基于雙層規(guī)劃的道路客運(yùn)班線運(yùn)力優(yōu)化研究

黃 濤 潘 青 徐 亞

（武漢理工大學(xué)交通學(xué)院 武漢 430063）

道路旅客運(yùn)輸由于其靈活方便性，成為旅客出行的主要運(yùn)輸方式之一，道路班線客運(yùn)運(yùn)力與運(yùn)量的平衡，是道路班線運(yùn)輸系統(tǒng)優(yōu)化的目標(biāo).由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，客運(yùn)需求也是穩(wěn)定增長(zhǎng)，如果投入客運(yùn)運(yùn)力不足，就不能滿足旅客的正常出行需求，同時(shí)也會(huì)影響到社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，相對(duì)如果客運(yùn)運(yùn)力過(guò)量，也會(huì)造成社會(huì)資源的浪費(fèi)，同時(shí)還會(huì)導(dǎo)致道路客運(yùn)行業(yè)的內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)消耗.隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)持續(xù)快速增長(zhǎng)和人民生活水平不斷穩(wěn)步提高，居民出行對(duì)客運(yùn)服務(wù)水平的要求也不斷提高，道路旅客運(yùn)輸需要提供不同層次的服務(wù)以滿足旅客不同層次的需求，最大化客運(yùn)企業(yè)及旅客利益以保證道路客運(yùn)在競(jìng)爭(zhēng)激烈的客運(yùn)市場(chǎng)穩(wěn)定發(fā)展，合理優(yōu)化道路班線運(yùn)力以提供不同層次的服務(wù)來(lái)滿足旅客需求就顯得十分必要.總之合理的班線客運(yùn)運(yùn)力對(duì)于道路客運(yùn)發(fā)展有著十分重要的意義，為此本文將采用雙層規(guī)劃的方法研究班線運(yùn)力的優(yōu)化問(wèn)題，為客運(yùn)企業(yè)確定合理的運(yùn)力以滿足旅客出行需求及企業(yè)最大化利益提供參考.

1 雙層規(guī)劃基本原理

雙層規(guī)劃模型的結(jié)構(gòu)形式分為上下2個(gè)層次，上下層次都有其各自不同的目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)本層的決策空間受其他層次的影響.相比傳統(tǒng)單層規(guī)劃模型，決策者同時(shí)控制的決策變量不同，雙層規(guī)劃模型中各層的決策者僅控制本層的決策變量［1］.雙層規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

上層模型（U）

式中：y＝y(tǒng)（x）通過(guò)下層模型求解得到.

下層模型（L）

上層決策者可以通過(guò)決策變量來(lái)影響下層決策者，同時(shí)也會(huì)與下層決策者發(fā)生相互作用；下層模型的決策變量y是上層模型決策變量x的函數(shù)，即y＝y(tǒng)（x），通常相對(duì)于上層模型這個(gè)函數(shù)被稱為反應(yīng)函數(shù)，而相對(duì)于下層模型則被稱為反應(yīng)模型.

將道路客運(yùn)班線運(yùn)力規(guī)劃問(wèn)題看作一個(gè)雙層規(guī)劃問(wèn)題.運(yùn)量供給要求有運(yùn)量需求來(lái)實(shí)現(xiàn)，而運(yùn)量需求又要求有運(yùn)量供給來(lái)滿足.運(yùn)量供給的能力制約著需求的增長(zhǎng)又必須適應(yīng)需求，運(yùn)量需求的滿足取決于供給的數(shù)量和質(zhì)量，并且運(yùn)量需求的變化又會(huì)引起供給的變化.營(yíng)運(yùn)班線的建立，必須綜合考慮客運(yùn)企業(yè)與旅客的利益.道路客運(yùn)企業(yè)決定班線運(yùn)力的投入以及不同的運(yùn)力結(jié)構(gòu)，而旅客則根據(jù)自身的條件選擇出行行為［2］.充分考慮運(yùn)輸企業(yè)和旅客兩方面的利益，利用雙層規(guī)劃模型來(lái)優(yōu)化班線配置運(yùn)力.

上層規(guī)劃問(wèn)題可以表示為道路客運(yùn)企業(yè)根據(jù)客運(yùn)需求投入運(yùn)力及決定運(yùn)力組成，并在規(guī)定范圍內(nèi)制定不同車型的票價(jià)，要求合理的運(yùn)力及運(yùn)力組成使道路客運(yùn)企業(yè)取得最大的經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)滿足旅客的出行需求.

