一類捕食-食餌模型平衡解的整體分歧

權(quán)利娜

陜西學(xué)前師范學(xué)院，西安 710061

一類捕食-食餌模型平衡解的整體分歧

權(quán)利娜

陜西學(xué)前師范學(xué)院，西安 710061

著名的Lotka-Volterra系統(tǒng)在種群動(dòng)力學(xué)理論中具有非常重要的地位，它是1926年由A.J.Lotka和V.Volterra兩名數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)先驅(qū)提出的。在過(guò)去的幾十年里，經(jīng)典的Lotka-Volterra模型在生態(tài)學(xué)理論的研究中占有非常重要的地位，已被廣泛關(guān)注。以后的許多學(xué)者在對(duì)其進(jìn)行不斷改進(jìn)、發(fā)展和完善的基礎(chǔ)上給出了許多更切合實(shí)際的模型，并得到了這些模型的許多重要的相關(guān)結(jié)論。由于種群間捕食關(guān)系的普遍存在，捕食-食餌模型更加受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。研究中有的利用極大值原理、上下解方法及全局分歧理論得出了平衡態(tài)共存解的存在性、唯一性及其穩(wěn)定性；有的利用分歧理論、線性特征值擾動(dòng)理論、穩(wěn)定性理論得到了帶有保護(hù)區(qū)的捕食食餌模型平衡解的分歧及穩(wěn)定性等等。在此基礎(chǔ)上，一些研究者發(fā)現(xiàn)了捕食者具有休眠的這一重要特性并且給出了捕食者具有休眠特性的最低限度模型等，具體內(nèi)容詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1-10]。對(duì)于空間分布不均勻的情況有相應(yīng)的模型：

其中，p，z1表示食餌和捕食者的密度，z2表示能產(chǎn)生休眠卵的捕食者的密度，r，k表示在沒(méi)有捕食者的情況下的食餌的固有生長(zhǎng)率和生存能力，f(p)=cp/(1+chp)為Holling II函數(shù)，k1，k2分別表示捕食者處于活動(dòng)狀態(tài)的生長(zhǎng)率和處于休眠狀態(tài)的生長(zhǎng)率，d1，d2分別表示捕食者處于活動(dòng)狀態(tài)的死亡率和處于休眠狀態(tài)的死亡率，α表示孵化率，捕食者是否進(jìn)入休眠狀態(tài)由函數(shù)g(p)控制。

本文主要研究休眠卵不孵化（即α=0）的情況。

研究式（1）發(fā)自半平凡解的整體分歧。

1 預(yù)備知識(shí)

記是常用的BanachSpace，={u∈C1u=0，u∈?Ω}，X=

考慮特征值問(wèn)題：

其中q(x)∈，則式（2）所有的特征值有下列關(guān)系：0＜λ1(q)＜λ2(q)＜L，λ1(q)為主特征值，若p(x)＞q(x)＞0，則λ1(p)＜λ1(q)。

令式（1）中的ν=0，考慮u的邊值問(wèn)題：

記λ0為-Δ在Dirichlet邊界下的主特征值，由文獻(xiàn)[11]中的定理3.3.28和上下解方法易得：

引理1.2L1的所有特征值均小于零。

證明 因?yàn)棣取?滿足(Δ+a-bθ)θ=0，x∈Ω;θ=0，x∈?θ。記λ(L0)為 Δ+a-bθ的主特征，則λ(L0)=0，又因?yàn)長(zhǎng)1的主特征λ(L1)＜λ(L0)=0。所以L1的所有特征值均小于零。

引理1.3若(u，ν)為式（1）的非負(fù)解u≠0，ν≠0，則

證明（1）在式（1）中的第一個(gè)方程的兩邊同乘以u(píng)后積分并運(yùn)用格林公式得：

（2）同理在式（1）的第二個(gè)方程的兩邊同乘以ν后積分

顯然當(dāng)d≥α-λ0時(shí)，式（1）的非負(fù)解只能為(0,0)，(θ,0)。

2 非平凡分歧解的結(jié)構(gòu)

記為Δχ+特征值，χ1≥0(x∈Ω)為主特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。

下面以d為分歧參數(shù)，研究式（1）在半平凡解(d，θ，0)的局部分支。

記w=θ-u，χ=ν，則0≤w≤θ，把w=θ-u，χ=ν代入式（1）得：

易知F=(F1，F(xiàn)2)是連續(xù)的，F(xiàn)(0，0)=0，且F的Frechet導(dǎo)數(shù)DF|(0，0)=0。

記K=(-Δ)-1，可化為：

由文獻(xiàn)[12]中的定理1.7知：存在δ≥0和C1中的函數(shù)(d(s)，?(s)，ψ(s)):(-δ，δ)→R×X使得d(0)=(0)=0，ψ(0)= 0，(?(s)，ψ(s))T∈Z，其中X=(L0，0))，且 (d(s)，w(s)，χ(s))=(d(s),s(w1+?(s)),s(χ1+ψ(s)))滿足G(d(s),w(s),χ(s))= 0。因此(d(s)，w(s)，χ(s))(|s|＜δ)是式（2）解的分支。其中u(s)=θ-w(s)=θ-s(w1+?(s))，ν(s)=χ(s)=s(χ1+ψ(s))。

