考慮偏心及繞組耦合的無(wú)軸承永磁同步電機(jī)建模

孫曉東 陳 龍 楊澤斌 朱秋 左文全 施 凱

（1．江蘇大學(xué)汽車工程研究院 鎮(zhèn)江 212013 2.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院 鎮(zhèn)江 212013）

1 引言

磁軸承是近三十年發(fā)展起來(lái)的一種新型高性能軸承，具有無(wú)摩擦、無(wú)磨損、不需潤(rùn)滑及密封、高速度、高精度及壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，已在能源交通、機(jī)械加工工業(yè)、航空航天及機(jī)器人等領(lǐng)域獲得了實(shí)際應(yīng)用[1,2]。然而由于磁軸承體積及激勵(lì)功率大，導(dǎo)致磁軸承支承的電機(jī)結(jié)構(gòu)尺寸和成本增大，臨界轉(zhuǎn)速降低，使其在大功率和微型應(yīng)用場(chǎng)合受限制。無(wú)軸承電機(jī)是依據(jù)磁軸承和傳統(tǒng)交流電機(jī)結(jié)構(gòu)的相似性，將磁軸承技術(shù)和電機(jī)相結(jié)合提出的一種新型特種電機(jī)。與磁軸承支承的電機(jī)相比，無(wú)軸承電機(jī)尺寸小、功率密度高，能同時(shí)實(shí)現(xiàn)高轉(zhuǎn)速和大功率，因此無(wú)軸承電機(jī)具有比磁軸承更廣闊的應(yīng)用前景。

無(wú)軸承電機(jī)的種類很多，其中結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)行可靠、 功率密度大的無(wú)軸承永磁同步電機(jī)（BPMSM）受到了高度重視[3-13]。BPMSM 是在傳統(tǒng)永磁同步電機(jī)的定子上增加了一套懸浮力繞組，其激勵(lì)的懸浮力繞組氣隙磁場(chǎng)與原有的永磁同步電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)（永磁體激勵(lì)的磁場(chǎng)與轉(zhuǎn)矩繞組激勵(lì)的磁場(chǎng)，這兩部分磁場(chǎng)合稱為“轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場(chǎng)”）相疊加。通過(guò)調(diào)節(jié)懸浮力繞組電流以改變氣隙磁場(chǎng)的分布，利用轉(zhuǎn)子一對(duì)極兩側(cè)的氣隙磁場(chǎng)不平衡作用產(chǎn)生的作用于轉(zhuǎn)子上的徑向懸浮力，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

BPMSM 本體的設(shè)計(jì)和控制策略的研究、設(shè)計(jì)及分析都需要以準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型為理論依據(jù)，因此數(shù)學(xué)模型的研究一直受到相關(guān)學(xué)者的關(guān)注。BPMSM兩套繞組共同作用產(chǎn)生徑向懸浮力，電磁轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力之間，以及徑向兩自由度懸浮力之間存在耦合關(guān)系，而且BPMSM 實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中還存在定轉(zhuǎn)子偏心，使得BPMSM 相對(duì)于傳統(tǒng)的永磁同步電機(jī)而言，是一個(gè)更為復(fù)雜的非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，這就給BPMSM的數(shù)學(xué)建模增加了難度。

