土石壩動(dòng)力反應(yīng)分析的阻尼模型及計(jì)算頻率

遲世春，陶警圓，賈宇峰

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部 水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

阻尼是結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中表征能量耗散特征的參數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析結(jié)果的可靠性和精度有很大影響。實(shí)際結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)耗能是多方面的，具體型式相當(dāng)復(fù)雜，而且耗能不像構(gòu)件尺寸、結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度等有明確的、直接的測(cè)量手段和相應(yīng)的分析方法，使得阻尼問(wèn)題難以采用精細(xì)的理論分析方法，而是采用宏觀總體表達(dá)的方法[1]。

結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)耗能的因素較多，但影響程度有所不同。一般認(rèn)為振動(dòng)過(guò)程中耗能因素有以下幾方面：結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)摩擦；連接處的干摩擦；空氣阻尼；地基中波的輻射耗能等。當(dāng)結(jié)構(gòu)體系進(jìn)入彈塑性狀態(tài)時(shí)，構(gòu)件的塑性耗能將遠(yuǎn)大于上述各項(xiàng)耗能。一般分析中不將塑性耗能納入阻尼耗能，而是單獨(dú)加以表達(dá)。對(duì)于松散顆粒集合體構(gòu)成的土石壩而言，筆者認(rèn)為，其耗能的主要部分是顆粒之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的干摩擦，在大震條件下顆粒破碎也消耗一定能量。其塑性耗能一般則納入阻尼耗能加以考慮，除非采用動(dòng)力彈塑性模型描述壩料，此時(shí)塑性耗能與阻尼耗能區(qū)分表達(dá)。

經(jīng)過(guò)近100a的研究，已經(jīng)提出了各種各樣的阻尼表達(dá)方法，主要分為：黏滯阻尼和滯回阻尼（復(fù)阻尼）。黏滯阻尼假定阻尼力與速度成正比，無(wú)論對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)還是非簡(jiǎn)諧振動(dòng)得到的振動(dòng)方程均是線性方程，不僅求解簡(jiǎn)便，而且能夠方便地表達(dá)阻尼對(duì)頻率、共振等的影響，是應(yīng)用最為廣泛的阻尼模型。通過(guò)將阻尼系數(shù)與結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量、剛度相聯(lián)系，可以方便地構(gòu)造出具體的阻尼系數(shù)，是目前最常用的阻尼表達(dá)方法；滯回阻尼則假定應(yīng)力應(yīng)變間存在一相位差，從而振動(dòng)一周有耗能發(fā)生。已經(jīng)提出了各種各樣的滯回阻尼模型，其特點(diǎn)是得到不隨頻率改變的振型阻尼比。因而一般認(rèn)為能較好地反映干摩擦為主的耗能機(jī)制形成的阻尼，但該模型在理論上只適用于簡(jiǎn)諧振動(dòng)或有限頻段內(nèi)的振動(dòng)分析。滯回阻尼還將導(dǎo)致復(fù)數(shù)形式的剛度，這對(duì)一般時(shí)程分析而言，計(jì)算復(fù)雜，因而復(fù)阻尼的實(shí)際應(yīng)用并不多。

目前，在土石壩動(dòng)力分析中的阻尼均采用黏滯阻尼模型。黏滯阻尼模型的最大優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)方程求解方便，缺點(diǎn)是實(shí)際計(jì)入阻尼與頻率相關(guān)。阻尼的頻率相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致壩體動(dòng)力分析中各階振型實(shí)際計(jì)入的阻尼比不同，進(jìn)而導(dǎo)致動(dòng)力分析中某些頻段的動(dòng)力反應(yīng)被人為抑制或放大，引起壩體計(jì)算動(dòng)力反應(yīng)的失真。

1 土石壩動(dòng)力反應(yīng)分析中的阻尼問(wèn)題

在確定瑞利（Rayleigh）阻尼系數(shù)a0、a1時(shí)，根據(jù)振型正交條件[2]，有：

給定任意2個(gè)振型阻尼比，就能確定2個(gè)系數(shù)a0和a1。設(shè)給定的2個(gè)振型阻尼比為ζi和ζj，由上式得：

解上式，有：

這樣，通過(guò)給定任意2階振型的阻尼比ζi和ζj，由式（3）可以求出瑞利阻尼的2個(gè)系數(shù)a0、a1，再由式（1）則確定任意階的振型阻尼比。繪出式（1）表示的阻尼比與頻率的關(guān)系，見(jiàn)圖1。