而下層規(guī)劃問(wèn)題則描述了多種運(yùn)輸方式競(jìng)爭(zhēng)條件下，旅客依據(jù)不同的狀況選擇不同的運(yùn)輸方式，也就是客流量在不同客運(yùn)方式（車型）之間的分配，下層模型中旅客的選擇行為可以利用滿意度來(lái)刻畫，在確定的運(yùn)力下使旅客總體的滿意度最大.

2 班線運(yùn)力優(yōu)化雙層規(guī)劃模型

基于上述建模思想，建立道路班線運(yùn)力優(yōu)化雙層規(guī)劃模型，上層優(yōu)化問(wèn)題由客運(yùn)企業(yè)決策投入運(yùn)力，下層優(yōu)化問(wèn)題由旅客決策選擇運(yùn)輸方式（車型），雙層規(guī)劃的目標(biāo)就是確定合理的班線運(yùn)力使旅客總體滿意度最大與客運(yùn)企業(yè)利潤(rùn)最大達(dá)到平衡［3］.

2.1 上層優(yōu)化問(wèn)題

在建立上層模型時(shí)，首先設(shè)定道路客運(yùn)班車分為豪華快車、普通快車與普通車，不同車型票價(jià)不同，不同車型的組合以滿足旅客不同層次的出行需求，使旅客出行總體滿意程度最高，同時(shí)也使得運(yùn)輸企業(yè)獲得最大利潤(rùn)［4］.假設(shè)某班線豪華快車、普通快車與普通車的運(yùn)力分別為xi，i＝1，2，3.

首先班線運(yùn)力要能滿足旅客的基本出行需求的要求，用Q表示班線旅客出行需求，班線客運(yùn)需求Q可以通過(guò)各種適合的定性定量預(yù)測(cè)方法得到，具體約束表達(dá)式為［5］

式中：s為平均實(shí)載率；r為工作車率；l為車日行程；L為該班線的運(yùn)輸距離.

客運(yùn)企業(yè)的收益為

式中：qi為班線中選擇客運(yùn)方式i的客流量；pi為票價(jià)；ci為客運(yùn)變動(dòng)成本，在其他條件不變的情況下，運(yùn)力xi投入越大，發(fā)車時(shí)間間隔越小，服務(wù)水平越高，則客流量qi越大，為此qi可以表示為xi的函數(shù)q（xi），而q（xi）則由下層規(guī)劃模型確定.

上層模型（U）

式中：g（xi）為客運(yùn)企業(yè)投入運(yùn)力xi的成本；θ為折舊系數(shù).票價(jià)約束中pl，pu為政府管理部門規(guī)定的票價(jià)下限與上限.在實(shí)際中，票價(jià)是不易改變的的變量，因此可以選擇現(xiàn)行票價(jià)作為常系數(shù)，當(dāng)然如果新開通班線時(shí)，這里可以將票價(jià)取做變量，通過(guò)模型求解確定合理的初始參考票價(jià).

2.2 下層優(yōu)化問(wèn)題

下層優(yōu)化模型在效用理論的基礎(chǔ)上，提出旅客出行選擇行為模型，也就是在假定其他條件不變的情況下，當(dāng)?shù)缆房瓦\(yùn)企業(yè)投入不同運(yùn)力的時(shí)，旅客總是選擇滿意度最大運(yùn)輸方式出行，而下層模型就是以旅客總體滿意度最大為目標(biāo).

首先需要建立合理的旅客出行滿意度函數(shù)，而影響旅客出行滿意度的因素有很多，在這里假定其他影響因素都是固定的，僅僅考慮不同方式運(yùn)力投入以及票價(jià)對(duì)旅客出行選擇行為的影響，構(gòu)建不同運(yùn)力投入及票價(jià)下旅客滿意度函數(shù).根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)知道，人的滿足感存在邊際效用，也就是當(dāng)服務(wù)水平較低時(shí)，服務(wù)水平一定程度的提高就能引起旅客滿足感的大幅提高，隨著服務(wù)水平的不斷提高旅客滿足感的提高程度會(huì)越來(lái)越小，為此本文采用的滿意度函數(shù)為

式中：αi為常系數(shù)，用來(lái)調(diào)整不同運(yùn)力及票價(jià)對(duì)旅客滿意程度影響程度的大小，系數(shù)βi的標(biāo)定需要依據(jù)人們的心理因素及價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)；系數(shù)αi用來(lái)調(diào)整旅客的擁擠對(duì)滿意度的影響程度的大小，其標(biāo)定也取決于旅客的心理因素.系數(shù)αi，βi可以利用經(jīng)驗(yàn)定性的確定，也可以通過(guò)調(diào)查采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法確定.