文獻(xiàn)[5]通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法確定了表面貼裝式BPMSM的電感系數(shù)，進(jìn)而利用虛位移方法確定了BPMSM 徑向懸浮力模型，該方法所用參數(shù)需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得，計(jì)算量較大，而且實(shí)驗(yàn)測(cè)量容易引起較大的誤差，文獻(xiàn)[6,7]分別對(duì)插入式、埋入式BPMSM 做了深入研究，由轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組交鏈的磁鏈方程得出電磁能數(shù)學(xué)表達(dá)式，再對(duì)該電磁能表達(dá)式求偏導(dǎo)得出轉(zhuǎn)子受到的徑向懸浮力表達(dá)式，文獻(xiàn)[8]研究了具有4 極轉(zhuǎn)矩繞組和2 極懸浮力繞組的無(wú)軸承電機(jī)通用可控徑向懸浮力解析模型，分別對(duì)凸極型無(wú)軸承同步磁阻電機(jī)、圓柱形無(wú)軸承異步電機(jī)和表面貼裝式 BPMSM 進(jìn)行對(duì)比研究，并進(jìn)行了徑向懸浮力的靜力實(shí)驗(yàn)和分析，驗(yàn)證了通用可控徑向懸浮力解析模型的有效性和正確性，文獻(xiàn)[5-8]對(duì)BPMSM 數(shù)學(xué)模型的研究?jī)H僅停留在徑向懸浮力上，并未涉及電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程，而且對(duì)定轉(zhuǎn)子偏心情況下的徑向懸浮力與電磁轉(zhuǎn)矩之間的影響沒(méi)有展開研究。文獻(xiàn)[9]利用機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換建立了 BPMSM 轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組的磁鏈與電壓方程，通過(guò)分析BPMSM 內(nèi)的各部分洛侖茲力確定了電磁轉(zhuǎn)矩方程，在分析BPMSM 各部分徑向懸浮力數(shù)學(xué)表達(dá)形式的基礎(chǔ)上，得出BPMSM 徑向懸浮力方程的完整形式。該方法建模概念清晰、簡(jiǎn)單直觀、易于理解，但是并未將轉(zhuǎn)矩方程與徑向懸浮力方程統(tǒng)一起來(lái)，沒(méi)有考慮兩者之間的耦合關(guān)系。

本文首先介紹了BPMSM的徑向懸浮力產(chǎn)生原理，針對(duì)無(wú)軸承電機(jī)相關(guān)電感參數(shù)難以準(zhǔn)確實(shí)驗(yàn)測(cè)量，從而難以得到徑向懸浮力和電磁轉(zhuǎn)矩較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，根據(jù)電機(jī)磁路原理，用解析法推導(dǎo)出BPMSM各電感參數(shù)較為準(zhǔn)確的解析計(jì)算模型，并基于此電感模型推導(dǎo)出BPMSM的徑向懸浮力和電磁轉(zhuǎn)矩的解析模型。由于該方法充分考慮了定轉(zhuǎn)子偏心狀況時(shí)徑向懸浮力與電磁轉(zhuǎn)矩之間的耦合關(guān)系，因此采用該方法后，BPMSM系統(tǒng)的靜、動(dòng)態(tài)性能得到顯著改善。最后在一臺(tái)表面貼裝式BPMSM實(shí)驗(yàn)樣機(jī)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該數(shù)學(xué)模型的優(yōu)良特性。

2 BPMSM 徑向懸浮力產(chǎn)生原理

當(dāng)BPMSM轉(zhuǎn)矩繞組極對(duì)數(shù)pM=1，且懸浮力繞組極對(duì)數(shù)pB=2時(shí)，BPMSM徑向懸浮力產(chǎn)生原理如圖1所示，四極懸浮力繞組NBα和NBβ與二極轉(zhuǎn)矩繞組NMα和NMβ一起疊壓在定子槽內(nèi)，通過(guò)懸浮力繞組電流所產(chǎn)生的四極磁通ψ4打破二極氣隙磁通ψ2的平衡來(lái)產(chǎn)生徑向懸浮力。當(dāng)轉(zhuǎn)子位于中心位置時(shí)，對(duì)稱的二極磁通ψ2由永磁體產(chǎn)生，電機(jī)在空載運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組電流產(chǎn)生的磁通比較小，可以忽略不計(jì)。如果NBα和NBβ中不通入電流，ψ2是平衡的，不產(chǎn)生徑向懸浮力。當(dāng)NBα中通入正向電流之后，產(chǎn)生的ψ4如圖1a所示，導(dǎo)致在轉(zhuǎn)子右側(cè)氣隙1處的磁密增強(qiáng)，轉(zhuǎn)子左側(cè)氣隙3處的磁密減弱，產(chǎn)生沿α軸正方向的徑向懸浮力，從而使轉(zhuǎn)子向α軸正方向偏移；如果NBα中通入相反方向的電流，則會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沿α軸負(fù)方向的徑向懸浮力。同理，圖1b為β方向的徑向懸浮力產(chǎn)生原理圖，繞組NBβ與NBα在電氣坐標(biāo)系中互相垂直，當(dāng)NBβ中通入正向電流之后，產(chǎn)生的ψ4打破了ψ2的平衡，導(dǎo)致在氣隙1′和氣隙2′處的磁密增強(qiáng)，而氣隙3′和氣隙4′處的磁密減弱，產(chǎn)生沿β軸正方向的徑向懸浮力，從而使轉(zhuǎn)子向β軸正方向偏移；如果NBβ中通入相反方向的電流，則會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沿β軸負(fù)方向的徑向懸浮力。因此，通過(guò)控制懸浮力繞組NBα和NBβ中的電流就可以控制徑向懸浮力的大小和方向，從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