圖1 Rayleigh阻尼比與頻率的關(guān)系Fig.1 Relationship between Rayleigh damping ratio and frequency

工程計(jì)算中，一般取ωi＝ω1，即結(jié)構(gòu)基頻，而ωj則在對(duì)動(dòng)力反應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)的高階振型中選取。這樣能夠保證對(duì)應(yīng)的這兩個(gè)振型可以得到所需要的阻尼比，而在這兩個(gè)指定頻率之間的頻率所對(duì)應(yīng)的振型具有較低的阻尼比，相反頻率＞ωj的振型阻尼比＞ζj，并隨著頻率增加振型阻尼比單調(diào)遞增。這種情況將導(dǎo)致具有很高頻率的振型反應(yīng)因其高阻尼比而被有效地消除。因此，瑞利阻尼突出了給定振型和附近振型對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響，對(duì)高階振型的削減較為有效。當(dāng)然，也有對(duì)兩個(gè)采用頻率之間的振型反應(yīng)被人為放大的風(fēng)險(xiǎn)。

一般來(lái)講，結(jié)構(gòu)不同振型的阻尼比會(huì)有所不同，這是因?yàn)樵诮Y(jié)構(gòu)的阻尼耗能主要為摩擦耗能的情況下，摩擦耗能取決于結(jié)構(gòu)材料之間的相對(duì)位移，不同振型所表達(dá)的結(jié)構(gòu)材料之間的相對(duì)位移并不同，因此每個(gè)振型的阻尼比也會(huì)有所不同。但在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，目前公認(rèn)的結(jié)論是，以上部結(jié)構(gòu)為主的結(jié)構(gòu)體系具有在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)振型阻尼比不變的特征。即認(rèn)為ζi＝ζj＝ζ，則式（3）變?yōu)椋?/p>

然而，在當(dāng)前土石壩地震反應(yīng)分析的阻尼計(jì)算中，沒(méi)有區(qū)分不同頻率的差別，統(tǒng)一取計(jì)算頻率ω，即：

這樣，計(jì)算頻率的選取則成為問(wèn)題的關(guān)鍵，目前大多取壩體基頻作為計(jì)算頻率。

日本學(xué)者曾對(duì)若干堆石壩實(shí)測(cè)第一周期，提出了堆石壩第一周期與壩高的關(guān)系[3]，岡本舜三提出的公式為：T＝（0.35～0.65）H／100；河上房義提出的公式為：，H為壩高。根據(jù)上述公式，壩高50m堆石壩的基本周期為0.175～0.325s。隨著現(xiàn)代碾壓技術(shù)的提高，堆石料被壓實(shí)的更為緊密，堆石壩的基本周期還會(huì)減少。

地震的卓越周期是另一個(gè)影響壩體地震反應(yīng)的重要因素。我國(guó) 《水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定了設(shè)計(jì)反應(yīng)譜及譜峰值對(duì)應(yīng)的周期為 [0.1，Tg][4]，一、二、三、四類場(chǎng)地的Tg分別為0.2、0.3、0.4、0.65s。因此，對(duì)一般場(chǎng)地，壩高＜50m的低壩，其基本周期與地震卓越周期基本吻合。此時(shí)壩體第一振型的反應(yīng)占優(yōu)，壩體動(dòng)力反應(yīng)主要受第一振型以及附近的幾階低階振型控制。此時(shí)，在瑞利阻尼計(jì)算中采用壩體第一周期對(duì)應(yīng)的基頻是合適的。

但對(duì)壩高達(dá)到300m級(jí)的高土石壩，情況則較為復(fù)雜。圖2為300m高心墻堆石壩自振頻率與基巖設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的對(duì)比。可以看出，壩體基本周期為1.712s，對(duì)應(yīng)的譜值較小為0.32；而第7、8、9階周期在0.1～0.2s之間，對(duì)應(yīng)著反應(yīng)譜的峰值。此時(shí)，地震作用壩體第一振型放大較小，而6～12階振型放大較大。若再采用基頻作為計(jì)算阻尼的唯一頻率，顯然6～12階振型阻尼會(huì)被高估，進(jìn)而低估高階振型反應(yīng)，得到的土石壩地震反應(yīng)偏小，應(yīng)用于設(shè)計(jì)則偏不安全。

圖2 基巖設(shè)計(jì)反應(yīng)譜及300m堆石壩自振周期[5]Fig.2 Design response spectrum on bedrock and natural periods of 300mrockfill dam

