高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)初探

●潘洪艷

《高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。下面結(jié)合概念教學(xué)的一般過(guò)程，談?wù)劰P者在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些體會(huì)。

一、引入概念時(shí)創(chuàng)設(shè)情境

（一）用實(shí)例、實(shí)物或故事引入概念

形成數(shù)學(xué)概念的首要條件是使學(xué)生獲得十分豐富且合乎實(shí)際的感性材料。在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，要讓數(shù)學(xué)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活密切結(jié)合，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是活的，是富有生命力的。這樣不僅有利于學(xué)生對(duì)于所研究對(duì)象的感性認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，還能促進(jìn)數(shù)學(xué)直覺(jué)的形成，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，更能激發(fā)學(xué)生思考和創(chuàng)造的源泉。同時(shí)，在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念、形成的數(shù)學(xué)思想方法，更能促進(jìn)學(xué)生在以后遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)自覺(jué)地運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)去思考、解決問(wèn)題。

例如，在學(xué)習(xí)《向量的加法》時(shí)，教師借助多媒體動(dòng)態(tài)演示學(xué)生熟悉的情景：①今年春節(jié)探系，臺(tái)灣的李先生先從臺(tái)北到香港，再?gòu)南愀鄣缴虾?，這兩次位移之和是什么？ ②在一條河上，兩拖船牽引一艘駁船從A到B，牽引力分別為3000 牛和1500 牛，牽繩之間的夾角為60°，再用一條拖船牽引從A 直接到B，讓學(xué)生求這艘拖船的牽引力；又如學(xué)習(xí)《函數(shù)的單調(diào)性》時(shí)，可先讓學(xué)生觀察某一段時(shí)間內(nèi)溫度的變化圖像，近一段時(shí)間內(nèi)濟(jì)南市的地下水位變化圖像等生活實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究函數(shù)單調(diào)性的必要；再如認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)時(shí)，可拿出模型讓學(xué)生分析結(jié)構(gòu)特征，抓住其本質(zhì)，建立概念。還有學(xué)習(xí)《指數(shù)函數(shù)》時(shí)，可以讓兩個(gè)學(xué)生演個(gè)短?。航苊着龅揭粋€(gè)叫韋伯的人，韋伯對(duì)他說(shuō)：“我想和你訂個(gè)合同，我將在整整一個(gè)月內(nèi)每天給你十萬(wàn)元，而你第一天只需給我一分錢(qián)，以后每天給我的錢(qián)是前一天的兩倍”杰米非常高興，合同生效了。全班同學(xué)一起用計(jì)算器幫杰米算每天的支出，卻發(fā)現(xiàn)第31天杰米要付給韋伯1000多萬(wàn)元！這樣引入，讓學(xué)生體會(huì)到生活中的指數(shù)函數(shù)，而且還感受到了當(dāng)?shù)讛?shù)大于1 時(shí)指數(shù)函數(shù)的增加速度，體會(huì)指數(shù)爆炸。

這些設(shè)計(jì)，不僅使引出新概念水到渠成，而且讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)概念的最初階段，容易激發(fā)學(xué)生的探索欲望。同時(shí)，也體現(xiàn)了新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達(dá)方式，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求”這一理念要求。

（二）讓學(xué)生親自做試驗(yàn)，體驗(yàn)概念

在教學(xué)中可借助富有探究性、挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，讓學(xué)生在試驗(yàn)中親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念，通過(guò)自己的思考建立起對(duì)概念理解，逐漸認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)。如研究“幾何概型”時(shí)，可讓學(xué)生親自作轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，游戲規(guī)則：把一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)的圓周12 等分，按1:2:2:3:4的比例標(biāo)上五種獎(jiǎng)品的名稱，隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)一下，當(dāng)指針指向這段弧時(shí)，就可以獲得這份禮物，如果指針恰好指向兩端弧的交點(diǎn)，以該點(diǎn)右側(cè)獎(jiǎng)品為準(zhǔn)。讓學(xué)生在游戲中了解到指針指向轉(zhuǎn)盤(pán)圓周上每一點(diǎn)的可能性都是一樣的，而“指針指向某獎(jiǎng)品區(qū)A的弧上一點(diǎn)”這一事件發(fā)生的概率只與A的幾何度量成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)，從而順利理解幾何概型的概念。