圖1 徑向懸浮力產(chǎn)生示意圖Fig.1 Producing principles of radial suspension forces

3 BPMSM 電感矩陣模型

實(shí)際BPMSM 中繞組為三相，由于三相繞組經(jīng)3/2 變換可等效為兩相繞組，為簡(jiǎn)便計(jì)，本文以兩相等效繞組為例進(jìn)行推導(dǎo)。α-β坐標(biāo)系為靜止直角坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)位于定子中心線上。圖 2 為BPMSM 定轉(zhuǎn)子產(chǎn)生偏心時(shí)的示意圖。轉(zhuǎn)子外表面和定子內(nèi)表面之間的氣隙長(zhǎng)度g(θ)可以寫為轉(zhuǎn)子在α和β方向上的偏心距離。設(shè)圖中O′(α，β)為偏心轉(zhuǎn)子軸心的坐標(biāo)；R為定子內(nèi)半徑；r為轉(zhuǎn)子外半徑；g0為單邊平均氣隙長(zhǎng)度；Δg為偏心氣隙長(zhǎng)度，從而g(θ)可表示為

式中θ——沿定子內(nèi)表面逆時(shí)針機(jī)械角度；

α，β——轉(zhuǎn)子沿α、β方向的徑向位移。

圖2 轉(zhuǎn)子偏心示意圖Fig.2 Sketch of rotor eccentricity

考慮到BPMSM 在懸浮運(yùn)行過(guò)程中，轉(zhuǎn)子偏心位移一般遠(yuǎn)小于電機(jī)的單邊平均氣隙長(zhǎng)度，故轉(zhuǎn)子偏心的平方項(xiàng)(Δg)2可忽略不計(jì)，則氣隙長(zhǎng)度倒數(shù)可表示為

則作用在圓周 dθ弧度內(nèi)的氣隙磁導(dǎo)分布函數(shù)為

式中μ0——空氣磁導(dǎo)率；

l——轉(zhuǎn)子鐵心有效長(zhǎng)度。

在圖1 中，定義轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組的a 相繞組軸線重合且位于α軸線上。轉(zhuǎn)矩繞組每相串聯(lián)有效匝數(shù)為WM，懸浮力繞組每相串聯(lián)有效匝數(shù)為WB，在等效原則下，假設(shè)各繞組為整距集中繞組，則繞組沿氣隙的分布為一周期性矩形波。通過(guò)傅里葉分解，可將周期性矩形波分解為基波和一系列奇次諧波，這里只考慮基波繞組，此時(shí)基波繞組在空間按正弦規(guī)律分布，其中基波的幅值為矩形波幅值的4/π，記為K，則各繞組沿氣隙圓周的匝數(shù)分布規(guī)律可表示為

如果BPMSM 空載運(yùn)行，則各相正弦繞組（或等效正弦繞組）中流過(guò)的對(duì)稱正弦電流為

式中iMa，iMb——轉(zhuǎn)矩繞組電流α軸與β軸分量（包括轉(zhuǎn)子永磁體激勵(lì)的磁場(chǎng)等效至轉(zhuǎn)矩繞組中的電流部分）；