同濟(jì)大學(xué)樓夢(mèng)麟教授提出了采用轉(zhuǎn)換頻率計(jì)算土石壩阻尼[6]。轉(zhuǎn)換頻率ωc是通過(guò)對(duì)多條地震波作用下地基土層的時(shí)域反應(yīng)分析，并與頻域結(jié)果比較，求取土層頂部絕對(duì)加速度最大值誤差隨阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率變化曲線，以誤差為零的頻率為最佳擬合頻率，對(duì)最佳擬合頻率回歸分析，得到阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率的經(jīng)驗(yàn)公式[7]，由轉(zhuǎn)換頻率代替基頻進(jìn)行阻尼計(jì)算。該方法綜合考慮了地震波的頻譜特性和地基土層的特性，但由于是針對(duì)地基土層，是否適合土石壩不得而知。

Idriss等提出了一種采用2個(gè)頻率來(lái)確定阻尼系數(shù)的新方法[8]，即ωi＝ω1，ωj＝nω1。ω1為基頻，n為＞ωe／ω1的奇數(shù)，其中ωe為地震波的主頻。也可直接取ωj為地震的卓越頻率ωp，或?qū)ⅵ豭取為輸入地震波Fourier譜的重心處頻率ωg，以作為阻尼計(jì)算的改進(jìn)。

2 不同阻尼模型的土石壩地震反應(yīng)

本文采用瑞利阻尼模型，但其計(jì)算頻率取以下5種情況，見(jiàn)表1。分別進(jìn)行了壩高為50，100，150，200，250，300m的6種心墻堆石壩的地震反應(yīng)分析計(jì)算。壩體的上、下游壩坡均取1∶2.0，心墻上、下游面坡度均為1∶0.2。為簡(jiǎn)化計(jì)算，壩體僅考慮堆石料和心墻料兩種壩料。靜力計(jì)算采用鄧肯E-B模型，計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 確定Rayleigh阻尼系數(shù)的5種方法Table1 Five methods to determine the Rayleigh damping parameters

表2 鄧肯E-B模型參數(shù)Table2 Parameters of Duncan E-B model

土石壩動(dòng)力計(jì)算，最大動(dòng)剪模量采用：

式中C，n分別為最大動(dòng)剪模量系數(shù)和指數(shù)；Pa為大氣壓力。

堆石料C＝2455、n＝0.6，心墻料C＝1688，n＝0.464。

壩料模量衰減和阻尼增長(zhǎng)曲線按照筆者等統(tǒng)計(jì)的國(guó)內(nèi)外筑壩土石料試驗(yàn)曲線的擬合公式[9]：

式中b為動(dòng)剪模量比衰減曲線在動(dòng)剪應(yīng)變幅γ在10－6～10－1之間時(shí)的最小值；x0為曲線拐點(diǎn)值，調(diào)整曲線在應(yīng)變軸上的位置；m為指數(shù)；A1、A2為阻尼比增長(zhǎng)曲線在動(dòng)剪應(yīng)變幅γ在10－6～10－1之間時(shí)的最小值和最大值；α為系數(shù)，調(diào)整曲線在應(yīng)變軸上的位置；n為指數(shù)。

堆石料和心墻料的上述參數(shù)見(jiàn)表3。

采用規(guī)范譜人工地震波輸入，擬合設(shè)計(jì)反應(yīng)譜參數(shù)為βmax＝2.0，Tg＝0.3s，峰值加速度Amax＝0.2g，地震持時(shí)為24s。人工地震波加速度時(shí)程曲線及其Fourier譜見(jiàn)圖3。

表3 動(dòng)模量與阻尼曲線參數(shù)Table3 Parameters of dynamic modulus and damping

圖3 人工地震波加速度時(shí)程曲線及其Fourier譜Fig.3 Acceleration time history and Fourier spectrum of artificial seismic wave

表4列出了各阻尼模型下不同壩高的壩頂最大加速度。由表4可見(jiàn)，與頻域解比較采用傳統(tǒng)阻尼模型1時(shí)壩高＞100m則壩頂加速度均被低估，且低估程度也隨著壩高的增加而增大。

采用模型2計(jì)算的壩頂加速度略偏低，但較模型1有改進(jìn)。模型3和模型5計(jì)算的壩頂加速度反應(yīng)明顯偏大，這說(shuō)明Idriss方法確定的頻率或以Fourier譜重心頻率作為阻尼計(jì)算頻率ωj偏大，使得ωi和ωj之間的較多階振型的振型阻尼比被低估，總體加速度反應(yīng)明顯偏大；由模型4的計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，采用地震波卓越頻率和壩體基頻來(lái)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，加速度反應(yīng)略微偏大。