下層模型（L）

式中：系數(shù)wi為不同客運(yùn)方式旅客滿意度對(duì)總體滿意度貢獻(xiàn)的權(quán)重，這里wi可以取不同客運(yùn)方式的客流量占總的旅客客流量的比例：wi＝不同客運(yùn)方式的客流量qi為下層模型的決策變量，不同方式客流量的加和滿足與此班線上旅客總的出行需求量相等.下層規(guī)劃中不同方式客流量qi是為了在不同的運(yùn)力xi及票價(jià)pi下使旅客總體滿意度最大.

雙層規(guī)劃方法比傳統(tǒng)的單層規(guī)劃方法相比具有很大優(yōu)勢(shì).（1）可以同時(shí)分析決策過(guò)程中2個(gè)不同的相互矛盾的目標(biāo)；（2）更接近所研究問(wèn)題的實(shí)際情況；（3）可以明確表示客運(yùn)企業(yè)與旅客的相互關(guān)系.模型的求解可以采用數(shù)值優(yōu)化算法，也可以采用遺傳算法等，此處不做過(guò)多介紹.下面介紹一種模型的啟發(fā)式算法.

3 模型的啟發(fā)式算法

求解上述班線運(yùn)力優(yōu)化雙層規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵在于尋找反應(yīng)函數(shù)q（xi）的具體表達(dá)形式，但是q（xi）的表達(dá)式是很難準(zhǔn)確的得到的，為此可以通過(guò)靈敏度分析方法得出道路班線某種客運(yùn)方式的客流量對(duì)其運(yùn)力的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，這樣就可以利用泰勒展開式對(duì)反應(yīng)函數(shù)進(jìn)行線性的近似，從而簡(jiǎn)化反應(yīng)函數(shù)以求解雙層規(guī)劃問(wèn)題，這就是基于靈敏度分析方法的啟發(fā)式算法［6］.假設(shè)班線運(yùn)力的初始值為，i＝1，2，3，票價(jià)為企業(yè)依據(jù)市場(chǎng)情況制定，在模型中視為常數(shù)，通過(guò)下層模型便可以求解出在此運(yùn)力水平下，各種運(yùn)輸方式的均衡客流量），通過(guò)靈敏度分析法得到各種客運(yùn)方式的客流量對(duì)其運(yùn)力的導(dǎo)數(shù)關(guān)系為?qi／?xi.于是可以得到qi（xi）函數(shù)的泰勒展開式的近似形式為

將式（8）代入到上層規(guī)劃模型中，則可以求解上層模型，得到新的平衡客流量下的各種客運(yùn)方式的運(yùn)力最優(yōu)組合，將此結(jié)果再次代入下層模型重復(fù)上述過(guò)程，直到解收斂于雙層模型的最優(yōu)解［7］.

具體的計(jì)算步驟如下.

步驟1設(shè)定初始的班線運(yùn)力，i＝1，2，3，此時(shí)迭代次數(shù)k＝0.

步驟2在班線運(yùn)力的條件下，求解下層規(guī)劃模型，得到班線上各種運(yùn)輸方式平衡客流量（）.

步驟3采用靈敏度分析法計(jì)算班線客流量對(duì)各運(yùn)輸方式運(yùn)力的導(dǎo)數(shù)，利用泰勒展開計(jì)算得到上層模型反應(yīng)函數(shù)（xi）.

步驟4將（xi）代入到上層規(guī)劃模型中，求解上層模型，計(jì)算得到當(dāng)前狀態(tài)下最優(yōu)的班線運(yùn)力組合xi（k＋1），i＝1，2，3.

步驟5判斷收斂條件，若ε，?i＝1，2，3，則停止計(jì)算，否則，k＝k＋1，并轉(zhuǎn)入步驟2，其中ε代表規(guī)定的迭代精度.