iBa，iBb——懸浮力繞組電流α軸與β軸分量；

若忽略電機(jī)鐵心磁路壓降以及鐵心磁飽和的影響，則沿定子內(nèi)表面dθ弧度內(nèi)的氣隙磁通量dφMa(θ)可以表示為（以a 相為例）

式中VMa——由轉(zhuǎn)子偏心所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子磁位偏移。

根據(jù)高斯定律，氣隙磁通量dφMa(θ)沿氣隙圓周的積分為零，則可以計(jì)算出轉(zhuǎn)子偏心引起的轉(zhuǎn)子磁位VMa表達(dá)式為

同理可以計(jì)算出

則BPMSM 在電機(jī)轉(zhuǎn)子外表面dθ弧度內(nèi)產(chǎn)生的各相氣隙磁通變化規(guī)律為

根據(jù)磁鏈和電流的關(guān)系，可定義出BPMSM的轉(zhuǎn)矩繞組自感矩陣LM、懸浮力繞組自感矩陣LB以及兩套之間的互感矩陣M分別為

將式（4）、式（5）、式（9）代入式（10），對(duì)各電感矩陣參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得到電感矩陣模型為

式中LM，LB——轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組的自感系數(shù)，

M——兩套繞組的互感系數(shù)，且

4 BPMSM 數(shù)學(xué)模型

4.1 徑向懸浮力方程

由于電機(jī)的磁場(chǎng)儲(chǔ)能反映為繞組激磁電流在繞組電感中的儲(chǔ)能，如果忽略電機(jī)磁路飽和與鐵心磁壓降，則電機(jī)氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能Wm可表示為

式中i——兩相靜止坐標(biāo)系下的電流矢量，

根據(jù)虛位移原理，徑向懸浮力可表示為電磁能Wm對(duì)位移的偏導(dǎo)，對(duì)式（12）求偏導(dǎo)，得到的α、β方向上的徑向懸浮力為

用式（5）中的iMa與iMb代入，此時(shí)式（13）可表示為

對(duì)于懸浮力繞組電流矢量控制，若采用以下PARK 逆變換公式

式中iBd，iBq——懸浮力繞組電流在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的d 軸與q 軸分量。

則式（14）變?yōu)?/p>

式中If——轉(zhuǎn)子永磁體激勵(lì)的磁場(chǎng)等效至轉(zhuǎn)矩繞 組中的電流部分；

iMd，iMq——轉(zhuǎn)矩繞組電流在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的

d 軸與q 軸分量；

另外，BPMSM 轉(zhuǎn)子受到的徑向懸浮力還包括由于轉(zhuǎn)子偏心引起氣隙磁場(chǎng)分布不均而產(chǎn)生的徑向懸浮力。這部分徑向懸浮力隨轉(zhuǎn)子偏心程度的增加而增大，而且兩者之間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)與轉(zhuǎn)矩繞組電流平方成正比例關(guān)系[14]。由電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的均勻性與對(duì)稱性可知，這種正比例關(guān)系在α、β方向上是等同的。該部分徑向懸浮力可表示為

式中，K=kd+kq，kd與kq均為常數(shù)。

綜合式（16）與式（17），得到BPMSM的徑向懸浮力方程為

4.2 電磁轉(zhuǎn)矩方程

由于負(fù)載變化、外在干擾以及徑向位移檢測(cè)誤差，將會(huì)導(dǎo)致BPMSM 懸浮運(yùn)行時(shí)定轉(zhuǎn)子中心并不重合，總是存在偏心，因此轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組之間存在大小隨轉(zhuǎn)子位移成正比變化的互感，此時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩與徑向懸浮力之間的耦合關(guān)系更加復(fù)雜，故必須考慮懸浮力繞組對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩的影響。在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組的電流可以表示為如下矢量形式

則式（12）表示的電機(jī)氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能Wm可改寫為

根據(jù)虛位移原理，電磁轉(zhuǎn)矩可表示為電磁能Wm對(duì)轉(zhuǎn)子位置角的偏導(dǎo)，因此電磁轉(zhuǎn)矩方程為[15]

由式（21）可以看出，當(dāng)考慮定轉(zhuǎn)子偏心情況時(shí)，除了第1 項(xiàng)為轉(zhuǎn)子永磁體等效勵(lì)磁電流與轉(zhuǎn)矩繞組電流相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩，與傳統(tǒng)表面貼裝式永磁同步電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩公式相同外，后面4 項(xiàng)體現(xiàn)了懸浮力繞組對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的影響。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文以一臺(tái)表面貼裝式BPMSM 為實(shí)驗(yàn)樣機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)參數(shù)如下：功率1kW，定子外徑130mm，定子內(nèi)徑69mm，轉(zhuǎn)子外徑67mm，永磁體厚度2mm，電機(jī)氣隙2mm，36 槽，電機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組電阻2.01Ω，直軸和交軸電感0.008H，懸浮力繞組電阻1.03 Ω，直軸和交軸電感0.003H，兩套繞組互感為0.000 16H，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.007 69kg·m2，輔助機(jī)械軸承氣隙為0.5mm。