（1）假設(shè)d＞，則對(duì)于任意的μ≥1，i≥1，d≥di(μ)，所以K(d)沒(méi)有比1大的特征值，由文獻(xiàn)[13]中的定理7.3.9可推出i(T(d，·)，0)=(-1)0=1。

（2）假設(shè)d2(1)＜d＜則對(duì)于任意的μ≥1，i≥2，d≥di(μ)又因?yàn)椋源嬖谖ㄒ坏恼龜?shù)μ1≥1使得d=d1(μ1)，進(jìn)而可得到：

下面證明R(μ1I-K(d))∩N(μ1I-K(d))={0}。

記K*(d)為K(d)的伴隨算子，則K*(d)(w,χ)T=μ1(w,χ)T滿足：

由于Lμ1=μ1Δ+(a-2bθ)I可逆，所以w≡0，進(jìn)而可推出：

由文獻(xiàn)[14]中的定理2.1知：式（1）正解的全局分歧曲線C滿足下列兩個(gè)條件之一：

（1）C在R×X內(nèi)由點(diǎn)(，0)延伸到∞。

（2）C從點(diǎn)θ，0)延伸到某點(diǎn)(，0)，其中，且I-K不可逆。

下面說(shuō)明式（1）正解的全局分歧曲線C滿足第一個(gè)條件。

由Lp估計(jì)和Sobolev嵌入定理可知：存在{Un}的一個(gè)收斂子列Ui使得Ui→u，其中u≥0且≡0。當(dāng)i→∞時(shí)，式（7）變?yōu)椋?Δu=au，所以a=λ0，矛盾。

（2）假設(shè)≡0＞0，有-Δ=-成立。所以=λ0，=χ0，即當(dāng)m→∞時(shí)，dn→-λ0，(un，νn)→(0，χ0)且式（7）可變?yōu)椋?Δu+cχ0u=au。因?yàn)閡≥0，由極限原理可得u＞0，x∈Ω，所以a=λ*，矛盾。

（3）假設(shè)0，0，由θ的唯一性可知= (θ，0)。所以存在{Vn}的一個(gè)收斂子列Vi使得Vi→ν，其中ν≥0且ν≠0。當(dāng)i→∞時(shí)，式（7）變?yōu)?-Δν=-，所以有，矛盾。

綜合以上可知，C-(，0)?P，由引理 2.1知{d:(d，u，ν)∈C}=(-∞，α，-λ0)。從而知C在R×X內(nèi)由點(diǎn)(，θ，0)延伸到∞。

3 結(jié)束語(yǔ)

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[14]Wu J H.Global bifurcation of coexistence state for the competition model in the chemostat[J].Nonlinear Anal，2000，39：817-835.

QUAN Lina

Shaanxi Xueqian Normal University,Xi’an 710061,China

Τhe global bifurcation of a positive steady-state solution for a kind of predator-prey model is investigated by the methods of spectral analysis and bifurcation theory.Τhe bifurcation at the positive steady-state solution（θ，0）is acquired by treatingdas a bifurcation parameter.Some sufficient conditions for the existence of positive solution are given.

predator-prey model;global bifurcation;steady-state solution;bifurcation theory;spectral analysis

利用分歧理論和譜分析的方法研究了一類捕食-食餌模型平衡解的整體分歧，得到了在以d為分歧參數(shù)的條件下，系統(tǒng)在半平凡解(θ，0)附近出現(xiàn)分歧現(xiàn)象，得到了該模型正解存在的充分條件。

捕食-食餌模型；整體分歧；平衡解；分歧理論；譜分析

A

O175.26

10.3778/j.issn.1002-8331.1111-0487

QUAN Lina.Global bifurcation of positive steady-state solution for a kind of predator-prey model.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：56-59.

陜西學(xué)前師范學(xué)院科研基金項(xiàng)目（No.2012KJ041）。

權(quán)利娜（1978—），女，講師，研究方向：反應(yīng)擴(kuò)散方程及其應(yīng)用。

2011-11-25

2012-05-28

1002-8331（2013）15-0056-04