研究橢圓概念時(shí)，可以同位兩人合作，一位同學(xué)在一張紙上按住長(zhǎng)為2a的繩的兩端點(diǎn)，并讓兩端點(diǎn)之間距離為2c（2c＜2a），另一位同學(xué)用筆把繩拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動(dòng)一周，畫(huà)出橢圓；也可以根據(jù)問(wèn)題：定點(diǎn)A（-2,0），P 為圓C：（x-2）2+y2=25 上一動(dòng)點(diǎn)，P 與A 連線的垂直平分線與PC 相交于M，求點(diǎn)M的軌跡方程。設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：在一張圓形紙片內(nèi)找不同于圓心C的一點(diǎn)A，折疊紙片，使圓周上有一點(diǎn)與點(diǎn)A 重合，折疊多次，形成一系列折痕，讓學(xué)生動(dòng)手后觀察自己折疊出來(lái)的折痕圍成一條什么曲線，并探究本質(zhì)特征：曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)C和點(diǎn)A的距離和等于半徑，從而形成概念，研究雙曲線概念時(shí)可同學(xué)兩人合作利用拉鏈繪出曲線，也可仿照橢圓借助問(wèn)題：定點(diǎn)A（-2，0）,P 為圓C：（x-2）2+y2=1 上一動(dòng)點(diǎn)，P 與A 連線的垂直平分線與PC 或PC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M（PC 與PA 不垂直），求點(diǎn)M的軌跡方程，設(shè)計(jì)試驗(yàn)：在紙上畫(huà)圓C，并在圓外取一點(diǎn)A，在圓C的圓周上任取一點(diǎn)P，對(duì)折紙張，使點(diǎn)P 與點(diǎn)A 重合，連結(jié)PC（或CP）并延長(zhǎng)交折痕與點(diǎn)M，在圓周上任取其他點(diǎn)，重復(fù)上述步驟約5-6 次，觀察點(diǎn)M 連成的曲線，探究本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)：││MC│-│MA││=r（r 為該圓半徑）。在試驗(yàn)探究的過(guò)程中，由學(xué)生親身體驗(yàn)形成的概念會(huì)讓學(xué)生理解更深刻，記憶更牢固，興趣更濃厚。

（三）在學(xué)生原有的基礎(chǔ)上引入新概念

（四）數(shù)學(xué)本身內(nèi)在需要引入概念

中學(xué)數(shù)學(xué)的有些概念是為了解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題而引入的，如為了解決x2=-1的解而引入了復(fù)數(shù)的概念，為了確定兩條異面直線的位置而引入了兩條異面直線的成角和距離等。這時(shí)不妨從問(wèn)題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中激發(fā)求知欲望。

二、形成概念時(shí)探索交流

形成概念是概念教學(xué)中至關(guān)重要的一步，是通過(guò)對(duì)具體事物的感知、辨別而抽象概括的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程應(yīng)該通過(guò)學(xué)生自主探究去完成，用自己的頭腦親自去發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律，進(jìn)而獲得新概念。

如《向量的加法》這一節(jié)，在學(xué)生對(duì)具體、直觀問(wèn)題的觀察、體驗(yàn)中形成了對(duì)向量加法概念的感性認(rèn)識(shí)，而且自然地得出：向量可以進(jìn)行加法運(yùn)算，兩向量的和仍是一個(gè)向量以后，教師可仍不急于給出定義，而是把探求新知的權(quán)利交給學(xué)生，讓學(xué)生根據(jù)上述兩個(gè)實(shí)例，自己抽象概括出定義，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表自己的見(jiàn)解。這時(shí)，會(huì)有學(xué)生用三角形法則定義，也會(huì)有學(xué)生用平行四邊形法則定義，在語(yǔ)言敘述上也不會(huì)很清楚。但在討論交流中，學(xué)生會(huì)迫切地想知道：向量的加法到底如何定義呢？此時(shí)再讓學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀課本中的定義，完善自己的想法。教師進(jìn)行多媒體演示，幫助學(xué)生理解，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論思想。由于創(chuàng)設(shè)的情境是學(xué)生熟悉的，提出得問(wèn)題正處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，而且在解決過(guò)程中答案不一，互有爭(zhēng)論，從而大大激發(fā)了學(xué)生在獲取新知過(guò)程中主動(dòng)創(chuàng)造的潛能。

在概念的形成中教師要努力創(chuàng)造條件，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)和充分的思考空間，讓學(xué)生在觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納和分析的過(guò)程中親自經(jīng)歷概念的形成和發(fā)展過(guò)程，進(jìn)行數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造。

