Banach空間中分?jǐn)?shù)次脈沖積分-微分方程的解

蘇新衛(wèi)，林靜思，彭明興

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京100083）

Banach空間中分?jǐn)?shù)次脈沖積分-微分方程的解

蘇新衛(wèi)，林靜思，彭明興

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京100083）

應(yīng)用Banach壓縮映像原理，證明Banach空間中一類非線性分?jǐn)?shù)次脈沖積分-微分方程初值問題解的存在唯一性.在主要定理中，除連續(xù)性的假設(shè)外，對脈沖項(xiàng)不附加任何限制條件.

分?jǐn)?shù)次算子；不動點(diǎn)定理；脈沖積分微分方程；唯一性

1 引言

近幾十年來，分?jǐn)?shù)次微分方程在各科學(xué)研究和應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，因此，分?jǐn)?shù)次微積分算子理論及分?jǐn)?shù)次微積分方程倍受關(guān)注，發(fā)展十分迅速[1,2,3].由于在眾多領(lǐng)域中脈沖因素的影響，最近，出現(xiàn)了許多研究論文討論分?jǐn)?shù)次脈沖微分方程[4-8].Benchohra 和Berhoun 在[8]中研究了分?jǐn)?shù)次脈沖微分方程的初值問題，沒有類似于[4-7]中關(guān)于脈沖項(xiàng)的限制條件，應(yīng)用Schaefer 不動點(diǎn)定理，通過逐步求解的方法，證明了解的存在性(定理3.5)，然而，在其解的唯一性結(jié)果(定理3.6)中，關(guān)于脈沖項(xiàng)的Lipschitz 條件仍是必須的.

受文獻(xiàn)[8]的啟發(fā)，本文在Banach空間E中討論如下分?jǐn)?shù)次脈沖積分微分方程的初值問題

其中K是積分算子

2 有關(guān)引理

關(guān)于函數(shù)f(t)的δ>0次的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)次積分定義見文獻(xiàn)[1].

引理2.1分?jǐn)?shù)次微積分算子有如下性質(zhì)[1-3]：

由引理2.2可得

3 解的唯一性

用C(J,E)表示定義在J上的連續(xù)函數(shù)空間,取最大值范數(shù).令J0=[0,t1]，J1=(t1,t2]，L，Jp-1=(tp-1,tp]，Jp=(tp,l].定義

若函數(shù)x(t)∈PC(J,E)且滿足(1.1)，則稱之為(1.1)的解.

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理3.1假設(shè)存在非負(fù)Lebesgue可積函數(shù)L1(t),L2(t)∈L1(J,R+)滿足

又設(shè)存在非負(fù)常數(shù)L使得

證明 為明確起見，將證明分為如下幾步:

第一步：考慮沒有脈沖影響的問題

由引理2.1，引理2.2和(2.1)式易知(3.1)等價于積分方程

定義算子T0如下

則T0的不動點(diǎn)就是(3.1)的解.下面驗(yàn)證T0滿足Banach壓縮映像原理的條件.

事實(shí)上，由函數(shù)f和k的連續(xù)性易知，T0:C(J0,E)→C(J0, E)，由定理3.1的假設(shè)條件，可得

故T0是壓縮算子，由Banach壓縮映像原理推出T0存在唯一不動點(diǎn)x0∈C(J0,E).

第二步：考慮有脈沖影響的問題

因而(3.3)有意義.由引理2.1，引理2.2和(2.1)(3.3)式，我們考慮如下方程

定義算子T1如下

故T1是壓縮算子,由Banach壓縮映像原理推出T1存在唯一不動點(diǎn)x1∈C(J1,E).

第三步：重復(fù)第一、第二步的過程可知，對t∈Ji,i=2,3,K, p,有脈沖影響的問題

則x(t)∈PC(J,E)是問題(1.1)的唯一解.證畢.

〔1〕Kilbas,A.A.,Srivastava,H.M.,Trujillo,J.J.,Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]. Amsterdam:Elsevier B.V.,2006.

〔2〕Podlubny,I.,Fractional Differential Equations,Mathematics in Science and Engi-neering[M],vol.198.New York/London/Toronto:Academ ic Press,1999.

〔3〕Samko,S.G.,Kilbas,A.A.,Marichev,O.I.,Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications[M]. Yverdon:Gordon and Breach,1993.

〔4〕Balachandran,K.,Kiruthika,S.,Trujillo,J.J.,Existence results for fractional impul-sive integrodifferential equations in Banach spaces[J].Commun.Nonlinear Sci.Numer. Simulat.,2011,16:1970-1977.

〔5〕Benchohra,M.,Seba,D.,Impulsive fractional differential equations in Banach spaces[J].E.J.Qualitative Theory of Diff.Equ.Spec.Ed.I,2009,8:1-14.

〔6〕Benchohra,M.,Slimani,B.A.,Existence and uniqueness of solutions to impulsive fractional differential equations[J]. Electron.J.Differential Equations,2009,10:1-11.

〔7〕Atmania,R.,Mazouzi,S.,Existence of local and global solutions to some impul-sive fractional differential equations[J].Electron.J.Differential Equations,2009,136: 1-9.

〔8〕Benchohra,M.,Berhoun,F.,Impulsive fractional differential equations w ith vari-able times[J].Comput.Math. Appl.,2010,59:1245-1252.

O175.6，O175.8

A

1673-260X（2013）09-0001-02 .則初值問題存在唯一解.

中國礦業(yè)大學(xué)(北京)“國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計劃”項(xiàng)目(201211413131),中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)研究生專項(xiàng)資金項(xiàng)目(2009QS07)