4 算 例

以武漢地區(qū)道路客運(yùn)中武漢至黃石班線為例，運(yùn)用班線運(yùn)力雙層規(guī)劃模型優(yōu)化武漢至黃石班線的運(yùn)力，此處算例僅僅是為了展示模型的可行性，為此算例中的參數(shù)都是在定性分析基礎(chǔ)上設(shè)定的，實(shí)際應(yīng)用中可以依據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的方法獲得并校正這些參數(shù)，使模型計(jì)算結(jié)果更為科學(xué)合理.武漢到黃石距離115km，道路客運(yùn)運(yùn)力方式有：豪華快車、普通快車以及普通車.預(yù)測(cè)道武漢市黃石路客運(yùn)需求量為1 770人次／d.那么道路客運(yùn)運(yùn)力約束可以表示為以日客運(yùn)能力應(yīng)該能滿足日旅客出行需求，具體表達(dá)式為

式中：平均實(shí)載率s＝0.8；工作車率r＝0.9；車日行程l＝400km／d.

本例中不同車輛的票價(jià)pi由客運(yùn)公司依據(jù)市場(chǎng)情況制定，取固定值，不同車型具體情況見(jiàn)表1.

表1 道路客運(yùn)車型基本情況

運(yùn)力xi，i＝1，2，3表示豪華快車、普通快車與普通車總的座位數(shù)，以此除以各車的額定座位數(shù)便可以計(jì)算得到各車型的車輛數(shù).

上層規(guī)劃中的其他參數(shù)取值見(jiàn)表2.其中單位運(yùn)力投入成本表示的為每臺(tái)車輛的投入成本，日折舊系數(shù)是將資產(chǎn)成本投入均攤到每個(gè)工作車日，采用直線折舊法，折舊期限為10年，凈殘值為零.

下層規(guī)劃模型參數(shù)取值見(jiàn)表3.

表2 上層模型參數(shù)

表3 下層模型參數(shù)

其中系數(shù)αi，βi的標(biāo)定取決于旅客的出行心理及出行選擇行為，選擇普通車的旅客更多考慮的是優(yōu)惠的票價(jià)，而選擇豪華快車的旅客更看重車內(nèi)舒適程度.此處在定性分析的基礎(chǔ)上確定了αi，βi的取值，見(jiàn)表3.實(shí)際應(yīng)用中可以結(jié)合經(jīng)驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)系數(shù)進(jìn)行校正，已達(dá)到滿意的效果.

最后可以得到武漢至黃石班線運(yùn)力優(yōu)化雙層規(guī)劃模型為

上層模型（U）

下層模型（L）

利用前面介紹的基于靈敏度分析方法的啟發(fā)式算法求解得到結(jié)果：武漢至黃石班線最優(yōu)總運(yùn)力為車輛13臺(tái)共690座，其中豪華快車7輛，普通快車4輛，普通車2輛，班線上豪華快車、普通快車及普通車的均衡客流量分別為849，533，291人次／d.

5 結(jié)束語(yǔ)

道路客運(yùn)作為重要的旅客運(yùn)輸方式之一，對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有著重要的作用.合理的優(yōu)化班線運(yùn)力對(duì)道路客運(yùn)班線發(fā)展有著重要意義，現(xiàn)有的班線配置方面的研究主要集中在班線配站方面，對(duì)于具體班線運(yùn)力優(yōu)化的研究較少.本文針對(duì)班線運(yùn)力的優(yōu)化展開研究，以道路客運(yùn)企業(yè)盈利最大化為目標(biāo)，建立上層班線運(yùn)力決策模型；以效益理論為基礎(chǔ)，構(gòu)造了旅客滿意度函數(shù)，建立下層客流分配決策模型.依據(jù)模型的特點(diǎn)給出了基于靈敏度分析方法的啟發(fā)式算法，并以武漢至黃石班線為例驗(yàn)證模型的可行性與科學(xué)性.但在模型求解過(guò)程中假設(shè)票價(jià)依據(jù)市場(chǎng)而定為已知常數(shù)，同時(shí)模型中系數(shù)的確定也多為定性分析，而合理的標(biāo)定這些系數(shù)影響著模型的應(yīng)用價(jià)值，為此在票價(jià)作為變量時(shí)模型的求解及模型系數(shù)的標(biāo)定方面可以做進(jìn)一步的研究.

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