三、表述概念時(shí)必須準(zhǔn)確

概念形成之后，應(yīng)及時(shí)讓學(xué)生用語(yǔ)言表述出來(lái)，以加深對(duì)概念的印象，促進(jìn)內(nèi)化。語(yǔ)言作為思維的物質(zhì)外殼，教師可從學(xué)生的表述中得到反饋信息，了解、評(píng)價(jià)學(xué)生的思維結(jié)果，由于數(shù)學(xué)概念是用科學(xué)的、精練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括表達(dá)出來(lái)的，它所揭示事物的本質(zhì)屬性必須確定、無(wú)矛盾、有根有據(jù)并合情合理。因此培養(yǎng)學(xué)生正確的表述概念，能促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性。

四、鞏固概念運(yùn)用變式

鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，鞏固概念，首先應(yīng)在引入、形成概念后，引導(dǎo)學(xué)生正確復(fù)述，其次要運(yùn)用變式加深理解，所謂變式，就是使提供給學(xué)生的各種感性材料不斷變換其表現(xiàn)形式，使非本質(zhì)屬性時(shí)有時(shí)無(wú)，而本質(zhì)屬性保持恒在。恰當(dāng)運(yùn)用變式，能使思維不受消極定勢(shì)的束縛，實(shí)現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)換，使思維呈發(fā)散狀態(tài)。

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時(shí)利用變式訓(xùn)練有助于糾正學(xué)生的思維偏差。學(xué)生在感知立體幾何圖形的過(guò)程中，往往會(huì)受到圖形的一些非本質(zhì)屬性的影響，把畫(huà)在黑板上或書(shū)上的標(biāo)準(zhǔn)圖形看作本質(zhì)屬性。如將正三棱錐S-ABC 畫(huà)成A-SBC 時(shí)，學(xué)生易錯(cuò)誤地說(shuō)它不是正三棱錐。因此利用變式圖形，如呈現(xiàn)若干個(gè)位置或大小不同的正三棱錐，讓學(xué)生觀察辨認(rèn)，就有利于克服感知圖形時(shí)的消極影響，幫助學(xué)生從方位和量的比較中引起對(duì)知識(shí)更為深刻的正面思考，使獲得的概念更精確、更穩(wěn)定。

當(dāng)學(xué)生初步理解概念后所進(jìn)行的鞏固應(yīng)用練習(xí)也應(yīng)注意適度的“變式”，如學(xué)完直棱柱后，可讓學(xué)生判斷下列說(shuō)法是否為直棱柱：棱柱有一條側(cè)棱與底面垂直；棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直；棱柱有一側(cè)面是矩形，且與底面垂直；棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，且與底面垂直；然后再讓學(xué)生思考：四棱柱、平行六面體、長(zhǎng)方體、正方體、直平行六面體、直四棱柱之間的關(guān)系。這樣既梳理鞏固了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生聯(lián)想、綜合、類比等能力，符合知識(shí)建構(gòu)和多方面發(fā)展的要求。例如異面直線概念的教學(xué)，結(jié)合圖形變式，可用下列變式進(jìn)行辨析訓(xùn)練：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？在空間不相交的兩條直線一定是異面直線嗎？?jī)蓷l異面直線指的是某平面內(nèi)的一條直線和這平面外的一條直線嗎？分別和兩條異面直線a、b 同時(shí)相交的兩直線c、d 一定是異面直線嗎？

這樣，在教學(xué)中設(shè)計(jì)對(duì)比鮮明的變式，使學(xué)生在近中求異，在錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系中，多角度、深層次分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)，加深對(duì)概念的理解。

五、運(yùn)用概念時(shí)聯(lián)系實(shí)際

培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力對(duì)于提高學(xué)生的創(chuàng)造力起著至關(guān)重要的作用，只有積極參與實(shí)踐，才能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，提出新見(jiàn)解、新思想、新方法，才能把握創(chuàng)造的機(jī)會(huì)進(jìn)行成功的創(chuàng)造，提高創(chuàng)新能力，讓學(xué)生用學(xué)到的數(shù)學(xué)概念解決日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，是概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的有力手段。

概念的形成是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，而概念的運(yùn)用是一個(gè)由一般到特殊的過(guò)程，它們是學(xué)生掌握概念兩個(gè)階段。通過(guò)運(yùn)用概念解決實(shí)際問(wèn)題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念的運(yùn)用過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。

綜上所述，新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，是按照人類認(rèn)識(shí)科學(xué)的一般規(guī)律和途徑：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——形成猜想——演繹結(jié)論——應(yīng)用拓展來(lái)進(jìn)行的，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)過(guò)程，不但能使學(xué)生逐步掌握概念的本質(zhì)，還能使學(xué)生感受到探究與合作的無(wú)限快樂(lè)，感覺(jué)到自己精神、智慧力量的增長(zhǎng)，使學(xué)生的個(gè)性得到充分的發(fā)展。