海水中電偶極子電場分布有限元分析

刁愛民，楊慶超，王杏青

(海軍工程大學(xué) a.科研部;b.電氣與信息工程學(xué)院 電磁環(huán)境與防護(hù)系，武漢 430033)

海水中電偶極子的電磁場是目前水下通訊和水下目標(biāo)探測方面的研究重點。電偶極子是指由離開一定距離的電量相同、符號相反的兩個點電荷組成的系統(tǒng)，兩個點電荷之間的距離與待求場點到他們中心的距離相比很小，是最簡單也是最基本的一種電磁場場源，求解電偶極子產(chǎn)生的電場也就可計算出任意場點的電場值。

海水是一種導(dǎo)電媒質(zhì)，當(dāng)海水的深度較大時，假定海水的電導(dǎo)率恒定不變，可將海水看作無限大導(dǎo)體空間，并利用有限元方法對感興趣的區(qū)域進(jìn)行有限分割，選取適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù)，就可近似推導(dǎo)電場的解析表達(dá)式。當(dāng)海水深度較小時，可將深海等效為空氣-海水兩層模型。

1 計算模型

1.1 深海點電荷模型［1］

將海水的電導(dǎo)率視為恒定不變，如圖1 所示，電荷量為Q 的點電荷的電場公式為:

用一個半徑為r 的實心等勢鐵球體代替點電荷，若在球體上加上均勻的固定電勢φ0，則由高斯定律可得:

取另一半徑為R 的高斯面，由高斯定理得:

由E=εD，可得即電勢為φ0，半徑為r 的等勢球體與帶電量為Q=4πεrφ0的點電荷產(chǎn)生的遠(yuǎn)場一樣，可以相互代替。即深海點電荷模型可以是一個等勢小球。

圖1 點電荷模型

2 深海中電偶極子有限元模型

由點電荷模型可知，可用2 個實心等勢鐵球體來代替點電荷構(gòu)建一個電偶極子模型，如圖2 所示。由于電偶極子是指由相距很小距離的電量相同，符號相反的2 個點電荷組成的系統(tǒng)，故應(yīng)滿足2 個條件:①小球的半徑比二者之間的距離至少小1 個數(shù)量級;②求解的范圍比二者之間的距離至少高1 個數(shù)量級。即該模型中電場源為2 個電勢相反的球體，求解域為充分大的充滿海水的立方體，邊界條件為自然邊界條件。

圖2 電偶極子有限元模型

2 電偶極子電場的微分方程和邊界條件［2］

2.1 深海電偶極子有限元模型

式中:φ 表示介質(zhì)中以及金屬表面的電位值;φ0是邊界上電位的給定值，該模型中邊界的電位為0。

2.2 空氣-海水兩層有限元模型［3］

當(dāng)空間分成如圖3 所示的2 個平面，其中一半充滿空氣，另一半為不流動的海水，空氣為區(qū)域1，海水為區(qū)域2。以空氣-海水界面為z =0 的平面，空氣占據(jù)z ＞0 的上半空間，而海水則占據(jù)下半空間，空氣的電磁特性為常數(shù)ε0、μ0和σ0(σ0=0)，假定海水的電磁特性為常數(shù)ε、μ0和σ，則兩部分介質(zhì)中的傳播常數(shù)分別為:

圖3 空氣—海水兩層模型

假設(shè)在海水中有一電流源J，取時諧因子為ejωt，則電場波動方及邊界條件為［4］:

選取一個足夠大的六面體區(qū)域包圍電流源J，則在六面體的外邊界上，電磁場的邊界條件是:

3 有限元方程的求解

應(yīng)用廣義變分原理，對于研究的電磁場方程及對應(yīng)的邊界條件的變分為［5］:

采用的基本單元是六面體單元，并采用了與常規(guī)有限元不同的網(wǎng)格剖分技術(shù)。具體方法是將場域劃分成若干個網(wǎng)曲面，每個曲面層由若干個六面體單元組成。由于在海水平面剖分單元的密度要求高，而在所取區(qū)域上部空氣中和深部單元的密度要求低，因而在實際剖分時對于空氣中和不同深度海水中的曲面層是永不等距的網(wǎng)格剖分，分別采用向上收縮網(wǎng)格和向下收縮網(wǎng)格的方法，大大地減少了單元和節(jié)點數(shù)。經(jīng)求導(dǎo)，并整理，綜合后得總剛度矩陣K:

式中:K 為n×n 方陣;b 為1 ×n 列陣;n 為剖分節(jié)點數(shù)。

將其代入式(8)即可求得垂直電偶極子的電場有限元方程組。

將其代入式(8)即可求得水平電偶極子的電場有限元方程組。

對于式(8)的有限元方程，可通過多種解方程組的方法進(jìn)行求解，直接解法中有LU 分解、Gasuss 法和帶狀矩陣算法等;迭代法有共軛梯度法和復(fù)雙共軛梯度法。當(dāng)線性方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)較差時，LU 分解方法最為穩(wěn)定。如果系數(shù)矩陣中將散度效正項考慮進(jìn)去，則方程組的系數(shù)矩陣變?yōu)椴粚ΨQ，系數(shù)矩陣需要存儲滿陣，這樣就很難滿足三維電磁問題的求解。復(fù)雙共軛梯度法收斂速度快，適用于大型稀疏對稱矩陣，采用一維壓縮內(nèi)存存儲方法，在計算機(jī)上可實現(xiàn)三維電磁問題的求解。

4 誤差分析

在深海模型中，海水的介電常數(shù)為81，球體半徑為0.1 mm，兩球間距離l=10 mm，球表面的電位為φ0= ±105V，則該模型等效于一個電荷量q=320π(C)，距離l=10 mm 的電偶極子產(chǎn)生的場［6］。

用Matlab 計算得到該電偶極子的場如圖4 所示。

圖4 電偶極子電勢分布

穿過電偶極子的對角線上的電場分布如圖5 所示。

圖5 電偶極子對角線上的電場分布

有限元法求得的兩小球的產(chǎn)生的電場分布如圖6所示［7］。

圖6 ansoft 仿真電偶極子的電場分布

將二者對角線的(-3，3)部分的電場分布進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7 所示，有限元的計算結(jié)果變化較為平緩，誤差較大，原因是小球的半徑再小也不能近似為零，所以近場的誤差較大，符合實際。結(jié)果表明小球的曲率越大，附近的電場也就越大，計算結(jié)果也會更加陡峭，跟理論的結(jié)果更相近，但對剖分精度的要求加大，同時增加了計算量。

圖7 對角線上(-3，3)部分的電場分布比較

將二者對角線(-60，-8)部分的電場分布進(jìn)行比較，如圖8 所示，結(jié)果表明二者幾乎重合，表明小球的電偶極子模型的遠(yuǎn)場效果很好，同時對小球的半徑的數(shù)量級要求不高，較為容易實現(xiàn)。

圖8 對角線上(-60，-8)部分的電場分布比較

5 結(jié)束語

本文利用高斯定律從理論上分析了等勢小球和點電荷的電場分布的一致性，同時利用有限元方法推導(dǎo)出了海水中靜態(tài)和時諧電偶極子的電場有限元方程，通過對有限元方程的求解計算得到海水中任意場點的電場值。同時利用Matlab 建立的電偶極子模型比較、分析了靜態(tài)電偶極子模型的誤差，結(jié)果表明有限元電偶極子模型具有很好的遠(yuǎn)場效果?？梢?，運用文中提出的模型在深海區(qū)域?qū)﹄妶雠紭O子進(jìn)行分析是可行的。

［1］威廉·H·海特，約翰·A·巴克.工程電磁場［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2009.

［2］倪光正，楊仕友，錢秀英，等.工程電磁場數(shù)值計算［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［3］Kasper C，April M G.Electroglalvanic Finite Element Analysis of Partially Protected Marine Structures［M］.CORROSION/82，Huaston，TX:NACE，1982:168.

［4］黃臨平，戴世坤.復(fù)雜條件下3D 電磁場有限元計算方法［J］.武漢:中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)報，2002，17(4):373-377.

［5］劉勝道，龔沈光.并矢格林函數(shù)法求解海水中電偶極子電場［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2002.

［6］LI Yong，LIN Pin rong，XU Bao li，et al.Computing the electromagnetic response of the time-harmonic horizontal electric dipole in a homog-enous half-space under ionosphere coupling［C］//China:Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration，2008.

［7］趙博，張洪亮.Ansoft12 在工程電磁場中的應(yīng)用［M］.北京:中國水利水電出版社，2011.