一類海洋生態(tài)動力系統(tǒng)最優(yōu)捕獲策略的數(shù)值模擬

李 丹

（浙江海洋學(xué)院 數(shù)理與信息學(xué)院，浙江 舟山 316004）

0 引言

生態(tài)動力學(xué)數(shù)值模擬研究是指用數(shù)學(xué)公式將光合作用過程和生物中的生態(tài)生理學(xué)過程和食物網(wǎng)中營養(yǎng)關(guān)系表示成源函數(shù)的形式，即將海水運動、海水中營養(yǎng)鹽的輸運和擴散、營養(yǎng)鹽向浮游植物的轉(zhuǎn)化以及生物捕食關(guān)系變成可以計算的形式.這是海洋生態(tài)動力學(xué)研究的一個重要方向.本文主要用理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，分析了模型的動力學(xué)特性并給出了以最大利潤為目的的最優(yōu)捕獲策略的存在性.

1 問題的描述

考慮營養(yǎng)鹽、自養(yǎng)浮游植物和食植魚類相互作用關(guān)系，建立模型如下：

其中，N為營養(yǎng)鹽濃度；P為浮游植物濃度；Z為食植魚類濃度；e為污染強度；Rm為食植魚類的最大攝食率；h為人類對食植魚類的捕撈率。h為模型的參數(shù),其它參數(shù)取值如下表1所示：

表1 參數(shù)意義及其取值

2 正平衡點的存在性

問題（1）的平衡點滿足下列方程：

方程組（2）的解為：

圖1 函數(shù)d1d2－d3的圖像

圖2 函數(shù)Z*的圖像

圖3 函數(shù) f（h）的圖像

圖4 函數(shù) f′（h）的圖像

圖5 函數(shù)y=f′（h）和y=0.1的圖像

根據(jù)文[1]，我們有如下結(jié)論.

定理 1 E1是系統(tǒng)（1）的非負平衡點.當(dāng) E＝0.05，0＜h＜0.1544 時，E2是系統(tǒng)（1）的正平衡點.

文[1]中推導(dǎo)出了E2是系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定平衡點的條件包括d1d2-d3＞0因為d1d2-d3包含超越函數(shù)，無法根據(jù)d1d2-d3＞0給出h具體的表達式，我們通過Matlab軟件畫出了該超越函數(shù)在區(qū)間［0，0.16］的圖像，并通過數(shù)值計算的搜索法得0.0002＜h≤0.1544.

定理 2 當(dāng) E＝0.05，h＞0.1722 時，E1是系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定平衡點.當(dāng)0.0002≤h＜0.1544 時，E2是系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定平衡點.

4 以最大利潤為目標(biāo)的捕獲策略

假設(shè)食植魚在市場上單位價格為p1，單位捕獲量的費用為常數(shù)c，利潤Q≥0，則此時食植魚的捕獲產(chǎn)出量為Y（h）＝hZ，利潤為：

Q（h）＝p1hZ*-ch.（3）

因為在平衡點E1中Z＝0，下面我們只討論E2平衡狀態(tài)下的最優(yōu)捕獲策略.

將平衡點E2代人利潤函數(shù)（3），可得：

上面的表達式非常復(fù)雜，不能求出函數(shù)Q（h）極值點的具體值,下面我們主要用Matlab軟件畫出函數(shù)圖像,討論最優(yōu)捕獲策略的存在性，且當(dāng)p1，c已知時，可借助數(shù)值方法計算最優(yōu)捕獲量的近似值.

令 f（h）＝h*Z*，由圖 2-圖 4 和數(shù)值計算可得如下結(jié)論：1）當(dāng) 0＜h＜0.16，隨著捕獲率h的增加，食植魚類的濃度逐漸減少并趨于0；2）當(dāng)c／p1＜8.7608 時，Q（h）在區(qū)間［0，0.16］內(nèi)有且僅有一個極大值點；3）當(dāng)c／p1＝0.1 時，Q（h）在區(qū)間［0，0.16］內(nèi)有且僅有一個極大值點,該點的近似值為 h＝0.02045.

［1］王洪禮,董占琢.海洋生態(tài)系統(tǒng)非線性動力學(xué)研究[J].海洋技術(shù),2009,28(1):50-54.

［2］孫嘉軼.幾類捕食-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)捕獲策略[D].哈爾濱:哈爾濱理工大學(xué),2010.

［3］王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松，編.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.

［4］陳長勝.海洋生態(tài)系統(tǒng)動力學(xué)與模型[M].北京:高等教育出版社,2003.