近迅速找到最優(yōu)解決方案，同時(shí)利用遺傳算法避免了局部最小化，從而促進(jìn)尋找更好的波束形成器設(shè)計(jì)的最優(yōu)位置。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其他幾種常用的定位方法相比，使用混合下降方法確定的位置所設(shè)計(jì)出的波束形成器性能更好。

波束形成器設(shè)計(jì)；麥克風(fēng)陣列；局部搜索技術(shù)；梯度方法；遺傳算法；混合下降方法

A

TP3

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0425

MENG Xiaoli.Application of improved hybrid descent method in design of microphone array.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：227-231.

江蘇省教育廳教改項(xiàng)目（No.GYB16）。

孟曉莉（1977—），女，講師，主要研究領(lǐng)域：人工智能、計(jì)算機(jī)應(yīng)用。E-mail：mengxiaoli_2013@163.com

2013-05-30

2013-07-08

1002-8331（2013）18-0227-05

◎工程與應(yīng)用◎