為了驗(yàn)證本文模型推導(dǎo)的正確性，以轉(zhuǎn)矩繞組為例，將轉(zhuǎn)矩繞組交直軸電感的理論計(jì)算值與測(cè)量值進(jìn)行了比較，結(jié)果見(jiàn)下表。從表可以看出，理論值與測(cè)量值十分接近。

表 轉(zhuǎn)矩繞組交直軸電感的理論值與測(cè)量值比較Tab. Comparison between measured inductance and theoretical one(dq-axis)of torque windings

當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組采用iMd=0的矢量控制時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組的表達(dá)式可以表示為

此時(shí)相應(yīng)的BPMSM 矢量控制框圖如圖3 所示。

圖3 BPMSM 控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Control system block diagram of the BPMSM

為了驗(yàn)證本文所提出建模方法的有效性，對(duì)采用本文模型（簡(jiǎn)稱為新模型）及未采用本文模型（簡(jiǎn)稱為原模型）兩種情況進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，其中原模型的具體建模過(guò)程可參考文獻(xiàn)[16]，并且兩種模型均是采用iMd=0的矢量控制，圖4 和5 所示分別為采用原模型和新模型時(shí)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的穩(wěn)、動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)波形。其中，圖4a 和5a 為實(shí)驗(yàn)樣機(jī)在轉(zhuǎn)速恒定為1 200r/min 時(shí)，電機(jī)的徑向位移波形，從上向下依次為α、β方向上徑向位移。圖4b 和5b 為α與β方向上徑向位移關(guān)系波形，圖4c 和5c 為實(shí)驗(yàn)樣機(jī)從600r/min 升速到1 200r/min 時(shí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程試驗(yàn)波形，圖4d 和5d 為轉(zhuǎn)速變化過(guò)程中轉(zhuǎn)子α方向徑向位移的動(dòng)態(tài)變化曲線。

從圖4a 和5a，及圖4b 和5b的比較可知，轉(zhuǎn)子在α、β方向上總的位移幅值范圍減小，穩(wěn)態(tài)懸浮精度由原來(lái)的±40μm 左右提高到±35μm 左右，峰-峰值從原來(lái)的小于80μm，提高到小于70μm；從圖4c 和5c 比較，及圖4d 和5d 比較可知，實(shí)驗(yàn)樣機(jī)從600r/min 動(dòng)態(tài)升速到1 200r/min 所需的時(shí)間由原來(lái)的1.6s 縮短到0.8s。這說(shuō)明，采用本文模型時(shí)有效地提高了電機(jī)懸浮運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)態(tài)精度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的動(dòng)、穩(wěn)態(tài)試驗(yàn)結(jié)果表明了本文研究方法的可行性和有效性。

圖4 原模型穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)波形Fig.4 Static and dynamic waveforms of previous model

圖5 新模型穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)波形Fig.5 Static and dynamic waveforms of new model

6 結(jié)論

根據(jù)電機(jī)磁路原理，詳細(xì)分析推導(dǎo)出了BPMSM 電感系數(shù)和電感矩陣解析計(jì)算模型，并基于該電感矩陣模型和電機(jī)電磁場(chǎng)虛位移原理，建立BPMSM 徑向懸浮力和電磁轉(zhuǎn)矩的計(jì)算公式。充分考慮了在定轉(zhuǎn)子偏心情況下，懸浮力繞組對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩的耦合影響，為電機(jī)運(yùn)行狀態(tài)的分析和無(wú)軸承電機(jī)的本體設(shè)計(jì)提供了可靠的理論依據(jù)。實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明，利用該模型能更好的實(shí)現(xiàn)電機(jī)在穩(wěn)、動(dòng)態(tài)場(chǎng)合下的穩(wěn)定懸浮運(yùn)行，從而為BPMSM 走向?qū)嵱没峁┝艘环N有效手段。

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