表4 不同阻尼模型下壩頂最大加速度Table4 Peak acceleration at dam crest under different damping models

由上述分析可見(jiàn)，當(dāng)壩高較低時(shí)，僅考慮結(jié)構(gòu)的自振頻率計(jì)算阻尼是可行的，但當(dāng)壩高較高時(shí)，各阻尼模型計(jì)算的壩體反應(yīng)偏大或只在少數(shù)壩高處與頻域解接近。

3 地震輸入對(duì)阻尼計(jì)算頻率的影響

在目前的土石壩動(dòng)力計(jì)算中，阻尼模型一般采用式（5）計(jì)算阻尼。選用的計(jì)算頻率不同，動(dòng)力分析的結(jié)果也不同。因?yàn)樵谟?jì)算頻率（即壩基頻）處，對(duì)應(yīng)著材料的實(shí)際試驗(yàn)阻尼，在阻尼頻率曲線上卻為最小值，見(jiàn)圖4。這樣，在其它高階振型的頻率處壩體實(shí)際計(jì)入的阻尼會(huì)高于壩料的實(shí)際阻尼。如果計(jì)算頻率附近的振型反應(yīng)占?jí)误w結(jié)構(gòu)反應(yīng)的絕大部分，則動(dòng)力反應(yīng)分析成果是可以接受的。因?yàn)檎冀^大部分的壩體反應(yīng)采用了合適的阻尼。

因?yàn)閴误w反應(yīng)與輸入地震的頻譜特性有關(guān)，為此需要研究輸入地震的頻譜特性與阻尼計(jì)算頻率的關(guān)系。根據(jù) 《水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范（DL5073-2000）》的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜及4類場(chǎng)地的特征周期Tg＝0.2，0.3，0.4，0.65s，擬合了4條規(guī)范譜人工地震波，見(jiàn)圖5。4條地震波的最大峰值加速度Amax＝0.2g，βmax＝2.0，地震持時(shí)均為24s。

圖4 阻尼比與頻率關(guān)系曲線示意圖Fig.4 Schematic diagram of damping ratio vs.frequency

圖5 不同特征周期的規(guī)范譜人工地震波Fig.5 Acceleration time history of artificial seismic wave with different characteristic period

采用阻尼公式（5），計(jì)算了不同特征周期規(guī)范譜人工波作用下6種壩高心墻堆石壩的動(dòng)力反應(yīng)，繪制了壩頂最大加速度反應(yīng)與阻尼計(jì)算頻率的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖6。

由圖6可見(jiàn)，阻尼計(jì)算頻率、壩高及反應(yīng)譜特征周期對(duì)壩體反應(yīng)的影響均較大。輸入地震波的目標(biāo)反應(yīng)譜分別采用4種特征周期，6種壩高的壩頂最大加速度反應(yīng)與阻尼計(jì)算頻率曲線的差別也較大。顯然，確定阻尼計(jì)算頻率需考慮壩高和地震輸入兩個(gè)因素，也就是應(yīng)當(dāng)考慮壩體的自振特性及輸入地震波頻譜特征的共同影響。

以300m高心墻堆石壩為例，分析輸入地震波目標(biāo)譜特征周期對(duì)壩體最大加速度反應(yīng)的影響。圖6（a）中當(dāng)阻尼計(jì)算頻率＞7rad／s后，壩頂最大反應(yīng)對(duì)計(jì)算頻率并不敏感，說(shuō)明對(duì)位于近震基巖場(chǎng)地上300m級(jí)的高土石壩，阻尼計(jì)算頻率可取大于壩體2階頻率7.45rad／s的任何數(shù)值，對(duì)壩體反應(yīng)的影響均不大；而圖6（b）、圖6（c）、圖6（d）中壩高300m時(shí)的曲線顯示，壩體反應(yīng)受計(jì)算頻率影響大，因此對(duì)遠(yuǎn)震深厚覆蓋層上的壩，阻尼計(jì)算頻率對(duì)壩體反應(yīng)的影響較大，需要研究壩高及地震頻譜特性的影響后再行確定較為妥當(dāng)。

根據(jù)圖6，查出壩頂最大加速度曲線取得極值時(shí)的阻尼計(jì)算頻率，見(jiàn)表5，并將該頻率對(duì)應(yīng)的壩體自振頻率階數(shù)范圍也列入表中。由表5可見(jiàn)，壩高為50m時(shí)，壩頂最大反應(yīng)對(duì)應(yīng)的阻尼計(jì)算頻率較一致，且與該土石壩的基頻接近。而壩高100m及其以上的壩體，隨著輸入地震動(dòng)的頻譜特性的不同，壩頂最大加速度曲線的極值頻率及其對(duì)應(yīng)的階數(shù)有較大差異。若以最大加速度反應(yīng)為預(yù)測(cè)目標(biāo)，則特征周期較長(zhǎng)時(shí)，宜應(yīng)采用相對(duì)較小的頻率；反之則采用較大的頻率計(jì)算阻尼。

表5 壩頂加速度最大值時(shí)的阻尼計(jì)算頻率及其對(duì)應(yīng)的壩體自振頻率階數(shù)Table5 Control frequency in damping calculation and corresponding model number for free vibration of dam when acceleration of dam crest gets maximal value ／rad·s－1

因此，地震頻譜特性對(duì)壩體的動(dòng)力響應(yīng)有較大影響，在選擇阻尼模型和確定阻尼系數(shù)時(shí)，如果不充分考慮到這一點(diǎn)，很可能會(huì)低估或高估阻尼的作用，從而導(dǎo)致計(jì)算得到的動(dòng)力響應(yīng)不合理。

4 高階自振頻率阻尼模型

瑞利阻尼模型采用式（4）的兩個(gè)控制頻率計(jì)算，但ωi與ωj也可均取高階自振頻率，具體取法見(jiàn)表6，進(jìn)行壩體動(dòng)力有限元分析，得到壩頂最大加速度反應(yīng)列入表7。

表6 高階自振頻率阻尼模型Table6 Damping model for high model frequencies of free vibration

表7 高階頻率阻尼模型與頻域解的壩頂最大加速度Table7 Dam crest accelerations under new damping model

由表7可見(jiàn)，壩頂最大加速度反應(yīng)與頻域解接近，較前面討論的幾種阻尼方法有所改進(jìn)，隨著壩高的增加，壩體的加速度反應(yīng)并不會(huì)被低估。因此，阻尼模型計(jì)算頻率均取高階振型頻率也是不錯(cuò)的選擇。

5 結(jié) 論

目前土石壩地震動(dòng)力反應(yīng)分析一般采用瑞利阻尼模型，其計(jì)算頻率取壩體基頻。但瑞利阻尼模型實(shí)際計(jì)入結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的振型阻尼比與計(jì)算頻率有關(guān)，其特點(diǎn)如下：在計(jì)算頻率附近實(shí)際計(jì)入的振型阻尼比等于材料的試驗(yàn)阻尼比；在2個(gè)計(jì)算頻率之間則小于材料阻尼；在2個(gè)計(jì)算頻率以外則高于材料阻尼。通常只采用基頻計(jì)算瑞利阻尼系數(shù)，則除基頻點(diǎn)外實(shí)際計(jì)入的阻尼均高于實(shí)際材料阻尼。

對(duì)壩高相對(duì)較低的土石壩而言，只采用基頻的阻尼模型其計(jì)算精度是可接受的。這是因?yàn)?0m左右的土石壩基頻與基巖上地震卓越頻率相近，基頻附近的振型在動(dòng)力反應(yīng)中占優(yōu)，而高階頻率成分的反應(yīng)很小，即使高階振型阻尼稍高對(duì)壩體動(dòng)力反應(yīng)的影響也非常有限。但對(duì)高土石壩則不然，300 m級(jí)高壩的基頻很低，周期較長(zhǎng)，動(dòng)力反應(yīng)中占優(yōu)的振型在6～12階左右，若再采用基頻作為計(jì)算阻尼的唯一頻率顯然會(huì)高估動(dòng)力反應(yīng)中主要振型的阻尼比進(jìn)而地震得到的壩體反應(yīng)偏小，應(yīng)用于設(shè)計(jì)則偏不安全。

解決問(wèn)題的思路是采用2個(gè)頻率控制的瑞利阻尼模型。阻尼計(jì)算頻率的選擇要考慮壩體自振特性和輸入地震波的頻譜特性影響。但對(duì)近震基巖場(chǎng)地上的300m級(jí)高土石壩，阻尼計(jì)算頻率可?。?階頻率即可，其它場(chǎng)地或壩高時(shí)，計(jì)算頻率的選取需進(jìn)行相關(guān)研究后確定。

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